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Une somme télescopique est une somme dont les termes s’annulent deux à deux, ne laissant que le premier et le dernier. Concrètement, si chaque terme s’écrit comme une différence \(a_{k+1}- a_k\), alors leur somme vaut \(a_{n+1}- a_0\). Toute la difficulté consiste à faire apparaître cette différence : c’est l’objet de cette méthode.
Au programme
- 🔵 Terminale : sommes de termes de suites, méthode \(qS- S\) pour les suites géométriques.
- 🟠 Prépa 1re année (MPSI, PCSI, MP2I) : chapitre « Calculs algébriques », sommes et produits télescopiques, changement d’indice.
- 🟠 Prépa 2e année : séries télescopiques, lien avec la convergence.
Dans les exercices, \(n\) est un entier naturel et les bornes écrites déterminent les termes de bord. Par exemple, \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(a_{k+1}-a_k)=a_{n+1}-a_0\). Pour une somme commençant à 2, on prend \(n\geq2\).
I. Qu’est-ce qu’une somme télescopique ?
Une somme télescopique est une somme dont le terme général est une différence de deux termes consécutifs d’une même suite. Quand on développe la somme, chaque terme annule une partie du terme voisin, comme les segments d’une longue-vue qui se replient : il ne reste que les deux extrémités.
Prenons un exemple limpide. On veut calculer :
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left( \displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+1} \right)\)
En écrivant les premiers et derniers termes à la main :
\(\left( \displaystyle\frac{1}{1}- \displaystyle\frac{1}{2} \right) + \left( \displaystyle\frac{1}{2}- \displaystyle\frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \displaystyle\frac{1}{n}- \displaystyle\frac{1}{n+1} \right)\)
Chaque \(-\displaystyle\frac{1}{k+1}\) est annulé par le \(+\displaystyle\frac{1}{k+1}\) du terme suivant. Il ne survit que le premier terme \(1\) et le dernier \(-\displaystyle\frac{1}{n+1}\). La somme vaut donc \(1- \displaystyle\frac{1}{n+1} = \displaystyle\frac{n}{n+1}\).
Définition — Somme télescopique
Soit \((a_k)_{k \in \mathbb{N}}\) une suite de réels ou de complexes. Une somme de la forme \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1}- a_k)\) est dite télescopique. Ses termes se compensent de proche en proche, de sorte que seuls subsistent les termes de bord.
II. La formule du télescopage et sa démonstration
Le résultat précédent se généralise en une formule à connaître par cœur, et surtout à savoir redémontrer en deux lignes par un simple changement d’indice.
Formule du télescopage
Pour toute suite \((a_k)\) et tous entiers \(m \leq n\) :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1}- a_k) = a_{n+1}- a_m\)
De même, pour les différences dans l’autre sens : \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (a_k- a_{k+1}) = a_m- a_{n+1}\).
Démonstration. On sépare la somme en deux, puis on décale l’indice de l’une des deux :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1}- a_k) = \displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_{k+1}- \displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k\)
Dans la première somme, on pose \(j = k+1\) : quand \(k\) va de \(m\) à \(n\), \(j\) va de \(m+1\) à \(n+1\). Donc :
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_{k+1} = \displaystyle\sum_{j=m+1}^{n+1} a_j\)
Les deux sommes partagent les indices de \(m+1\) à \(n\), qui se simplifient. Il reste le terme \(a_{n+1}\) (ajouté par la première) et \(-a_m\) (retiré par la seconde), d’où \(a_{n+1}- a_m\). ∎
À retenir : le télescopage n’est rien d’autre qu’un changement d’indice soigné. Dès que tu reconnais une différence de termes consécutifs, tu peux conclure sans calcul.
La fiche méthode « Somme télescopique » en recto-verso
Les 4 façons de faire apparaître une différence, un exemple modèle et les erreurs fatales à éviter en copie — prête à imprimer.
📄 Télécharger la fiche méthode PDFToute la méthode de reconnaissance du télescopage sur une fiche recto-verso.
III. La méthode en 4 étapes
En pratique, on ne te donne presque jamais une somme déjà écrite comme \(a_{k+1}- a_k\). Tout le travail consiste à faire apparaître cette différence. Voici la démarche à appliquer systématiquement.
