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Tu dois comparer deux classes qui ont passé le même contrôle : la première a une moyenne de 11, la seconde aussi. Alors, elles se valent ? Pas forcément. L’une peut être très homogène, l’autre très dispersée. Le diagramme en boîte (aussi appelé boîte à moustaches) est justement l’outil qui rend cette différence visible en un coup d’œil. Dans cette méthode, tu vas apprendre à en construire un pas à pas, à le lire correctement, et à éviter les pièges classiques de la classe de Seconde.
I. Les 5 nombres qui font une boîte
Un diagramme en boîte ne demande que cinq valeurs, aucune de plus. On les appelle le résumé en cinq nombres. Avant de dessiner quoi que ce soit, tu dois savoir les calculer.
Définition — Diagramme en boîte
Le diagramme en boîte est une représentation graphique d’une série statistique qui affiche cinq indicateurs : le minimum, le premier quartile \(Q_1\), la médiane \(\mathrm{Me}\), le troisième quartile \(Q_3\) et le maximum. La boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\), et les moustaches relient la boîte au minimum et au maximum.
Voici le rôle de chacun de ces nombres :
- Minimum et maximum : les valeurs extrêmes de la série. Leur écart est l’étendue.
- Médiane \(\mathrm{Me}\) : la valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif.
- Premier quartile \(Q_1\) : la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des données lui sont inférieures ou égales.
- Troisième quartile \(Q_3\) : la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des données lui sont inférieures ou égales.
La longueur de la boîte, \(Q_3 – Q_1\), porte un nom : c’est l’écart interquartile. Il mesure la dispersion des 50 % de valeurs centrales, en ignorant les extrêmes. C’est toute la force de cet outil.
À retenir : la boîte contient toujours 50 % de l’effectif (entre \(Q_1\) et \(Q_3\)). Chaque moustache en contient environ 25 %. Si tu maîtrises déjà le calcul des quartiles et de la médiane, tu as fait 80 % du travail.
II. Construire un diagramme en boîte en 4 étapes
Une fois les cinq nombres en main, la construction est mécanique. Voici la méthode que tu peux appliquer à toutes les séries.
Étape 1 — Ordonner la série et compter l’effectif
Range toutes les valeurs dans l’ordre croissant et compte l’effectif total \(N\). Sans série ordonnée, aucun quartile n’est calculable correctement.
Étape 2 — Calculer les 5 indicateurs
Détermine le minimum, le maximum, la médiane, puis \(Q_1\) et \(Q_3\). En Seconde, on retient la convention suivante :
Position des quartiles (convention lycée) : \(Q_1\) est la valeur de rang \(\displaystyle\frac{N}{4}\) (arrondi à l’entier supérieur si le résultat n’est pas entier), et \(Q_3\) est la valeur de rang \(\displaystyle\frac{3N}{4}\) (même règle d’arrondi).
Étape 3 — Tracer un axe gradué
Dessine un axe horizontal régulièrement gradué, qui couvre au moins du minimum au maximum. L’échelle doit être constante : c’est ce qui rend le diagramme lisible et comparable.
Étape 4 — Dessiner la boîte et les moustaches
Trace un rectangle de \(Q_1\) à \(Q_3\), puis un trait vertical sur la médiane à l’intérieur de la boîte. Enfin, relie chaque côté de la boîte au minimum (à gauche) et au maximum (à droite) par un segment : ce sont les moustaches.
La fiche méthode « Diagramme en boîte » en recto-verso
Les 4 étapes de construction, le résumé en cinq nombres et les pièges à éviter, tout sur une seule page à imprimer.
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Cette méthode fonctionne toujours, mais encore faut-il savoir quand choisir ce diagramme plutôt qu’un autre. C’est l’objet du tableau suivant.
Quand utiliser un diagramme en boîte plutôt qu’un autre ?
Le diagramme en boîte n’est pas toujours le bon choix. Il excelle pour comparer des séries, mais cache la forme fine de la distribution. Voici comment le positionner par rapport aux autres représentations du programme.
| Représentation | Ce qu’elle montre le mieux | Quand l’utiliser | Sa limite |
|---|---|---|---|
| Diagramme en boîte | Dispersion, médiane, comparaison de séries | Comparer 2 séries ou plus, repérer les valeurs extrêmes | Ne montre ni la forme, ni les effectifs par classe |
| Histogramme | Forme de la distribution, densité par classe | Données continues groupées en classes | Peu pratique pour comparer plusieurs séries côte à côte |
| Diagramme en bâtons | Effectif de chaque valeur isolée | Données discrètes (nombre d’enfants, notes…) | Illisible si les valeurs sont trop nombreuses |
| Diagramme circulaire | Proportions, parts d’un tout | Répartition en catégories (couleurs, réponses…) | Ne dit rien sur la dispersion ni les quartiles |
La règle simple : tu veux comparer la dispersion de plusieurs groupes → diagramme en boîte. Tu veux voir la forme d’une seule distribution → histogramme.
III. Exemples résolus
Passons à la pratique avec deux exemples de difficulté croissante, du calcul direct à la comparaison de deux séries.
