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Le développement par cofacteurs est la technique pour calculer le déterminant d’une matrice 4×4 — à condition de l’utiliser intelligemment. En concours, une erreur de signe ou un mauvais choix de ligne suffit à perdre des points. Tu trouveras ici la méthode complète en 4 étapes, 4 exemples résolus et 4 exercices corrigés.
I. La formule du développement par cofacteurs
A. Mineur et cofacteur — rappels
Soit \(A = (a_{i,j}) \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\) une matrice 4×4. Avant de développer un déterminant, deux notions sont indispensables.
Définition — Mineur \(M_{i,j}\)
Le mineur \(M_{i,j}\) est le déterminant de la matrice 3×3 obtenue en supprimant la ligne \(i\) et la colonne \(j\) de \(A\).
Définition — Cofacteur \(C_{i,j}\)
Le cofacteur de \(a_{i,j}\) est :
\(C_{i,j} = (-1)^{i+j} \, M_{i,j}\)
Le facteur \((-1)^{i+j}\) détermine le signe du cofacteur : positif si \(i+j\) est pair, négatif sinon.
B. Formule de développement selon une ligne ou une colonne
Théorème — Développement par cofacteurs
Pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_4(\mathbb{R})\), le déterminant peut se calculer :
Selon la ligne \(i\) :
\(\displaystyle\det(A) = \sum_{j=1}^{4} (-1)^{i+j} \, a_{i,j} \, M_{i,j}\)
Selon la colonne \(j\) :
\(\displaystyle\det(A) = \sum_{i=1}^{4} (-1)^{i+j} \, a_{i,j} \, M_{i,j}\)
Le résultat est le même quel que soit le choix de la ligne ou de la colonne.
Conséquence clé : chaque coefficient nul \(a_{i,j} = 0\) élimine un terme de la somme. Plus il y a de zéros dans la ligne ou la colonne choisie, moins il y a de déterminants 3×3 à calculer.
C. Grille des signes pour une matrice 4×4
Les signes \((-1)^{i+j}\) forment un damier qu’il faut connaître par cœur :
| Colonne 1 | Colonne 2 | Colonne 3 | Colonne 4 | |
|---|---|---|---|---|
| Ligne 1 | \(+\) | \(–\) | \(+\) | \(–\) |
| Ligne 2 | \(–\) | \(+\) | \(–\) | \(+\) |
| Ligne 3 | \(+\) | \(–\) | \(+\) | \(–\) |
| Ligne 4 | \(–\) | \(+\) | \(–\) | \(+\) |
Moyen mnémotechnique : le coin supérieur gauche (position \((1,1)\)) est toujours \(+\), puis les signes alternent en damier d’échecs.
II. Quand utiliser le développement par cofacteurs ?
Le développement par cofacteurs n’est pas toujours la technique la plus efficace. Voici un tableau comparatif pour choisir la bonne méthode selon la situation.
| Méthode | Quand l’utiliser | Quand NE PAS l’utiliser |
|---|---|---|
| Cofacteurs (+ opérations élémentaires) | Ligne/colonne avec des zéros ; matrice à paramètre ; démonstrations formelles | Matrice numérique dense sans aucun zéro (trop de termes) |
| Gauss pur (→ triangulaire) | Matrice numérique dense ; calcul systématique sans risque d’erreur | Matrice à paramètre (pivots nuls possibles selon la valeur du paramètre) |
| Par blocs | Structure bloc triangulaire visible : \(\det \begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \det(A) \cdot \det(D)\) | Pas de structure bloc exploitable |
| Produit des valeurs propres | Valeurs propres déjà connues ou faciles à identifier | Quand on ne connaît pas le spectre |
| Sarrus | Matrice 3×3 uniquement | Matrice 4×4 et au-delà — ne fonctionne pas |
Piège fatal : la règle de Sarrus est strictement limitée aux matrices 3×3. L’étendre à une matrice 4×4 produit un résultat faux dans 100 % des cas. En concours, c’est une erreur éliminatoire.
Stratégie optimale en pratique : la plupart des déterminants 4×4 en DS ou concours se traitent par une combinaison : opérations élémentaires (Gauss) pour créer des zéros, puis développement par cofacteurs pour conclure. Les étapes sont détaillées dans la section suivante.
La fiche méthode « Déterminant 4×4 » en PDF
Les 4 étapes, la grille des signes et les pièges à éviter — tout sur un recto-verso à garder sous la main en DS.