- Repérer le signal. Terme général qui ressemble à un morceau d’une suite : fraction au dénominateur factorisable, logarithme d’un quotient, racines qui se suivent, termes \(k \cdot k!\)…
- Écrire le terme comme une différence \(a_{k+1}- a_k\). C’est l’étape clé : décomposition en éléments simples, propriété du logarithme, expression conjuguée, factorielle.
- Appliquer la formule du télescopage : la somme vaut \(a_{n+1}- a_m\).
- Vérifier sur une petite valeur (\(n = 1\) ou \(n = 2\)) : on recalcule la somme directement et on compare au résultat fermé.
Avant d’appliquer cette méthode, il faut savoir quand y recourir. Le télescopage n’est qu’un outil parmi d’autres pour calculer une somme ; voici comment le situer.
| Situation | Technique à employer | Résultat visé |
|---|---|---|
| Terme général = différence de termes consécutifs | Télescopage | \(a_{n+1}- a_m\) |
| Somme de référence (\(\sum k\), \(\sum k^2\), \(\sum q^k\)) | Formule usuelle apprise | Formule fermée connue |
| Formule à démontrer, dépendant de \(n\) | Récurrence | Validation d’un résultat deviné |
| Produit \(a_k b_k\) avec \((a_k)\) monotone de limite nulle, \((b_k)\) à sommes partielles bornées | Transformation d’Abel | Majoration, convergence de série |
Le télescopage se reconnaît donc à sa structure : un terme qui « cache » une différence. Voyons les quatre déguisements les plus fréquents.
A. Décomposer une fraction : \(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)}\)
La situation la plus classique. On utilise la décomposition en éléments simples :
\(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)} = \displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+1}\)
Exemple 🔵 : calculer \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k(k+1)}\).
En posant \(a_k = \displaystyle\frac{1}{k}\), chaque terme vaut \(a_k- a_{k+1}\). Donc :
\(S_n = a_1- a_{n+1} = 1- \displaystyle\frac{1}{n+1} = \displaystyle\frac{n}{n+1}\)
Vérification (\(n=2\)) : \(\displaystyle\frac{1}{2} + \displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{2}{3}\), et \(\displaystyle\frac{2}{3}\) ✓.
B. Avec le logarithme : \(\ln\left(1 + \displaystyle\frac{1}{k}\right)\)
Un logarithme d’un quotient devient une différence de logarithmes. C’est un télescopage déguisé :
\(\ln\left(1 + \displaystyle\frac{1}{k}\right) = \ln\left(\displaystyle\frac{k+1}{k}\right) = \ln(k+1)- \ln(k)\)
Exemple 🔵 : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \displaystyle\frac{1}{k}\right) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \big(\ln(k+1)- \ln(k)\big) = \ln(n+1)- \ln(1) = \ln(n+1)\).
C. Avec des racines : \(\sqrt{k+1}- \sqrt{k}\)
Un terme avec une somme de racines au dénominateur se traite par l’expression conjuguée :
\(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \displaystyle\frac{\sqrt{k+1}- \sqrt{k}}{(\sqrt{k+1})^2- (\sqrt{k})^2} = \sqrt{k+1}- \sqrt{k}\)
Exemple 🟠 : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1} + \sqrt{k}} = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \big(\sqrt{k+1}- \sqrt{k}\big) = \sqrt{n+1}- 1\).
D. Avec la relation de Pascal : la crosse de hockey
En prépa, la relation de Pascal \({k+1 \choose p+1}- {k \choose p+1} = {k \choose p}\) transforme une somme de coefficients binomiaux en télescopage. On obtient l’identité dite de la « crosse de hockey » :
\(\displaystyle\sum_{k=p}^{n} {k \choose p} = {n+1 \choose p+1}\)
C’est l’un des ponts entre cette page et le triangle de Pascal, où cette identité se lit géométriquement sur une diagonale.
