Tu connais la formule classique de l’aire d’un triangle : base multipliée par hauteur, divisé par 2. Mais que faire quand l’énoncé ne te donne pas la hauteur ? Cette page est la méthode à suivre quand tu ne connais que les longueurs des côtés (formule de Héron) ou deux côtés et l’angle entre eux (formule du sinus). Un approfondissement accessible dès la 3ème, puis au lycée.
Avant de calculer : les trois longueurs doivent être positives et le plus grand côté strictement inférieur à la somme des deux autres. Sinon, il n’existe pas de triangle non aplati ayant ces côtés.
I. Le problème : une aire sans hauteur, c’est possible
Pour calculer l’aire d’un triangle quelconque, tu peux toujours utiliser base × hauteur ÷ 2. Le souci, c’est que la hauteur n’est pas toujours donnée : dans beaucoup d’exercices, tu connais seulement les trois côtés, ou deux côtés et l’angle entre eux. Deux formules te sauvent alors la mise : la formule de Héron et la formule du sinus.
Reprenons la formule de départ, celle que tu as vue en 5ème dans le cours sur l’aire d’un triangle :
Le rappel de base : l’aire d’un triangle vaut \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{b \times h}{2}\), où \(b\) est une base et \(h\) la hauteur qui lui correspond. Quand \(h\) est introuvable, on change de méthode : on part des côtés ou d’un angle.
La bonne nouvelle : dès que tu connais soit les trois côtés, soit deux côtés et l’angle entre eux, l’aire est calculable. Voyons d’abord comment choisir la bonne formule.
II. Quelle méthode choisir ?
Avant de te lancer dans un calcul, pose-toi une seule question : de quelles informations est-ce que je dispose ? Ce tableau te donne la réponse en un coup d’œil.
| Ce que tu connais | Méthode à utiliser | Formule | Niveau |
|---|---|---|---|
| Une base et sa hauteur | Formule de base | \(\displaystyle\frac{b \times h}{2}\) | 5ème |
| Les 3 côtés \(a\), \(b\), \(c\) | Formule de Héron | \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) | Approfondissement (hors attendus usuels du brevet) |
| 2 côtés et l’angle entre eux | Formule du sinus | \(\displaystyle\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(C)\) | 1ère 🟠 |
| Un triangle isocèle ou équilatéral | Trouver \(h\) par Pythagore | \(\displaystyle\frac{b \times h}{2}\) | 4ème / 3ème |
Le réflexe : trois côtés connus → Héron. Deux côtés et l’angle du milieu → sinus. Pas d’angle ni de hauteur pour un triangle isocèle → passe par Pythagore pour retrouver la hauteur.
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La formule de Héron permet d’exploiter directement les trois longueurs. Elle constitue ici un approfondissement ; au collège, commence par chercher une base et sa hauteur, éventuellement à l’aide de Pythagore.
III. La formule de Héron : à partir des 3 côtés
C’est la méthode reine quand tu ne connais que les longueurs des trois côtés. Elle fonctionne pour n’importe quel triangle, sans avoir besoin d’un angle ni d’une hauteur.
Formule de Héron
Pour un triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\), on calcule d’abord le demi-périmètre \(p\) :
\(p = \displaystyle\frac{a + b + c}{2}\)
L’aire vaut alors :
\(\mathcal{A} = \sqrt{p\,(p-a)\,(p-b)\,(p-c)}\)
A. La méthode pas à pas
- Additionne les trois côtés puis divise par 2 pour obtenir le demi-périmètre \(p\).
- Calcule les trois différences \(p-a\), \(p-b\) et \(p-c\).
- Multiplie les quatre nombres : \(p \times (p-a) \times (p-b) \times (p-c)\).
- Prends la racine carrée du résultat. Tu obtiens l’aire.
Exemple : un triangle a pour côtés 5 cm, 6 cm et 7 cm. Quelle est son aire ?
Demi-périmètre : \(p = \displaystyle\frac{5 + 6 + 7}{2} = \displaystyle\frac{18}{2} = 9\) cm.
Différences : \(p-a = 9-5 = 4\), \(p-b = 9-6 = 3\), \(p-c = 9-7 = 2\).
Produit : \(9 \times 4 \times 3 \times 2 = 216\).
