Tu as sûrement déjà croisé ce petit 2 écrit en haut d’un nombre : 5², 7², 12²… C’est le carré d’un nombre, une opération que tu retrouveras partout : en géométrie, avec le théorème de Pythagore, puis plus tard avec la racine carrée. Dans ce cours, tu vas comprendre ce que veut dire « au carré », apprendre à le calculer sans te tromper et découvrir les carrés à connaître par cœur.
I. Qu’est-ce que le carré d’un nombre ?
Mettre un nombre « au carré », c’est simplement le multiplier par lui-même. C’est l’une des opérations les plus utiles des mathématiques du collège.
Définition — Le carré d’un nombre
Le carré d’un nombre est le résultat obtenu en multipliant ce nombre par lui-même. On le note avec un petit 2 en haut à droite :
\(a^2 = a \times a\)
On lit « \(a\) au carré ».
Par exemple, le carré de 5 se note \(5^2\), et il vaut \(5 \times 5 = 25\). Attention : \(5^2\) ne veut pas dire \(5 \times 2\) !
Exemples :
- \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)
- \(7^2 = 7 \times 7 = 49\)
- \(10^2 = 10 \times 10 = 100\)
- \(21^2 = 21 \times 21 = 441\)
Ce petit 2 s’appelle un exposant. Élever au carré, c’est en fait calculer une puissance : le carré est la puissance 2 d’un nombre.
A. Pourquoi dit-on « carré » ?
Le mot vient de la géométrie. Si tu construis un carré dont le côté mesure 5 cm, son aire est de \(5 \times 5 = 25\) cm². L’aire d’un carré de côté \(a\) vaut donc \(a^2\) : voilà d’où vient le nom !
II. Les carrés à connaître par cœur
Certains carrés reviennent tellement souvent qu’il faut les connaître sans réfléchir. Ce sont les carrés des premiers entiers. Les connaître te fera gagner un temps précieux en calcul.
| Nombre | Carré | Nombre | Carré |
|---|---|---|---|
| \(1^2\) | \(1\) | \(9^2\) | \(81\) |
| \(2^2\) | \(4\) | \(10^2\) | \(100\) |
| \(3^2\) | \(9\) | \(11^2\) | \(121\) |
| \(4^2\) | \(16\) | \(12^2\) | \(144\) |
| \(5^2\) | \(25\) | \(13^2\) | \(169\) |
| \(6^2\) | \(36\) | \(14^2\) | \(196\) |
| \(7^2\) | \(49\) | \(15^2\) | \(225\) |
| \(8^2\) | \(64\) |
Ces résultats (1, 4, 9, 16, 25…) portent un nom : ce sont des carrés parfaits. Un carré parfait est le carré d’un nombre entier. Ils te serviront énormément quand tu apprendras à simplifier une racine carrée.
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Le tableau des carrés à connaître, la règle du signe et les pièges à éviter, dans une fiche claire à imprimer et à glisser dans ton classeur.
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III. Les cas particuliers du carré
Une fois la définition comprise, il reste trois situations où les élèves se trompent souvent. Voyons-les une par une.
A. Le carré de 0 et de 1
Ces deux carrés sont très faciles, mais on les oublie parfois :
- \(0^2 = 0 \times 0 = 0\)
- \(1^2 = 1 \times 1 = 1\)
Ce sont les seuls nombres qui sont égaux à leur propre carré.
B. Le carré d’un nombre négatif
Voici le point le plus important de tout ce cours. Quand tu multiplies deux nombres négatifs, le résultat est positif. Donc le carré d’un nombre négatif est toujours positif.
Exemple : le carré de \(-4\).
\((-4)^2 = (-4) \times (-4) = 16\)
Le résultat, \(16\), est positif — comme le carré de \(+4\).
Erreur classique : confondre \((-4)^2\) et \(-4^2\).