IV. Les produits télescopiques
Le même principe s’applique aux produits : on parle de produit télescopique quand le terme général est le quotient de deux termes consécutifs. La formule devient :
Produit télescopique
Si \(a_k \neq 0\) pour tout \(k\) : \(\displaystyle\prod_{k=m}^{n} \displaystyle\frac{a_{k+1}}{a_k} = \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_m}\).
Exemple 🟠 : calculer \(\displaystyle\prod_{k=2}^{n} \left(1- \displaystyle\frac{1}{k^2}\right)\).
On factorise : \(1- \displaystyle\frac{1}{k^2} = \displaystyle\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}\). Le produit se sépare en deux produits télescopiques :
\(\displaystyle\prod_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{k-1}{k} \cdot \displaystyle\prod_{k=2}^{n} \displaystyle\frac{k+1}{k} = \displaystyle\frac{1}{n} \cdot \displaystyle\frac{n+1}{2} = \displaystyle\frac{n+1}{2n}\)
Le cas emblématique est la factorielle elle-même : \(n! = \displaystyle\prod_{k=1}^{n} k\), et les simplifications de quotients de factorielles sont des télescopages de produits.
V. Du lycée à la prépa : suites, carrés et séries
Le télescopage n’est pas réservé aux sommes « artificielles » des exercices : il structure plusieurs résultats du cours.
🔵 En Terminale — la méthode \(qS- S\). La démonstration de la somme d’une suite géométrique repose sur un télescopage. En calculant \(qS- S\) où \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} q^k\), tous les termes intermédiaires se compensent et il ne reste que \(q^{n+1}- 1\).
🟠 La somme des carrés par télescopage. On peut retrouver \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2\) sans la connaître, en télescopant \((k+1)^3- k^3 = 3k^2 + 3k + 1\). En sommant de \(1\) à \(n\), le membre de gauche télescope en \((n+1)^3- 1\), et on isole \(\sum k^2\). Cette technique est détaillée dans le cours sur les sommes et produits.
🟠 Les séries télescopiques. En seconde année, une série \(\sum (a_{k+1}- a_k)\) converge si et seulement si la suite \((a_k)\) converge, et sa somme vaut \(\lim a_k- a_m\). C’est l’outil de base pour établir la nature de nombreuses séries numériques.
VI. 🔴 Rédiger un télescopage en copie
En prépa, le résultat ne suffit pas : le correcteur vérifie que le télescopage est justifié, pas simplement annoncé. Voici ce qui est attendu.
Ce que vérifie le correcteur
- L’identité \(u_k = a_{k+1}- a_k\) est écrite explicitement et la suite \((a_k)\) est nommée.
- Le changement d’indice ou l’écriture des premiers et derniers termes apparaît (ne jamais écrire « on simplifie » sans montrer).
- Les termes de bord \(a_{n+1}\) et \(a_m\) sont correctement identifiés, bornes comprises.
Modèle de rédaction. « Posons \(a_k = \displaystyle\frac{1}{k}\). Pour tout \(k \geq 1\), \(\displaystyle\frac{1}{k(k+1)} = a_k- a_{k+1}\). Par télescopage, \(S_n = a_1- a_{n+1} = 1- \displaystyle\frac{1}{n+1}\). » Trois lignes, mais chaque étape est vérifiable.
VII. Erreurs fréquentes
Trois pièges reviennent dans presque toutes les copies.
Erreur 1 — confondre les termes de bord.
❌ Copie fautive : pour \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k- a_{k+1})\), écrire « \(= a_1- a_n\) ».
Diagnostic : le dernier terme retiré est \(a_{n+1}\), pas \(a_n\). Décaler l’indice supérieur fausse tout.
✅ Correction : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k- a_{k+1}) = a_1- a_{n+1}\).
Erreur 2 — télescopage à décalage 2.
Si le terme est \(a_k- a_{k+2}\), il reste deux termes à chaque bord : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(a_k- a_{k+2}) = a_1 + a_2- a_{n+1}- a_{n+2}\). Écrire les 3 premiers et 3 derniers termes à la main évite l’erreur.
Erreur 3 — séparer en deux sommes divergentes.