📄 Télécharger la fiche PDFZéro erreur de signe au prochain DS — c’est l’objectif.
III. Méthode pas à pas en 4 étapes
Étape 1 — Créer des zéros par opérations élémentaires
Avant de développer, simplifie la matrice en utilisant les opérations élémentaires sur les lignes (ou colonnes) qui ne changent pas la valeur du déterminant :
- \(L_i \leftarrow L_i + \alpha \, L_j\) (avec \(i \neq j\)) — ne modifie pas le déterminant
- \(C_j \leftarrow C_j + \alpha \, C_i\) (avec \(i \neq j\)) — ne modifie pas le déterminant
Attention : les opérations \(L_i \leftrightarrow L_j\) (échange de lignes) multiplient le déterminant par \(-1\), et \(L_i \leftarrow \alpha \, L_i\) le multiplie par \(\alpha\). En concours, justifie toujours pourquoi le déterminant est conservé.
Objectif : obtenir au moins 2 ou 3 zéros dans une même ligne ou colonne, idéalement en laissant un seul coefficient non nul.
Étape 2 — Choisir la ligne ou colonne optimale
Après simplification, identifie la ligne ou la colonne contenant le maximum de zéros. C’est elle qui minimise le nombre de déterminants 3×3 à calculer :
- 3 zéros → un seul terme à calculer (idéal)
- 2 zéros → deux termes
- 1 zéro → trois termes
- 0 zéro → quatre termes (à éviter : retourner à l’étape 1)
Étape 3 — Développer et calculer les déterminants 3×3
Applique la formule de développement selon la ligne ou colonne choisie. Pour chaque terme non nul :
- Repère le signe \((-1)^{i+j}\) dans la grille (section I.C)
- Écris le coefficient \(a_{i,j}\)
- Calcule le mineur \(M_{i,j}\) (déterminant 3×3) — par la règle de Sarrus ou un nouveau développement par cofacteurs
Étape 4 — Combiner les termes et conclure
Additionne les termes obtenus et simplifie. Si la matrice dépend d’un paramètre, factorise le résultat et discute les cas d’annulation (critère d’inversibilité).
Vérification rapide : si tu as le temps, développe selon une autre ligne ou colonne et vérifie que tu obtiens le même résultat. C’est la méthode la plus sûre pour détecter une erreur de signe.
IV. Exemples résolus
Exemple 1 — Développement direct (🟠 Prépa ★)
Énoncé : Calculer le déterminant de la matrice
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}\)
Étape 1 : Repérage. La colonne 2 contient les entrées \((0, 1, 0, 0)\) — un seul coefficient non nul. C’est la colonne idéale : un seul terme à calculer.
Étape 2 : Développement selon la colonne 2. Le seul terme non nul est \(a_{2,2} = 1\), en position \((2,2)\).
Le signe vaut \((-1)^{2+2} = +1\).
\(\det(A) = 1 \times M_{2,2}\)
Étape 3 : Calcul du mineur \(M_{2,2}\). On supprime la ligne 2 et la colonne 2 :
\(M_{2,2} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 4 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}\)
Par la règle de Sarrus ou développement selon la ligne 1 :
\(M_{2,2} = 1(4 \times 3 – 1 \times 1) – 2(0 \times 3 – 1 \times 2) + 0 = 1 \times 11 – 2 \times (-2) = 11 + 4 = 15\)
Conclusion :
\(\fbox{\det(A) = 15}\)
Exemple 2 — Développement à deux termes (🟠 Prépa ★★)
Énoncé : Calculer le déterminant de
\(B = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)
Étape 1 : La colonne 1 contient les entrées \((0, 1, 2, 0)\) — deux zéros, donc deux termes seulement.