Exemple 1 🔵 (Seconde) — Notes d’un contrôle. Une classe de 11 élèves obtient les notes suivantes :
\(6 \; ; \; 7 \; ; \; 9 \; ; \; 10 \; ; \; 11 \; ; \; 12 \; ; \; 12 \; ; \; 13 \; ; \; 14 \; ; \; 16 \; ; \; 18\)
Étape 1 — Série ordonnée : elle l’est déjà, \(N = 11\).
Étape 2 — Les 5 nombres :
- Minimum \(= 6\), maximum \(= 18\).
- Médiane : rang \(6\) (valeur centrale des 11 données) \(\Rightarrow \mathrm{Me} = 12\).
- \(Q_1\) : rang \(\displaystyle\frac{11}{4} = 2{,}75\), arrondi à \(3 \Rightarrow Q_1 = 9\).
- \(Q_3\) : rang \(\displaystyle\frac{3 \times 11}{4} = 8{,}25\), arrondi à \(9 \Rightarrow Q_3 = 14\).
Résumé en cinq nombres : \(6 \; ; \; 9 \; ; \; 12 \; ; \; 14 \; ; \; 18\). L’écart interquartile vaut \(Q_3 – Q_1 = 14 – 9 = 5\). On peut alors tracer la boîte.
Exemple 2 🟡 (approfondissement) — Comparer deux classes. Deux classes ont la même médiane (12) au même contrôle. Leurs résumés en cinq nombres sont :
- Classe A : \(6 \; ; \; 9 \; ; \; 12 \; ; \; 14 \; ; \; 18\) (écart interquartile \(= 5\)).
- Classe B : \(2 \; ; \; 5 \; ; \; 12 \; ; \; 17 \; ; \; 20\) (écart interquartile \(= 12\)).
Lecture : les deux médianes sont identiques, mais la boîte de B est bien plus large. La classe A est homogène (les notes se serrent autour de 12), tandis que la classe B est très dispersée. Le diagramme en boîte révèle immédiatement ce que la médiane seule cache.
Tu remarques ici tout l’intérêt de l’outil : deux séries de même médiane peuvent être radicalement différentes. Voyons maintenant comment lire un diagramme déjà tracé.
IV. Lire un diagramme en boîte : ce qu’il montre, ce qu’il cache
Savoir construire, c’est bien. Savoir interpréter, c’est ce qui rapporte les points au contrôle. Voici les trois lectures attendues.
- Position : où se situe la médiane ? Une médiane décalée vers la gauche de la boîte signale une distribution asymétrique.
- Dispersion : plus la boîte est large, plus les 50 % centraux sont étalés. Une moustache longue signale des valeurs extrêmes éloignées.
- Comparaison : superposées sur le même axe, deux boîtes se comparent instantanément.
Ce que la boîte cache. Un diagramme en boîte ne montre pas les effectifs ni la forme exacte de la distribution. Deux séries très différentes peuvent avoir le même diagramme en boîte ! Pour voir la répartition détaillée à l’intérieur des classes, il faut un histogramme. La boîte résume, l’histogramme détaille.
Cette distinction avec l’histogramme est régulièrement demandée. Retiens : la boîte est faite pour comparer, l’histogramme pour décrire une seule série en détail.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois fautes qui coûtent le plus de points en Seconde, avec le diagnostic et la correction.
❌ Copie fautive : « La boîte va du minimum au maximum. »
Diagnostic : confusion entre la boîte et les moustaches. La boîte, ce sont les quartiles ; ce sont les moustaches qui atteignent les extrêmes.
✅ Correction : la boîte va de \(Q_1\) à \(Q_3\). Le minimum et le maximum sont les bouts des moustaches.
❌ Copie fautive : calcul des quartiles sur une série non ordonnée.
Diagnostic : l’élève applique les rangs directement sur les données telles qu’écrites dans l’énoncé.
✅ Correction : toujours ranger la série dans l’ordre croissant avant de repérer \(Q_1\) et \(Q_3\). Un rang n’a de sens que sur une série triée.
❌ Copie fautive : une échelle qui n’est pas régulière sur l’axe (par exemple, on place directement les 5 nombres à intervalles égaux).
Diagnostic : le diagramme devient trompeur, les longueurs de boîte et de moustaches n’ont plus aucun sens.
✅ Correction : l’axe doit être gradué régulièrement. C’est la longueur des segments qui traduit la dispersion réelle.
Tu connais maintenant la méthode complète et ses pièges. Passons à l’entraînement.
VI. Exercices d’application
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 🔵 — Construction directe. On relève les temps (en minutes) de 9 trajets domicile-lycée :
\(12 \; ; \; 15 \; ; \; 15 \; ; \; 18 \; ; \; 20 \; ; \; 22 \; ; \; 25 \; ; \; 28 \; ; \; 35\)Détermine le résumé en cinq nombres et l’écart interquartile.
Voir la correction de l’exercice 1
La série est déjà ordonnée, \(N = 9\).