Les parenthèses changent tout :
- \((-4)^2 = (-4)\times(-4) = 16\) (on met tout le nombre négatif au carré)
- \(-4^2 = -(4\times 4) = -16\) (on met seulement 4 au carré, puis on garde le signe moins)
Sans parenthèses, l’exposant ne concerne que le 4, pas le signe. Sois donc très attentif à ta calculatrice !
C. Le carré d’une fraction
Pour mettre une fraction au carré, on met le numérateur au carré et le dénominateur au carré.
Règle : pour tous nombres \(a\) et \(b\) (avec \(b\) non nul),
\(\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^2 = \displaystyle\frac{a^2}{b^2}\)
Exemple : \(\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^2 = \displaystyle\frac{2^2}{3^2} = \displaystyle\frac{4}{9}\)
IV. Le carré et la racine carrée
Le carré a une opération « inverse » : la racine carrée. Élever au carré et prendre la racine carrée, c’est faire l’aller-retour dans les deux sens.
Le lien entre carré et racine carrée
Si \(a\) est un nombre positif, alors la racine carrée de \(a^2\) est \(a\). Par exemple, comme \(7^2 = 49\), on dit que la racine carrée de \(49\) est \(7\), et on écrit \(\sqrt{49} = 7\).
Autrement dit, chercher la racine carrée d’un nombre, c’est se demander : « quel nombre, mis au carré, donne ce résultat ? ». C’est pour cette raison que connaître par cœur le tableau des carrés (partie II) rend le calcul des racines carrées beaucoup plus facile.
V. Le carré d’un nombre pair ou impair
Voici une propriété très utile, que tu réutiliseras au lycée. Observe les résultats du tableau : les carrés des nombres pairs sont pairs, et les carrés des nombres impairs sont impairs.
| Nombre | Nature | Carré | Nature du carré |
|---|---|---|---|
| \(4\) | pair | \(16\) | pair |
| \(6\) | pair | \(36\) | pair |
| \(5\) | impair | \(25\) | impair |
| \(7\) | impair | \(49\) | impair |
À retenir : un nombre entier et son carré ont toujours la même parité.
- Le carré d’un nombre pair est pair.
- Le carré d’un nombre impair est impair.
Cette petite propriété a une grande conséquence : c’est elle qui permet, plus tard, de démontrer que le nombre racine carrée de 2 ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Un vrai avant-goût des mathématiques du lycée !
VI. Exercices corrigés
À toi de jouer ! Essaie de résoudre chaque exercice sur ton cahier avant de regarder la correction.
Exercice 1 — Calculer des carrés ★
Calcule les carrés suivants : \(6^2\), \(9^2\), \(12^2\) et \(20^2\).
Voir la correction de l’exercice 1
On multiplie chaque nombre par lui-même :
\(6^2 = 6 \times 6 = 36\) \(9^2 = 9 \times 9 = 81\) \(12^2 = 12 \times 12 = 144\) \(20^2 = 20 \times 20 = 400\)Exercice 2 — Le piège du signe ★
Calcule \((-3)^2\), puis \(-3^2\). Que remarques-tu ?
Voir la correction de l’exercice 2
Avec les parenthèses, tout le nombre \(-3\) est mis au carré :
\((-3)^2 = (-3)\times(-3) = 9\)Sans parenthèses, seul le 3 est au carré, puis on garde le signe moins :
\(-3^2 = -(3\times 3) = -9\)Les deux résultats sont opposés : les parenthèses sont indispensables !
Exercice 3 — Carré d’une fraction ★★
Calcule \(\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2\) et \(\left(\displaystyle\frac{7}{4}\right)^2\).
Voir la correction de l’exercice 3
On met le numérateur au carré et le dénominateur au carré :
\(\left(\displaystyle\frac{3}{5}\right)^2 = \displaystyle\frac{3^2}{5^2} = \displaystyle\frac{9}{25}\) \(\left(\displaystyle\frac{7}{4}\right)^2 = \displaystyle\frac{7^2}{4^2} = \displaystyle\frac{49}{16}\)Exercice 4 — Retrouver le nombre de départ ★★
Un carré parfait vaut \(169\). De quel nombre est-il le carré ? Même question pour \(144\).
