Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit ; deux droites distinctes du plan sont parallèles quand elles n’ont aucun point commun. Ces deux notions, et les trois propriétés qui les relient, sont au cœur de la géométrie de 6e. Voici le cours complet, des définitions jusqu’aux tracés et aux justifications.
📘 Repères de niveau
- CM1 – CM2 : reconnaître et tracer des droites parallèles et perpendiculaires.
- 6e (programme 2025) : propriétés des droites, notations ⊥ et //, distance d’un point à une droite.
- 5e – 3e : démontrer un parallélisme (angles, réciproque de Thalès).
- 🔵 Seconde : parallèles et perpendiculaires avec des coordonnées.
Dernière mise à jour : 15/10/2026.
Cadre : les propriétés ci-dessous concernent les droites du plan. Deux droites parallèles ont la même direction : elles sont soit strictement parallèles (aucun point commun), soit confondues. Les figures présentent le plus souvent des droites distinctes.
I. Deux droites du plan : sécantes, perpendiculaires ou parallèles
Quand tu considères deux droites distinctes du plan, il n’y a que deux grandes possibilités : soit elles finissent par se croiser, soit elles ne se croisent jamais. C’est de là que partent toutes les notions de ce chapitre.
Deux droites qui se coupent en un point sont dites sécantes. Deux droites qui ne se coupent jamais, même prolongées à l’infini, sont parallèles. Les droites perpendiculaires sont un cas très particulier de droites sécantes : elles se croisent en formant un angle droit.
| Situation | Les droites… | Exemple |
|---|---|---|
| Sécantes | se coupent en un point | deux rues qui se croisent |
| Perpendiculaires | se coupent à angle droit | les bords d’une feuille |
| Parallèles | ne se coupent jamais | les rails d’un train |
Pour tout savoir sur les droites qui se croisent (et la méthode « non parallèles donc sécantes »), consulte la page dédiée aux droites sécantes. Voyons maintenant de plus près chacune des deux familles vedettes de ce chapitre.
II. Droites perpendiculaires : l’essentiel
Commençons par la notion qui repose sur un objet que tu connais déjà très bien : l’angle droit.
Définition — Droites perpendiculaires
Deux droites sont perpendiculaires lorsqu’elles se coupent en formant un angle droit. On note \((d) \perp (d^\prime)\) et on le lit « la droite (d) est perpendiculaire à la droite (d’) ».
Le petit carré que tu dessines à l’intersection n’est pas décoratif : c’est le codage de l’angle droit. Il dit « ici, l’angle mesure exactement 90° », ce qui t’évite de le vérifier à chaque fois. Pour revoir cette notion de base, va voir le cours sur l’angle droit.
Attention : une droite perpendiculaire n’est pas forcément verticale. Deux droites bien penchées peuvent parfaitement être perpendiculaires, du moment que l’angle entre elles est droit. Le cours complet sur les droites perpendiculaires détaille ce piège et les figures usuelles (losange, hauteur d’un triangle, médiatrice).
La fiche de révision « Droites parallèles et perpendiculaires »
Définitions, symboles ⊥ et //, les 3 propriétés et le modèle « Je sais que… Or… Donc… » sur une fiche claire à imprimer.
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III. Droites parallèles : l’essentiel
Passons à l’autre grande famille, celle des droites qui ne se rencontrent jamais.
Définition — Droites parallèles
Deux droites du plan sont parallèles lorsqu’elles ont la même direction. Elles sont soit confondues, soit strictement parallèles (aucun point commun). On note \((d) \parallel (d^\prime)\) et on le lit « la droite (d) est parallèle à la droite (d’) ».
Le mot-clé de la définition, c’est « dans le plan ». Deux droites parallèles gardent toujours le même écart entre elles : où que tu mesures la distance qui les sépare, tu trouves le même nombre. Une mesure permet de contrôler un tracé. Pour démontrer un parallélisme, on utilise une propriété, par exemple la présence d’une perpendiculaire commune.