- Minimum \(= 12\), maximum \(= 35\).
- Médiane : rang \(5 \Rightarrow \mathrm{Me} = 20\).
- \(Q_1\) : rang \(\displaystyle\frac{9}{4} = 2{,}25\), arrondi à \(3 \Rightarrow Q_1 = 15\).
- \(Q_3\) : rang \(\displaystyle\frac{3 \times 9}{4} = 6{,}75\), arrondi à \(7 \Rightarrow Q_3 = 25\).
Résumé : \(12 \; ; \; 15 \; ; \; 20 \; ; \; 25 \; ; \; 35\). Écart interquartile \(= 25 – 15 = 10\) minutes.
Exercice 2 🟡 — Lecture d’un diagramme. Sur un diagramme en boîte, tu lis : minimum \(= 4\), \(Q_1 = 8\), \(\mathrm{Me} = 13\), \(Q_3 = 15\), maximum \(= 20\). Que peux-tu dire de la répartition des valeurs ?
Voir la correction de l’exercice 2
La moustache de gauche est longue (\(8 – 4 = 4\)) alors que la partie gauche de la boîte l’est aussi (\(13 – 8 = 5\)). À droite, la boîte est courte (\(15 – 13 = 2\)) mais la moustache droite est longue (\(20 – 15 = 5\)).
La médiane (13) est proche de \(Q_3\) : les 25 % de valeurs entre la médiane et \(Q_3\) sont très resserrées, alors que le quart supérieur (au-dessus de \(Q_3\)) est très étalé. La distribution est asymétrique, avec des valeurs hautes dispersées.
Exercice 3 🟡 — Raisonnement. Deux amis affirment : « Nos deux séries ont le même minimum, le même maximum et la même médiane : leurs diagrammes en boîte sont donc identiques. » Ont-ils raison ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 3
Non, ils ont tort. Le diagramme en boîte dépend de cinq nombres, pas trois. Deux séries peuvent partager minimum, maximum et médiane mais avoir des quartiles \(Q_1\) et \(Q_3\) différents, donc des boîtes de largeurs différentes.
Contre-exemple : série A \(= 2\,;\,4\,;\,6\,;\,8\,;\,10\) et série B \(= 2\,;\,5\,;\,6\,;\,7\,;\,10\). Même minimum (2), même maximum (10), même médiane (6), mais des dispersions différentes. Leurs diagrammes en boîte ne sont pas identiques.
🔵 Pour aller plus loin — Détecter les valeurs aberrantes. Au-delà du programme, on définit souvent des valeurs aberrantes comme celles situées à plus de \(1{,}5\) écart interquartile en dehors de la boîte. Concrètement, une valeur est suspecte si elle est inférieure à \(Q_1 – 1{,}5 \times (Q_3 – Q_1)\) ou supérieure à \(Q_3 + 1{,}5 \times (Q_3 – Q_1)\). Dans les logiciels de statistiques, ces points sont alors dessinés isolément, hors des moustaches. C’est un critère de base en analyse de données réelles.
VII. Questions fréquentes
Comment appelle-t-on aussi un diagramme en boîte ?
On l’appelle aussi boîte à moustaches, ou parfois diagramme de Tukey, du nom du statisticien qui l’a popularisé. En anglais, c’est le box plot. Ces expressions désignent exactement le même objet.
Comment construire un diagramme en boîte étape par étape ?
Quatre étapes : (1) ordonner la série et compter l’effectif ; (2) calculer les cinq nombres (minimum, \(Q_1\), médiane, \(Q_3\), maximum) ; (3) tracer un axe régulièrement gradué ; (4) dessiner la boîte de \(Q_1\) à \(Q_3\) avec la médiane à l’intérieur, puis les moustaches jusqu’aux extrêmes.
Quelle est la différence entre un diagramme en boîte et un histogramme ?
Le diagramme en boîte résume une série en cinq nombres et sert surtout à comparer plusieurs séries et à visualiser la dispersion. L’histogramme montre la forme complète de la distribution, classe par classe, mais il est peu pratique pour comparer plusieurs groupes. La boîte résume, l’histogramme détaille.
À quel niveau apprend-on le diagramme en boîte ?
En France, il figure au programme de la classe de Seconde, dans le thème des statistiques descriptives, en lien avec les quartiles et l’écart interquartile. Il n’est plus étudié en spécialité maths au-delà, mais reste un outil clé en filières technologiques et dans le supérieur.
La boîte contient-elle vraiment la moitié des données ?
Oui. Par construction, la boîte s’étend de \(Q_1\) (25 % des données en dessous) à \(Q_3\) (75 % des données en dessous). Elle contient donc les 50 % de valeurs centrales de la série, quelle que soit sa forme.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la construction et la lecture d’un diagramme en boîte. Pour consolider tes bases en statistiques et en fonctions, poursuis avec :
- Taux de variation : définition, calcul et exemples simples
- Espérance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Variable Aléatoire : Cours Complet du Lycée à la Prépa
- Fonction Affine et Linéaire (Seconde) : Cours et Méthodes
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