Aire : \(\mathcal{A} = \sqrt{216} \approx 14{,}7\) cm². ✓
B. D’où vient cette formule ? 🟠
La formule de Héron n’a rien de magique : elle se démontre à partir du théorème de Pythagore. On trace une hauteur, on exprime les deux morceaux de la base grâce à Pythagore, puis on remplace \(h\) dans la formule \(\displaystyle\frac{b\times h}{2}\). Après quelques lignes de calcul (à voir plutôt au lycée), tout se réorganise en \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Le seul outil de fond, c’est Pythagore.
Lorsque deux côtés et leur angle inclus sont connus, une autre méthode utilise le sinus. Le choix dépend des données et des outils autorisés dans l’exercice.
IV. La formule du sinus : à partir de 2 côtés et un angle 🟠
Cette formule trigonométrique s’utilise quand tu connais deux côtés et l’angle situé entre ces deux côtés. Si l’angle est donné en degrés, règle la calculatrice en mode degrés.
Formule du sinus (aire d’un triangle)
Si un triangle a deux côtés de longueurs \(a\) et \(b\), et si \(C\) est l’angle compris entre ces deux côtés, alors :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(C)\)
Attention à l’angle ! La formule ne marche que si l’angle est bien celui entre les deux côtés que tu utilises. Si tu prends un autre angle du triangle, le résultat est faux. L’angle doit toujours être « coincé » entre \(a\) et \(b\).
Exemple : deux côtés mesurent 8 cm et 10 cm, et l’angle entre eux vaut 30°.
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times \sin(30^{\circ})\)
Comme \(\sin(30^{\circ}) = 0{,}5\) :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 8 \times 10 \times 0{,}5 = 20\) cm². ✓
Cette formule vient de la trigonométrie : la hauteur du triangle s’écrit \(a \times \sin(C)\), et on retrouve alors \(\displaystyle\frac{b \times h}{2}\). Une fois la bonne formule choisie, il ne reste qu’à s’entraîner — mais attention aux erreurs classiques.
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V. Les erreurs les plus fréquentes
Ces trois pièges reviennent dans presque toutes les copies. Repère-les une fois, tu ne les feras plus.
Erreur n°1 — oublier de prendre la racine carrée.
❌ Copie fautive : « \(\mathcal{A} = 9 \times 4 \times 3 \times 2 = 216\) cm² ».
Diagnostic : l’élève a arrêté au produit, sans appliquer la racine. La formule de Héron se termine toujours par une racine carrée.
✅ Correction : \(\mathcal{A} = \sqrt{216} \approx 14{,}7\) cm².
Erreur n°2 — utiliser le périmètre au lieu du demi-périmètre.
❌ Copie fautive : « \(p = 5 + 6 + 7 = 18\) ».
Diagnostic : \(p\) est le demi-périmètre. Il faut diviser la somme des côtés par 2.
✅ Correction : \(p = \displaystyle\frac{18}{2} = 9\).
Erreur n°3 — l’aire est en cm², pas en cm.
Une aire est une surface : son unité est toujours une unité carrée (cm², m²…). Si tu trouves un résultat « en cm », c’est le signe qu’une erreur s’est glissée. Pense à vérifier l’unité de ton résultat.
Maintenant que tu connais les pièges, entraîne-toi sur des exercices progressifs.
VI. Exercices d’application
Exercice 1 — Héron avec de beaux nombres ★
Un triangle a pour côtés 13 cm, 14 cm et 15 cm. Calcule son aire avec la formule de Héron.
Voir la correction de l’exercice 1
Demi-périmètre : \(p = \displaystyle\frac{13 + 14 + 15}{2} = \displaystyle\frac{42}{2} = 21\) cm.
Différences : \(p-a = 21-13 = 8\), \(p-b = 21-14 = 7\), \(p-c = 21-15 = 6\).
Produit : \(21 \times 8 \times 7 \times 6 = 7056\).
Aire : \(\mathcal{A} = \sqrt{7056} = 84\).
L’aire du triangle vaut 84 cm².
Exercice 2 — Formule du sinus ★★ 🟠
Dans un triangle, deux côtés mesurent 12 cm et 7 cm, et l’angle situé entre eux vaut 45°. Calcule l’aire (on prendra \(\sin(45^{\circ}) \approx 0{,}707\)).