Étape 2 : Développement selon la colonne 1 :
\(\det(B) = \underbrace{(-1)^{2+1}}_{= -1} \times 1 \times M_{2,1} \;+\; \underbrace{(-1)^{3+1}}_{= +1} \times 2 \times M_{3,1}\)
\(= -M_{2,1} + 2 \, M_{3,1}\)
Étape 3a : Calcul de \(M_{2,1}\) (on supprime ligne 2, colonne 1) :
\(M_{2,1} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(0-1) – 1(2-0) + 3(1-0) = -2 – 2 + 3 = -1\)
Étape 3b : Calcul de \(M_{3,1}\) (on supprime ligne 3, colonne 1) :
\(M_{3,1} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}\)
La ligne 2 de cette sous-matrice possède deux zéros. Développement selon la ligne 2 :
\(M_{3,1} = 3 \times \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 4 = 12\)
Étape 4 :
\(\det(B) = -(-1) + 2 \times 12 = 1 + 24\)
\(\fbox{\det(B) = 25}\)
Point clé : remarque comment le signe \((-1)^{2+1} = -1\) a transformé \(-M_{2,1} = -(-1) = +1\). Écrire les signes explicitement avant de remplacer les valeurs évite les erreurs.
Exemple 3 — Stratégie Gauss + cofacteurs (🟠 Prépa ★★)
Énoncé : Calculer le déterminant de
\(C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)
Étape 1 : Aucune ligne ni colonne n’a assez de zéros. On en crée par opérations élémentaires. Le coefficient \(a_{1,1} = 1\) est un pivot commode :
\(L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1 \quad;\quad L_4 \leftarrow L_4 – L_1\)
Ces opérations conservent le déterminant. On obtient :
\(C^\prime = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & -5 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 & 2 \end{pmatrix}\)
Étape 2 : La colonne 1 est maintenant \((1, 0, 0, 0)\) — un seul terme !
\(\det(C) = \det(C^\prime) = 1 \times (-1)^{1+1} \times M_{1,1}\)
Étape 3 : Calcul du mineur \(M_{1,1}\) :
\(M_{1,1} = \begin{vmatrix} 1 & -5 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}\)
Développement selon la ligne 1 :
\(= 1 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} – (-5) \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}\)
\(= 1(4+9) + 5(2-3) + 1(-3-2) = 13 – 5 – 5 = 3\)
Conclusion :
\(\fbox{\det(C) = 3}\)
Exemple 4 — Matrice tridiagonale à paramètre (🔴 Concours ★★★)
Cet exemple, classique en concours (X, Mines-Ponts, Centrale), illustre le développement sur une matrice dépendant d’un paramètre — là où la méthode de Gauss est risquée à cause des divisions par le paramètre.
Énoncé : Soit \(\lambda \in \mathbb{R}\). On pose
\(D(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \lambda \end{pmatrix}\)
Calculer \(\det(D(\lambda))\) et déterminer les valeurs de \(\lambda\) pour lesquelles \(D(\lambda)\) est inversible.
Solution :
La colonne 1 contient \((\lambda, 1, 0, 0)\) — deux zéros. Développement selon la colonne 1 :
\(\det(D) = \lambda \cdot (-1)^{1+1} \cdot M_{1,1} + 1 \cdot (-1)^{2+1} \cdot M_{2,1} = \lambda \, M_{1,1} – M_{2,1}\)
Calcul de \(M_{1,1}\) (on supprime ligne 1, colonne 1) :
\(M_{1,1} = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda^2 – 1) – 1(\lambda – 0) + 0 = \lambda^3 – \lambda – \lambda = \lambda^3 – 2\lambda\)
Calcul de \(M_{2,1}\) (on supprime ligne 2, colonne 1) :
\(M_{2,1} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = 1(\lambda^2 – 1) = \lambda^2 – 1\)
Assemblage :
\(\det(D) = \lambda(\lambda^3 – 2\lambda) – (\lambda^2 – 1) = \lambda^4 – 2\lambda^2 – \lambda^2 + 1\)
\(\fbox{\det(D(\lambda)) = \lambda^4 – 3\lambda^2 + 1}\)
Discussion — inversibilité :
\(D(\lambda)\) est inversible si et seulement si \(\det(D(\lambda)) \neq 0\). On cherche les racines de \(\lambda^4 – 3\lambda^2 + 1 = 0\). En posant \(u = \lambda^2\) :
\(u^2 – 3u + 1 = 0 \quad \Longrightarrow \quad u = \displaystyle\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\)
Soit \(\varphi = \displaystyle\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) le nombre d’or. On vérifie que \(\displaystyle\frac{3+\sqrt{5}}{2} = \varphi^2\) et \(\displaystyle\frac{3-\sqrt{5}}{2} = \displaystyle\frac{1}{\varphi^2}\).
Donc \(\det(D(\lambda)) = 0\) si et seulement si \(\lambda \in \left\{-\varphi, \; -\displaystyle\frac{1}{\varphi}, \; \displaystyle\frac{1}{\varphi}, \; \varphi\right\}\).