Voir la correction de l’exercice 4
Il faut chercher quel nombre, mis au carré, donne ce résultat (c’est la racine carrée) :
\(13^2 = 169\), donc \(169\) est le carré de \(13\).
\(12^2 = 144\), donc \(144\) est le carré de \(12\).
Le tableau de la partie II permet de répondre très vite.
Exercice 5 — Un peu de raisonnement ★★★
Sans faire le calcul complet, explique pourquoi \(47^2\) est un nombre impair.
Voir la correction de l’exercice 5
Le nombre \(47\) est impair (il se termine par 7).
D’après la propriété de la partie V, le carré d’un nombre impair est toujours impair.
Donc \(47^2\) est impair, sans même avoir à calculer que \(47^2 = 2209\).
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les trois erreurs qui reviennent le plus souvent dans les copies. En les connaissant à l’avance, tu ne les commettras plus.
Piège 1 — Confondre le carré et le double.
❌ Copie fautive : « \(6^2 = 12\) ».
Diagnostic : l’élève a fait \(6 \times 2\) (le double) au lieu de \(6 \times 6\) (le carré).
✅ Correction : \(6^2 = 6 \times 6 = 36\). Mettre au carré, ce n’est pas multiplier par 2 !
Piège 2 — Oublier les parenthèses sur un nombre négatif.
❌ Copie fautive : « le carré de \(-5\) vaut \(-25\) ».
Diagnostic : le carré d’un nombre est toujours positif ou nul.
✅ Correction : \((-5)^2 = (-5)\times(-5) = 25\).
Piège 3 — Le carré d’une somme.
❌ Copie fautive : « \((2+3)^2 = 2^2 + 3^2 = 13\) ».
Diagnostic : on ne peut pas « distribuer » le carré sur une addition.
✅ Correction : il faut d’abord calculer la somme, puis élever au carré : \((2+3)^2 = 5^2 = 25\).
VIII. Questions fréquentes
C’est quoi le carré d’un nombre ?
Le carré d’un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même. On le note avec un petit 2 en exposant : \(a^2 = a \times a\). Par exemple, le carré de 6 vaut \(6^2 = 6 \times 6 = 36\).
Pourquoi le carré d’un nombre négatif est-il positif ?
Parce que le produit de deux nombres négatifs est positif. Quand on calcule \((-4)^2\), on multiplie \(-4\) par \(-4\), et « moins par moins donne plus » : le résultat est \(16\), donc positif.
Quelle est la différence entre le carré et le double d’un nombre ?
Le double d’un nombre, c’est ce nombre multiplié par 2. Le carré, c’est ce nombre multiplié par lui-même. Par exemple pour 6 : le double vaut \(6 \times 2 = 12\), alors que le carré vaut \(6 \times 6 = 36\). C’est la confusion la plus fréquente !
Quelle est la différence entre le carré et la racine carrée ?
Ce sont deux opérations inverses. Le carré transforme 7 en \(49\) (on multiplie par soi-même). La racine carrée fait le chemin inverse : elle transforme \(49\) en 7. En résumé, \(7^2 = 49\) et \(\sqrt{49} = 7\).
Comment écrire le symbole ² au clavier ?
Sur un clavier Windows, garde la touche Alt enfoncée et tape 0178 sur le pavé numérique, puis relâche Alt : tu obtiens ². Sur Mac, passe par la palette de caractères (Édition › Émoji et symboles) ou copie-colle le symbole. Sur téléphone, appuie longuement sur le chiffre 2 pour faire apparaître l’exposant.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le carré d’un nombre et éviter les pièges. Pour continuer à progresser :
- Calculer une racine carrée sans calculatrice : toutes les méthodes
- Équations et Inéquations : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- 15 exercices corrigés sur les racines carrées (4ème et 3ème)
- Au lycée, le carré et la racine carrée servent à lever les cas les plus difficiles du calcul de limites : Tableau des Limites de Fonctions Usuelles : Formules Complètes et Exemples
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