Voir la correction de l’exercice 2
On applique la formule du sinus avec \(a = 12\), \(b = 7\) et \(C = 45^{\circ}\) :
\(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 12 \times 7 \times \sin(45^{\circ})\) \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2} \times 84 \times 0{,}707 = 42 \times 0{,}707\)L’aire vaut environ 29,7 cm².
Exercice 3 — Choisir la bonne méthode ★★
Pour chacun de ces triangles, indique quelle formule tu utiliserais (sans calculer) :
a) Un triangle dont on connaît les trois côtés : 9 cm, 10 cm, 11 cm.
b) Un triangle dont on connaît deux côtés de 6 cm et 8 cm, et l’angle de 60° entre eux.
c) Un triangle rectangle dont les deux côtés de l’angle droit mesurent 3 cm et 4 cm.
Voir la correction de l’exercice 3
a) Trois côtés connus → formule de Héron.
b) Deux côtés et l’angle entre eux → formule du sinus.
c) Triangle rectangle : les deux côtés de l’angle droit sont déjà base et hauteur → formule de base \(\displaystyle\frac{b \times h}{2} = \displaystyle\frac{3 \times 4}{2} = 6\) cm². Inutile de sortir Héron ou le sinus ! Voir le cours dédié à l’aire d’un triangle rectangle.
Exercice 4 — Un terrain triangulaire ★★★
Un jardinier possède un terrain en forme de triangle dont les côtés mesurent 40 m, 50 m et 30 m. Il veut savoir combien de mètres carrés de gazon il doit acheter. Aide-le.
Voir la correction de l’exercice 4
Seuls les trois côtés sont connus : c’est Héron.
Demi-périmètre : \(p = \displaystyle\frac{40 + 50 + 30}{2} = \displaystyle\frac{120}{2} = 60\) m.
Différences : \(60-40 = 20\), \(60-50 = 10\), \(60-30 = 30\).
Produit : \(60 \times 20 \times 10 \times 30 = 360000\).
Aire : \(\mathcal{A} = \sqrt{360000} = 600\).
Astuce : les côtés 30, 40, 50 forment un triangle rectangle (30² + 40² = 50²). On retrouve bien \(\displaystyle\frac{30 \times 40}{2} = 600\) par la formule de base : les deux méthodes concordent.
Le jardinier doit acheter 600 m² de gazon.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un triangle quelconque sans la hauteur ?
Si tu connais les trois côtés, utilise la formule de Héron : calcule le demi-périmètre \(p = \displaystyle\frac{a+b+c}{2}\), puis \(\mathcal{A} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Si tu connais deux côtés et l’angle entre eux, utilise \(\mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2}\,a\,b\,\sin(C)\).
Comment calculer l’aire d’un triangle avec les 3 côtés ?
C’est exactement la formule de Héron. On additionne les trois côtés, on divise par 2 pour obtenir \(p\), puis on calcule \(\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\). Aucune hauteur ni angle n’est nécessaire.
Quelle est la différence entre la formule de Héron et la formule du sinus ?
La formule de Héron n’utilise que les trois longueurs des côtés : idéale quand tu ne connais aucun angle. La formule du sinus, elle, demande deux côtés et l’angle situé entre eux. On choisit selon les données de l’énoncé : trois côtés → Héron, deux côtés et un angle → sinus.
La formule de Héron marche-t-elle pour tous les triangles ?
Oui, pour absolument tous les triangles : quelconque, isocèle, équilatéral ou rectangle. C’est son grand avantage. Pour un triangle isocèle ou équilatéral, on peut aussi retrouver la hauteur avec Pythagore, mais Héron fonctionne toujours.
À quel niveau apprend-on ces formules ?
La formule base × hauteur ÷ 2 est travaillée au collège. Héron est proposé ici en approfondissement, sans en faire un attendu du brevet. La méthode avec le sinus s’aborde avec les outils trigonométriques du lycée ; suis les indications de ton professeur.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire d’un triangle même sans sa hauteur. Continue avec ces cours du même chapitre :
- Aire d’un disque : formule, démonstration et exercices en 5e
- Périmètre d’un cercle : formule, méthode et exercices corrigés
- Aires et périmètres en 6ème : 15 exercices corrigés pas à pas
- La somme des angles d’un triangle : propriété, démonstration et calcul
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