La matrice \(D(\lambda)\) est inversible pour tout \(\lambda \notin \left\{\pm\varphi, \pm\displaystyle\frac{1}{\varphi}\right\}\).
Pourquoi le nombre d’or ? La matrice \(D(\lambda)\) est tridiagonale à coefficients constants. Ce type de matrice apparaît en physique (chaîne d’oscillateurs couplés) et en informatique (graphes en chemin). Ses valeurs propres s’expriment toujours via des fonctions trigonométriques ou le nombre d’or — un résultat qu’on peut retrouver par diagonalisation.
V. Erreurs fréquentes — copies fautives commentées
Voici les erreurs qui reviennent systématiquement dans les copies de DS et de concours. Chaque erreur est présentée avec une copie fautive, un diagnostic et la correction.
Erreur 1 — Oubli du signe \((-1)^{i+j}\)
❌ Copie fautive :
« Je développe selon la colonne 1. Le coefficient en position \((2,1)\) vaut \(1\), donc :
\(\det = \ldots + 1 \times M_{2,1} + \ldots\) »
Diagnostic : Le signe en position \((2,1)\) vaut \((-1)^{2+1} = -1\). L’étudiant a omis ce facteur.
✅ Correction :
\(\det = \ldots + (-1)^{2+1} \times 1 \times M_{2,1} + \ldots = \ldots – M_{2,1} + \ldots\)
Conseil : Écris systématiquement le facteur \((-1)^{i+j}\) avant de le simplifier. Ne fais jamais le calcul de tête.
Erreur 2 — Suppression de la mauvaise ligne ou colonne
❌ Copie fautive :
« Pour \(M_{3,1}\), je supprime la ligne 1 et la colonne 3. »
Diagnostic : \(M_{3,1}\) est le mineur en position \((3,1)\) : on supprime la ligne 3 et la colonne 1. L’étudiant a interverti les indices.
✅ Correction : \(M_{i,j}\) → on supprime la ligne \(i\) et la colonne \(j\). Toujours vérifier en comptant les lignes et colonnes restantes (pour une 4×4 → mineur 3×3 : il doit rester 3 lignes et 3 colonnes).
Erreur 3 — Appliquer Sarrus à une matrice 4×4
❌ Copie fautive :
« J’applique la règle de Sarrus en recopiant les 3 premières colonnes à droite… »
Diagnostic : la règle de Sarrus n’est valable que pour les matrices 3×3. Elle repose sur le fait que le groupe symétrique \(\mathfrak{S}_3\) a exactement 6 éléments (3 diagonales descendantes, 3 montantes). Pour \(n = 4\), \(|\mathfrak{S}_4| = 24\) et la structure des diagonales ne se généralise pas.
✅ Correction : pour une matrice 4×4, utilise toujours le développement par cofacteurs ou la réduction de Gauss.
VI. Exercices d’application
Exercice 1 — 🟠 Prépa ★ (~5 min)
Calculer le déterminant de la matrice :
\(D = \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\)Voir la correction
La ligne 2 contient les entrées \((0, 3, 0, 0)\) — un seul coefficient non nul en position \((2,2)\).
Développement selon la ligne 2 :
\(\det(D) = (-1)^{2+2} \times 3 \times M_{2,2} = 3 \, M_{2,2}\)Le mineur \(M_{2,2}\) (suppression ligne 2, colonne 2) :
\(M_{2,2} = \begin{vmatrix} 5 & 0 & 2 \\ 1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}\)Développement selon la ligne 3 (deux zéros) :
\(M_{2,2} = 1 \times (-1)^{3+3} \times \begin{vmatrix} 5 & 0 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 1 \times (20 – 0) = 20\)Conclusion :
\(\fbox{\det(D) = 3 \times 20 = 60}\)Exercice 2 — 🟠 Prépa ★★ (~10 min)
Calculer le déterminant de la matrice :
\(E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}\)Voir la correction
Étape 1 : Opérations élémentaires pour créer des zéros dans la colonne 1.