En séries, écrire \(\sum \left(\displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+1}\right) = \sum \displaystyle\frac{1}{k}- \sum \displaystyle\frac{1}{k+1}\) est interdit : les deux séries divergent. On garde la somme groupée et on raisonne sur les sommes partielles \(S_n\) avant de passer à la limite.
VIII. Exercices corrigés
Huit exercices classés par difficulté, du calcul direct au télescopage déguisé. Essaie-les avant de dérouler la correction.
Exercice 1 — Télescopage direct ★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \big((k+1)^2- k^2\big)\).
Voir la correction de l’exercice 1
Avec \(a_k = k^2\), le terme général est \(a_{k+1}- a_k\).
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (a_{k+1}- a_k) = a_{n+1}- a_1 = (n+1)^2- 1 = n^2 + 2n\)
Résultat : \(n^2 + 2n\). Vérification (\(n=1\)) : \(4- 1 = 3 = 1 + 2\) ✓.
Exercice 2 — Fraction à décomposer ★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{k(k+2)}\).
Voir la correction de l’exercice 2
Décomposition : \(\displaystyle\frac{1}{k(k+2)} = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+2}\right)\). C’est un télescopage à décalage 2, avec \(a_k = \displaystyle\frac{1}{k}\).
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(\displaystyle\frac{1}{k}- \displaystyle\frac{1}{k+2}\right) = a_1 + a_2- a_{n+1}- a_{n+2} = 1 + \displaystyle\frac{1}{2}- \displaystyle\frac{1}{n+1}- \displaystyle\frac{1}{n+2}\)
D’où : \(S_n = \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{3}{2}- \displaystyle\frac{1}{n+1}- \displaystyle\frac{1}{n+2}\right) = \displaystyle\frac{3}{4}- \displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{1}{n+1} + \displaystyle\frac{1}{n+2}\right)\).
L’erreur à éviter : oublier qu’avec un décalage de 2, il reste deux termes à chaque bord.
Exercice 3 — Logarithme ★★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=2}^{n} \ln\left(1- \displaystyle\frac{1}{k^2}\right)\).
Voir la correction de l’exercice 3
\(1- \displaystyle\frac{1}{k^2} = \displaystyle\frac{(k-1)(k+1)}{k^2}\), donc \(\ln\left(1- \displaystyle\frac{1}{k^2}\right) = \big(\ln(k+1)- \ln k\big)- \big(\ln k- \ln(k-1)\big)\).
On télescope les deux morceaux séparément de \(2\) à \(n\) :
\(\big(\ln(n+1)- \ln 2\big)- \big(\ln n- \ln 1\big) = \ln\displaystyle\frac{n+1}{2n}\)
Résultat : \(\ln\displaystyle\frac{n+1}{2n}\) (cohérent avec le produit télescopique du §IV).
Exercice 4 — Racines ★★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{1}{(k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1}}\).
Voir la correction de l’exercice 4
On factorise le dénominateur : \((k+1)\sqrt{k} + k\sqrt{k+1} = \sqrt{k}\sqrt{k+1}\big(\sqrt{k+1} + \sqrt{k}\big)\).
Le terme devient \(\displaystyle\frac{\sqrt{k+1}- \sqrt{k}}{\sqrt{k}\sqrt{k+1}} = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{k+1}}\).
Avec \(a_k = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{k}}\) : \(S_n = a_1- a_{n+1} = 1- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}}\).
Résultat : \(1- \displaystyle\frac{1}{\sqrt{n+1}}\).
Exercice 5 — Avec une factorielle ★★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k \cdot k!\).
Voir la correction de l’exercice 5
Astuce : \(k \cdot k! = (k+1-1)\cdot k! = (k+1)!- k!\). Avec \(a_k = k!\), le terme est \(a_{k+1}- a_k\).
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \big((k+1)!- k!\big) = (n+1)!- 1!\)
Résultat : \((n+1)!- 1\). Vérification (\(n=2\)) : \(1 + 4 = 5 = 3!- 1\) ✓.
Exercice 6 — Produit télescopique ★★
Calculer \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{k+2}{k}\).
Voir la correction de l’exercice 6
Posons \(a_k = k(k+1)\). Alors \(\displaystyle\frac{a_{k+1}}{a_k} = \displaystyle\frac{(k+1)(k+2)}{k(k+1)} = \displaystyle\frac{k+2}{k}\).