Erreur classique : croire que deux droites « qui ne se touchent pas sur la feuille » sont parallèles. Elles peuvent très bien se couper un peu plus loin ! Pour le démontrer, il faut utiliser une propriété ; l’équerre permet de contrôler un tracé.
Le cours complet sur les droites parallèles va plus loin (parallèles ou confondues, côtés du parallélogramme). Avant les propriétés, il faut savoir écrire ces droites : place aux symboles.
IV. Notations et symboles : ⊥ et //
En maths, on ne dessine pas toujours : on écrit aussi avec des symboles. Deux à retenir pour ce chapitre.
| Symbole | Signification | Exemple d’écriture |
|---|---|---|
| ⊥ | est perpendiculaire à | \((AB) \perp (CD)\) |
| // | est parallèle à | \((AB) \parallel (CD)\) |
On note les droites avec des parenthèses : (d), (d’), ou (AB) quand la droite passe par les points A et B. L’angle droit, lui, se code toujours par un petit carré à l’intersection.
A. Écrire ⊥ et // au clavier
Sur un ordinateur, le symbole // se tape avec deux barres obliques (l’emplacement de la touche dépend du clavier). Le symbole ⊥ s’obtient par la table des caractères spéciaux d’un traitement de texte. Dans un devoir manuscrit, écris-les simplement à la main : c’est plus rapide.
Pour écrire les symboles : tu peux aussi copier directement ∥ et ⊥ dans ton document. À la main, les deux traits // sont une notation habituelle du parallélisme.
V. Les trois propriétés à connaître en 6e
Voici le cœur du chapitre. Ces trois propriétés relient les droites parallèles et perpendiculaires, et ce sont elles qui te permettent de démontrer un résultat sans mesurer, juste en raisonnant.
A. Deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles
Propriété 1
Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Imagine une route bien droite, et deux poteaux plantés perpendiculairement à cette route : les deux poteaux sont forcément parallèles l’un à l’autre. C’est exactement cette propriété.
B. Deux parallèles à une même droite sont parallèles entre elles
Propriété 2
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
Le parallélisme « se transmet » : si (d1) // (d2) et (d2) // (d3), alors (d1) // (d3). C’est logique : trois rails tous parallèles au même rail central sont parallèles les uns aux autres.
C. Une perpendiculaire à l’une de deux parallèles l’est à l’autre
Propriété 3
Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l’une est aussi perpendiculaire à l’autre.
D. Pourquoi c’est vrai : une seule perpendiculaire par un point
Ces propriétés ne tombent pas du ciel. Elles reposent sur un fait simple : par un point donné, il ne passe qu’une seule droite perpendiculaire à une droite donnée, et une seule droite parallèle. Il n’y a jamais deux perpendiculaires différentes passant par le même point : il faudrait que les deux forment un angle droit, ce qui est impossible sauf si elles sont confondues. C’est cette unicité qui garantit la propriété 1.
🔵 Et dans l’espace ? Attention, la propriété 1 est fausse en 3D. Sur un coin de cube, deux arêtes peuvent être perpendiculaires à une même troisième arête sans être parallèles entre elles : elles sont même sécantes au sommet du cube ! Cette limite est expliquée en détail sur la page des droites perpendiculaires.
VI. Rédiger une justification avec ces propriétés
Connaître les propriétés, c’est bien. Savoir les utiliser pour rédiger une justification propre, c’est ce que l’on attend vraiment de toi en 6e. La bonne nouvelle : il existe une structure toute faite.
Le modèle « Je sais que… Or… Donc… »
Je sais que → les données de l’énoncé (ce qui est écrit ou codé sur la figure).
Or → la propriété que tu utilises (une des trois ci-dessus).
Donc → la conclusion.
Par exemple : « Je sais que (d1) ⊥ (d) et (d2) ⊥ (d). Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles. Donc (d1) // (d2). » C’est aussi simple que ça, et c’est bien plus solide que « on voit sur le dessin qu’elles sont parallèles ».