\(L_2 \leftarrow L_2 – 2L_1 \;;\quad L_4 \leftarrow L_4 – L_1\) \(E^\prime = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)Étape 2 : La colonne 1 est \((1, 0, 0, 0)\). Développement :
\(\det(E) = 1 \times M_{1,1} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix}\)Étape 3 : Déterminant 3×3 par Sarrus ou cofacteurs (ligne 1) :
\(= 1(3 \times 1 – 2 \times 2) – 1(1 \times 1 – 2 \times 1) + 1(1 \times 2 – 3 \times 1)\) \(= 1(3 – 4) – 1(1 – 2) + 1(2 – 3) = (-1) – (-1) + (-1) = -1\) \(\fbox{\det(E) = -1}\)Exercice 3 — 🟠 Prépa ★★ (~10 min)
Calculer le déterminant de la matrice :
\(G = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 6 & 10 \\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{pmatrix}\)Voir la correction
Étape 1 : La première colonne est remplie de 1. On effectue des opérations sur les colonnes pour créer des zéros sur la ligne 1 :
\(C_2 \leftarrow C_2 – C_1 \;;\quad C_3 \leftarrow C_3 – C_1 \;;\quad C_4 \leftarrow C_4 – C_1\) \(G^\prime = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 9 \\ 1 & 3 & 9 & 19 \end{pmatrix}\)Étape 2 : Développement selon la ligne 1 (un seul terme) :
\(\det(G) = 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 9 \\ 3 & 9 & 19 \end{vmatrix}\)Étape 3 : Déterminant 3×3 :
\(= 1(5 \times 19 – 9 \times 9) – 2(2 \times 19 – 9 \times 3) + 3(2 \times 9 – 5 \times 3)\) \(= 1(95 – 81) – 2(38 – 27) + 3(18 – 15) = 14 – 22 + 9 = 1\) \(\fbox{\det(G) = 1}\)Remarque : la matrice \(G\) est une matrice de Pascal (ses coefficients sont des coefficients binomiaux). Son déterminant vaut toujours 1, quelle que soit sa taille. Ce résultat classique apparaît dans certains problèmes de concours.
Exercice 4 — 🔴 Concours ★★★ (~15 min)
Soit \(a \in \mathbb{R}\). On pose
\(H(a) = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}\)- Calculer \(\det(H(a))\).
- Pour quelles valeurs de \(a\) la matrice \(H(a)\) est-elle inversible ?
Voir la correction
1. Calcul du déterminant
Astuce clé : additionner toutes les lignes dans la première.
\(L_1 \leftarrow L_1 + L_2 + L_3 + L_4\)La nouvelle ligne 1 vaut : \((a+3, \; a+3, \; a+3, \; a+3)\). On factorise \((a+3)\) :
\(\det(H) = (a+3) \times \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}\)Puis on crée des zéros en soustrayant la nouvelle ligne 1 :
\(L_2 \leftarrow L_2 – L_1 \;;\quad L_3 \leftarrow L_3 – L_1 \;;\quad L_4 \leftarrow L_4 – L_1\) \(= (a+3) \times \det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{pmatrix}\)La matrice est triangulaire supérieure. Son déterminant est le produit des coefficients diagonaux :
\(\fbox{\det(H(a)) = (a+3)(a-1)^3}\)2. Inversibilité
\(H(a)\) est inversible si et seulement si \(\det(H(a)) \neq 0\), c’est-à-dire :
\(a \neq 1 \quad \text{et} \quad a \neq -3\)Interprétation : la matrice \(H(a) = (a-1)I_4 + J\) où \(J\) est la matrice dont tous les coefficients valent 1. La matrice \(J\) possède les valeurs propres 4 (simple) et 0 (triple), donc \(H(a)\) a les valeurs propres \(a+3\) et \(a-1\) (triple). On retrouve \(\det = (a+3)(a-1)^3\).
VII. Rédaction concours — ce que le correcteur attend
En concours (X, Mines-Ponts, Centrale, CCP), le calcul de déterminant est rarement une fin en soi — c’est un outil au service d’un raisonnement plus large (inversibilité, diagonalisation, rang). Voici les attendus de rédaction.
Rédaction type — À écrire sur la copie
- Annoncer la méthode : « On développe \(\det(A)\) selon la colonne \(j\) (qui contient [nombre] zéros). »
- Justifier toute opération élémentaire : « Les opérations \(L_i \leftarrow L_i – \alpha L_j\) ne modifient pas le déterminant. »
- Écrire la formule avant de calculer : \(\det(A) = (-1)^{i+j} a_{i,j} M_{i,j} + \ldots\), puis remplacer.
