Tu sais déjà calculer l’aire d’un rectangle : longueur fois largeur. Bonne nouvelle : le parallélogramme fonctionne presque pareil, à un détail près qui piège beaucoup d’élèves. Dans ce cours, tu vas comprendre pourquoi son aire vaut base × hauteur, apprendre à la calculer sans te tromper de mesure, et savoir aussi trouver son périmètre.
Définition — Aire d’un parallélogramme
L’aire d’un parallélogramme est égale au produit d’un de ses côtés (la base) par la hauteur relative à ce côté :
\(A = b \times h\)
La hauteur \(h\) est la distance entre la base et le côté opposé, mesurée perpendiculairement à la base.
I. Qu’est-ce qu’un parallélogramme ?
Avant de calculer son aire, il faut savoir reconnaître la figure. Un parallélogramme est un quadrilatère (une figure à 4 côtés) dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.
À retenir : dans un parallélogramme, les côtés opposés sont non seulement parallèles, mais aussi de même longueur. Le rectangle, le carré et le losange sont d’ailleurs des parallélogrammes particuliers.
Le parallélogramme a donc deux paires de côtés égaux. On appelle souvent \(a\) et \(b\) les longueurs de ces deux côtés différents. Pour calculer son aire, on aura besoin d’une seule de ces longueurs (la base) et de la hauteur associée.
II. La formule de l’aire : pourquoi base × hauteur ?
La formule de l’aire d’un parallélogramme est \(A = b \times h\). Mais d’où vient-elle ? La réponse est très visuelle : un parallélogramme n’est rien d’autre qu’un rectangle qu’on a « penché ».
Imagine que tu découpes un petit triangle rectangle sur le côté gauche du parallélogramme, puis que tu le déplaces à droite. Tu obtiens exactement un rectangle, de même base et de même hauteur. Comme le découpage n’ajoute ni n’enlève de surface, l’aire n’a pas changé.
La clé de tout : puisque le parallélogramme et le rectangle ont la même aire, et que l’aire du rectangle est longueur × largeur, l’aire du parallélogramme est base × hauteur. C’est le même raisonnement que pour l’aire du rectangle, revisité.
Erreur classique : multiplier les deux côtés \(a\) et \(b\) du parallélogramme, comme pour un rectangle. C’est faux ! On multiplie la base par la hauteur \(h\), qui est perpendiculaire à la base, et non par le côté oblique. La hauteur est toujours plus petite (ou égale) au côté oblique.
Le formulaire des aires, périmètres et volumes — 2 pages
Les formules et les unités dans une fiche recto-verso, avec les longueurs et les hauteurs à utiliser.
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III. Comment calculer l’aire pas à pas
Une fois la formule comprise, le calcul se fait en trois étapes simples et sans piège.
- Repère la base \(b\) : c’est un côté du parallélogramme.
- Repère la hauteur \(h\) associée à cette base (le segment perpendiculaire, souvent dessiné en pointillés).
- Multiplie : \(A = b \times h\), sans oublier l’unité d’aire (cm², m²…).
Exemple : un parallélogramme a une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm. Quelle est son aire ?
On applique directement la formule :
\(A = b \times h = 6 \times 4 = 24\)
L’aire vaut 24 cm². Peu importe que le côté oblique mesure 4,5 cm ou 7 cm : seule la hauteur compte.
Attention à l’unité ! Une aire s’exprime toujours dans une unité « carrée » (cm², m², km²). Si tes longueurs ne sont pas dans la même unité, pense à les convertir avant de multiplier.
IV. Le périmètre du parallélogramme
Le périmètre, c’est le tour de la figure : la somme de la longueur de tous ses côtés. Comme les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux deux à deux, la formule est très courte.
Périmètre d’un parallélogramme
Si les deux côtés différents mesurent \(a\) et \(b\), alors :
\(P = 2 \times (a + b)\)
Exemple : un parallélogramme a des côtés de 6 cm et 4,5 cm.
\(P = 2 \times (6 + 4{,}5) = 2 \times 10{,}5 = 21\)
Le périmètre vaut 21 cm. Ici, on utilise bien le côté oblique (4,5 cm) et non la hauteur : pour le périmètre, on additionne les côtés réels de la figure.
Distingue les données. Pour l’aire, multiplie la base choisie par la hauteur qui lui est perpendiculaire. Pour le périmètre, additionne les côtés. Le côté oblique ne remplace pas la hauteur associée à la base du dessin.
V. Et si on ne connaît pas la hauteur ?
Parfois, l’énoncé ne donne pas la hauteur, mais les deux côtés et l’angle entre eux. Au collège, ce cas est rare : on te fournit presque toujours la hauteur ou de quoi la calculer. Voici tout de même comment s’en sortir.
🟢 Au collège : si la hauteur manque et que la figure a un angle droit repérable, on peut la retrouver grâce au théorème de Pythagore dans un triangle rectangle formé par la hauteur.
🟠 Au lycée : si tu connais les deux côtés \(a\) et \(b\) et l’angle \(\alpha\) entre eux, l’aire se calcule avec la trigonométrie : \(A = a \times b \times \sin(\alpha)\). Plus tard, avec les vecteurs et le déterminant, on retrouve directement l’aire d’un parallélogramme à partir des coordonnées de ses côtés.
VI. Exercices corrigés
À toi de jouer. Prends une feuille, cherche vraiment avant de dérouler la correction : c’est comme ça qu’on progresse.