Produit télescopique : \(\displaystyle\prod_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{a_{k+1}}{a_k} = \displaystyle\frac{a_{n+1}}{a_1} = \displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2}\).
Résultat : \(\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}{2}\).
Exercice 7 — Avec la factorielle au dénominateur ★★★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \displaystyle\frac{k}{(k+1)!}\).
Voir la correction de l’exercice 7
On écrit \(k = (k+1)- 1\) au numérateur :
\(\displaystyle\frac{k}{(k+1)!} = \displaystyle\frac{(k+1)- 1}{(k+1)!} = \displaystyle\frac{1}{k!}- \displaystyle\frac{1}{(k+1)!}\)
Avec \(a_k = \displaystyle\frac{1}{k!}\), c’est \(a_k- a_{k+1}\) :
\(S_n = a_1- a_{n+1} = 1- \displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\)
Résultat : \(1- \displaystyle\frac{1}{(n+1)!}\). La série converge donc vers \(1\).
Exercice 8 — Télescopage d’arctangentes ★★★
Calculer \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \arctan\left(\displaystyle\frac{1}{k^2+k+1}\right)\).
Voir la correction de l’exercice 8
On reconnaît la formule de différence des arctangentes. Pour \(a = k+1\) et \(b = k\) :
\(\arctan(k+1)- \arctan(k) = \arctan\left(\displaystyle\frac{(k+1)- k}{1 + k(k+1)}\right) = \arctan\left(\displaystyle\frac{1}{k^2+k+1}\right)\)
(la différence des deux arctangentes reste dans \(\left]-\displaystyle\frac{\pi}{2}; \displaystyle\frac{\pi}{2}\right[\), la formule est bien valide). Avec \(a_k = \arctan(k)\), on télescope :
\(S_n = \arctan(n+1)- \arctan(0) = \arctan(n+1)\)
Résultat : \(\arctan(n+1)\). La série converge vers \(\displaystyle\frac{\pi}{2}\).
Pour aller plus loin sur les séries télescopiques et leur convergence, la page des exercices sommes et produits (MPSI, PCSI) propose des séries mixtes et un sujet type DS.
IX. Questions fréquentes
Comment reconnaître une somme télescopique ?
Une somme est télescopique quand son terme général peut s’écrire comme une différence de deux termes consécutifs d’une suite, soit \(a_{k+1}- a_k\). Les signaux typiques : une fraction dont le dénominateur se factorise, un logarithme d’un quotient, une somme de racines consécutives, ou un terme faisant intervenir des factorielles.
Quelle est la formule de la somme télescopique ?
La formule est \(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} (a_{k+1}- a_k) = a_{n+1}- a_m\) : seuls survivent le dernier terme ajouté et le premier terme retiré. Elle se démontre en deux lignes par un changement d’indice sur l’une des deux sommes.
Que signifie le mot télescopique en maths ?
Le terme vient de l’image d’une longue-vue (un télescope) qui se replie : les sections s’emboîtent et disparaissent les unes dans les autres. De même, dans la somme, les termes intermédiaires se compensent deux à deux et « se replient », ne laissant que les extrémités.
Quelle différence entre télescopage et transformation d’Abel ?
Le télescopage calcule une somme dont le terme est déjà une différence \(a_{k+1}- a_k\). La transformation d’Abel est plus générale : elle s’applique à un produit \(a_k b_k\) et sert surtout à majorer ou à établir la convergence d’une série. En réalité, la transformation d’Abel contient un télescopage en son cœur.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le télescopage. Pour consolider ta technique de calcul sur les sommes et les coefficients binomiaux :
- Coefficient Binomial : Formule, Démonstration et Calcul — du Lycée à la Prépa
- Permutations en Mathématiques : Formule n!, Démonstration et Exercices Corrigés
- 20 Exercices de Dénombrement Corrigés — Terminale et Prépa
- Les Congruences en Mathématiques : Cours, Exercices et Arithmétique Modulaire
- Inégalité de Cauchy-Schwarz : Cours, Propriétés et Exercices Corrigés