- Pour un paramètre : factoriser le résultat final et conclure explicitement : « Donc \(A\) est inversible si et seulement si \(\lambda \neq \ldots\) »
Ce qui fait perdre des points :
- Un calcul brut sans justification de la méthode → le correcteur ne peut pas suivre le raisonnement et ne donne pas de points partiels en cas d’erreur.
- « Par Sarrus… » sur une matrice 4×4 → erreur méthodologique sanctionnée.
- Un résultat non factorisé quand la factorisation est naturelle (ex : écrire \(\lambda^4 – 3\lambda^2 + 1\) au lieu de \((\lambda^2 – \varphi^2)(\lambda^2 – \varphi^{-2})\) si le contexte l’exige).
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le développement par cofacteurs et la réduction de Gauss pour calculer un déterminant ?
Le développement par cofacteurs décompose le déterminant en somme de produits coefficients × mineurs. Il est efficace quand la matrice a des zéros ou dépend d’un paramètre. La réduction de Gauss transforme la matrice en forme triangulaire, dont le déterminant est le produit des éléments diagonaux. Elle est systématique et souvent plus rapide sur les matrices numériques denses. En pratique, la stratégie optimale combine les deux : Gauss pour créer des zéros, puis cofacteurs pour conclure.
Peut-on appliquer la règle de Sarrus à une matrice 4×4 ?
Non, jamais. La règle de Sarrus est strictement limitée aux matrices 3×3. Elle repose sur les 6 permutations de \(\mathfrak{S}_3\) (3 diagonales descendantes + 3 montantes). Pour une matrice 4×4, il faudrait considérer les \(4! = 24\) permutations de \(\mathfrak{S}_4\), et la structure en diagonales ne se généralise pas. Utilise le développement par cofacteurs ou la méthode de Gauss.
Comment choisir la ligne ou la colonne de développement ?
Choisis toujours la ligne ou la colonne contenant le plus de zéros. Si aucune ligne ou colonne n’a de zéros, crée-en d’abord par opérations élémentaires (\(L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j\)). L’objectif est de réduire le nombre de déterminants 3×3 à calculer : idéalement un seul (3 zéros), au pire deux (2 zéros).
Combien de termes contient le développement complet d'un déterminant 4×4 ?
Le développement complet (formule de Leibniz) contient \(4! = 24\) termes, chacun étant un produit de 4 coefficients affecté d’un signe. C’est inutilisable en pratique. Le développement par cofacteurs réduit le calcul à au plus 4 déterminants 3×3 (soit \(4 \times 6 = 24\) termes au total — on ne gagne rien si aucun coefficient n’est nul). D’où l’importance de créer des zéros avant de développer.
Les opérations sur les lignes changent-elles la valeur du déterminant ?
Cela dépend de l’opération :
- \(L_i \leftarrow L_i + \alpha L_j\) : ne change pas le déterminant ✓
- \(L_i \leftrightarrow L_j\) : multiplie le déterminant par \(-1\)
- \(L_i \leftarrow \alpha L_i\) : multiplie le déterminant par \(\alpha\)
En pratique, utilise exclusivement le premier type pour simplifier sans modifier la valeur du déterminant. Pour les propriétés complètes, consulte le cours sur le déterminant.
Calculateur : déterminant d’une matrice 4×4
Saisis les 16 coefficients, le calculateur développe sur la première ligne et affiche les quatre sous-déterminants 3×3 calculés par Sarrus. Utile pour contrôler un calcul long et repérer une erreur de cofacteur.
Matrice A :Cet outil sert à vérifier tes calculs. En examen et aux concours, aucune calculatrice matricielle n’est autorisée — maîtriser le développement par cofacteurs à la main reste indispensable.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul du déterminant d’une matrice 4×4 par cofacteurs. Pour consolider et approfondir :
- Déterminant d’une matrice : cours complet, propriétés et applications — le cadre théorique général
- Déterminant 3×3 : règle de Sarrus et cofacteurs — pour maîtriser les sous-déterminants
- Matrice inversible : définition, critères et déterminant — le lien entre déterminant non nul et inversibilité
- Inverse d’une matrice 3×3 — où les cofacteurs servent aussi au calcul de l’adjointe
- Factorisation de Gauss — la méthode alternative systématique
- Exercices corrigés sur les matrices — pour t’entraîner sur des sujets complets