Toutes les méthodes de justification, rangées par classe (6e, 5e, 3e, Seconde), sont détaillées sur la page démontrer que deux droites sont parallèles.
VII. Tracer à l’équerre : l’essentiel
La géométrie, ça se dessine autant que ça se raisonne. Deux gestes de base suffisent, et ils reposent tous les deux sur l’équerre.
Pour tracer une perpendiculaire à une droite passant par un point : on pose l’angle droit de l’équerre sur la droite, on fait glisser l’équerre jusqu’à ce que son bord passe par le point, puis on trace. Pour tracer une parallèle passant par un point : on trace deux perpendiculaires successives (c’est la propriété 1 qui justifie la méthode !), ou on fait glisser l’équerre le long d’une règle.
La méthode complète, geste par geste, avec une figure pour chaque étape et la méthode au compas, est sur la page tracer une droite parallèle ou perpendiculaire.
VIII. Parcours par niveau : du CM1 à la prépa
Ces notions t’accompagnent bien au-delà de la 6e. Voici comment elles grandissent avec toi.
| Niveau | Ce que tu apprends | Pour approfondir |
|---|---|---|
| CM1 – CM2 | reconnaître et tracer | exercices de CM1, exercices de CM2 |
| 6e | propriétés, distance d’un point à une droite | exercices de 6e |
| 5e | angles correspondants et alternes-internes | angles correspondants |
| 3e | réciproque de Thalès | réciproque du théorème de Thalès |
| 🔵 Seconde | coordonnées, vecteurs colinéaires | vecteurs colinéaires |
| 🔵 Première | vecteur normal, produit scalaire | vecteurs orthogonaux |
| 🔵 Terminale | orthogonalité dans l’espace | produit scalaire dans l’espace |
| 🟠 Prépa | espaces euclidiens, projection orthogonale | espace euclidien |
A. 🔵 En Seconde : parallèles et perpendiculaires avec des coordonnées
Au lycée, on ne mesure plus à l’équerre : on calcule. Dans un repère, deux droites non verticales sont parallèles quand elles ont le même coefficient directeur (\(m = m^\prime\)). Dans un repère orthonormé, elles sont perpendiculaires quand le produit de leurs coefficients directeurs vaut \(-1\), c’est-à-dire \(m \times m^\prime = -1\). Ces critères et leurs hypothèses exactes sont développés dans le cours sur l’équation de droite.
IX. Exemples d’application corrigés
Place à la pratique. Essaie chaque exemple seul, puis déplie la correction. Pour t’entraîner davantage, file vers les exercices corrigés de 6e.
Exercice 1 — Utiliser la propriété 1 ★
Sur une figure, les droites (d1) et (d2) sont toutes les deux perpendiculaires à la droite (d). Que peux-tu dire de (d1) et (d2) ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique le modèle « Je sais que… Or… Donc… ».
Je sais que \((d_1) \perp (d)\) et \((d_2) \perp (d)\).
Or si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles (propriété 1).
Donc \((d_1) \parallel (d_2)\).
L’erreur à éviter : répondre « elles sont parallèles car on le voit sur le dessin ». Une figure ne prouve rien, il faut citer la propriété.
Exercice 2 — La perpendicularité se transmet-elle ? ★★
On sait que (d1) ⊥ (d2) et (d2) ⊥ (d3). Peut-on en conclure que (d1) ⊥ (d3) ? Réponds par vrai ou faux et justifie.
Voir la correction de l’exercice 2
Faux. La perpendicularité ne se transmet pas comme le parallélisme.
Je sais que \((d_1) \perp (d_2)\) et \((d_2) \perp (d_3)\).
Or \((d_1)\) et \((d_3)\) sont toutes deux perpendiculaires à la même droite \((d_2)\) : c’est la propriété 1.
Donc \((d_1) \parallel (d_3)\) : les deux droites sont parallèles, pas perpendiculaires.
L’erreur à éviter : enchaîner les symboles ⊥ comme on enchaîne les //. Deux perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles.