Exercice 1 — Aire directe ★
Un parallélogramme a une base de 8 cm et une hauteur de 5 cm. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule \(A = b \times h\) :
\(A = 8 \times 5 = 40\)L’aire vaut 40 cm².
Exercice 2 — Périmètre ★
Les côtés d’un parallélogramme mesurent 7 cm et 3 cm. Quel est son périmètre ?
Voir la correction de l’exercice 2
On utilise \(P = 2 \times (a + b)\) :
\(P = 2 \times (7 + 3) = 2 \times 10 = 20\)Le périmètre vaut 20 cm.
Exercice 3 — Retrouver la hauteur ★★
L’aire d’un parallélogramme vaut 36 cm² et sa base mesure 9 cm. Quelle est la hauteur associée à cette base ?
Voir la correction de l’exercice 3
On part de \(A = b \times h\), donc \(36 = 9 \times h\).
Pour trouver \(h\), on divise l’aire par la base :
\(h = \displaystyle\frac{36}{9} = 4\)La hauteur vaut 4 cm.
Exercice 4 — Le piège de la mesure inutile ★★
Un parallélogramme a une base de 10 cm, un côté oblique de 6 cm et une hauteur de 5 cm. Julie affirme que son aire vaut 60 cm². A-t-elle raison ?
Voir la correction de l’exercice 4
Julie a multiplié la base par le côté oblique : \(10 \times 6 = 60\). C’est l’erreur classique.
La bonne formule utilise la hauteur, pas le côté oblique :
\(A = b \times h = 10 \times 5 = 50\)L’aire vaut donc 50 cm². Julie a tort : le côté oblique de 6 cm ne sert qu’au périmètre.
Exercice 5 — Raisonnement ★★★
Deux parallélogrammes ont la même base de 8 cm. Le premier a une hauteur de 3 cm, le second une hauteur de 6 cm. Sans faire tous les calculs, que peux-tu dire de leurs aires ?
Voir la correction de l’exercice 5
Les deux parallélogrammes ont la même base. L’aire ne dépend alors que de la hauteur.
La hauteur du second (6 cm) est le double de celle du premier (3 cm). Donc l’aire du second est le double de celle du premier.
Vérification : \(8 \times 3 = 24\) cm² et \(8 \times 6 = 48\) cm² — c’est bien le double.
VII. Les erreurs fréquentes à éviter
Trois pièges reviennent tout le temps dans les copies. Les connaître, c’est déjà les éviter.
| Erreur | Ce qu’il faut faire |
|---|---|
| Multiplier les deux côtés \(a \times b\) | Multiplier la base par la hauteur \(b \times h\) |
| Utiliser la hauteur pour le périmètre | Additionner les côtés : \(P = 2(a+b)\) |
| Oublier l’unité ou écrire cm au lieu de cm² | Une aire est toujours en unité carrée |
Ces erreurs font partie des grands classiques : tu les retrouves dans notre récapitulatif des 8 pièges de géométrie au collège.
VIII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un parallélogramme ?
On multiplie la base par la hauteur relative à cette base : \(A = b \times h\). La hauteur est le segment perpendiculaire à la base, pas le côté oblique. Par exemple, avec une base de 6 cm et une hauteur de 4 cm, l’aire vaut \(6 \times 4 = 24\) cm².
Quelle est la formule du parallélogramme ?
Il y a deux formules à connaître. Pour l’aire : \(A = b \times h\) (base fois hauteur). Pour le périmètre : \(P = 2 \times (a + b)\), où \(a\) et \(b\) sont les deux côtés différents.
Comment calculer l’aire d’un parallélogramme sans la hauteur ?
Si tu connais les deux côtés et l’angle entre eux, l’aire vaut \(A = a \times b \times \sin(\alpha)\) : c’est une méthode de lycée. Au collège, on cherche plutôt à retrouver la hauteur grâce au théorème de Pythagore dans un triangle rectangle de la figure.
Quelle est la différence entre l’aire d’un parallélogramme et celle d’un rectangle ?
Le rectangle a des angles droits : sa hauteur est égale à sa largeur, donc \(A = L \times l\). Le parallélogramme est « penché » : sa hauteur est plus petite que son côté oblique. On garde base × hauteur, mais il ne faut surtout pas remplacer la hauteur par le côté oblique.
Comment calculer le volume d’un parallélépipède ?
Un parallélépipède est un solide : on peut calculer son volume mais aussi l’aire de sa surface. Son volume vaut aire d’une base × hauteur perpendiculaire à cette base. Pour un pavé droit seulement, cela s’écrit longueur × largeur × hauteur. Voir le formulaire des volumes.
Comment calculer le périmètre d’un parallélogramme ?
On additionne la longueur de tous les côtés. Comme les côtés opposés sont égaux, on utilise \(P = 2 \times (a + b)\). Avec des côtés de 7 cm et 3 cm : \(P = 2 \times (7 + 3) = 20\) cm.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’aire et le périmètre du parallélogramme. Pour continuer à progresser en géométrie :
- Angles adjacents et opposés par le sommet : cours de 5ème
- Le carré d’un nombre : définition, calcul et propriétés
- Au lycée, l’aire d’un parallélogramme se calcule aussi avec les angles : découvre Radian et degré en Première : comprendre et convertir les angles.
- Diagramme circulaire : méthode de construction et calcul des angles
1 commentaire
AFATON
01.10.2026
J’aimerais savoir comment faire pour réussir en maths🙏🙏