Exercice 3 — Combiner parallélisme et perpendicularité ★★
On donne (d1) // (d2) et (d3) ⊥ (d1). Que peut-on dire de la position de (d3) par rapport à (d2) ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 3
Je sais que \((d_1) \parallel (d_2)\) et \((d_3) \perp (d_1)\).
Or si deux droites sont parallèles, toute droite perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre (propriété 3).
Donc \((d_3) \perp (d_2)\).
L’erreur à éviter : croire qu’une perpendiculaire à l’une des deux parallèles « échappe » à la seconde. Elle est perpendiculaire aux deux.
X. Erreurs fréquentes
Voici les pièges que l’on retrouve le plus souvent dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
❌ « Elles ne se touchent pas sur la feuille, donc elles sont parallèles. »
Deux droites peuvent se couper juste en dehors de ta feuille. Utilise une propriété pour justifier le parallélisme.
❌ Oublier de coder l’angle droit.
L’angle droit doit être donné dans l’énoncé, codé ou démontré. Le codage fait partie de la figure, pas de la décoration.
❌ Citer la propriété sans son hypothèse.
« Elles sont parallèles car la propriété 1 » ne suffit pas : il faut écrire que les deux droites sont perpendiculaires à une même troisième droite.
❌ Croire que la perpendicularité se transmet.
Si (d1) ⊥ (d2) et (d2) ⊥ (d3), alors (d1) // (d3), et non (d1) ⊥ (d3).
D’autres pièges de géométrie sont recensés dans le guide des erreurs en géométrie au collège.
XI. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre deux droites parallèles et perpendiculaires ?
Deux droites parallèles ne se coupent jamais : elles gardent toujours le même écart. Deux droites perpendiculaires se coupent, mais d’une manière bien particulière : en formant un angle droit. Les parallèles s’évitent, les perpendiculaires se croisent à 90°.
Quelles sont les 3 propriétés des droites parallèles et perpendiculaires ?
1. Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. 2. Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. 3. Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre. Ce sont les trois propriétés à connaître en 6e.
Comment savoir si une droite est parallèle ou perpendiculaire ?
Pour contrôler une perpendicularité, on utilise l’équerre. Pour justifier le parallélisme, on peut montrer que les deux droites sont perpendiculaires à une même droite. Des mesures approximatives sur un dessin ne remplacent pas une démonstration.
Quelle est la règle des droites parallèles ?
La règle de base : deux droites strictement parallèles ne se coupent jamais et restent à distance constante. La règle la plus utile pour raisonner : si deux droites sont parallèles à une même troisième droite, alors elles sont parallèles entre elles. Le parallélisme « se transmet ».
Quel est le symbole de perpendiculaire ?
Le symbole de la perpendicularité est ⊥. On écrit par exemple \((AB) \perp (CD)\), qui se lit « la droite (AB) est perpendiculaire à la droite (CD) ». Le parallélisme, lui, se note avec deux barres : //.
Quel est le contraire de perpendiculaire ?
Le contraire de « perpendiculaire » n’est pas « parallèle » : c’est une idée que beaucoup d’élèves ont. Deux droites peuvent se couper sans former d’angle droit (elles sont alors seulement sécantes, ou obliques). « Parallèle » et « perpendiculaire » décrivent deux situations précises, ce ne sont pas des contraires l’une de l’autre.
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont-elles parallèles dans l’espace ?
Dans le plan, oui (propriété 1). Mais dans l’espace, non : sur un coin de cube, deux arêtes peuvent être perpendiculaires à une même arête sans être parallèles. Cette différence est la grande nouveauté de la géométrie de Terminale.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les définitions, les symboles, les trois propriétés et les tracés. Pour continuer :
- Droites sécantes : définition, méthode et cas particuliers
- L’angle droit : définition, symbole, mesure et tracé
- 14 exercices corrigés sur les angles en 5ème
- Symétrie CM2 : 12 exercices corrigés, dont une évaluation
- La symétrie centrale : cours, construction et propriétés
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