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Développer \((a+b)^2\), tout le monde sait faire. Mais \((a+b)^5\) ? Ou \((a+b)^{10}\) ? Recopier dix fois la parenthèse et tout multiplier serait interminable — et une source d’erreurs assurée. La formule du binôme de Newton fait exactement ce travail à ta place : elle donne directement, et sans aucun calcul fastidieux, le développement de n’importe quelle puissance d’une somme de deux termes. C’est l’un des outils les plus élégants du programme, et il te suivra du lycée jusqu’à la prépa.
Formule du binôme de Newton
Pour tous nombres \(a\) et \(b\) (réels ou complexes) et pour tout entier naturel \(n\) :
\(\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\, a^k\, b^{\,n-k}\)
Les nombres \({n \choose k}\) sont les coefficients binomiaux (lire « k parmi n »), qu’on retrouve sur la ligne \(n\) du triangle de Pascal.
📘 Au programme
- 🔵 Terminale (approfondissement, maths expertes) : lien avec les coefficients binomiaux et le triangle de Pascal.
- 🟠 Prépa 1re année (MPSI, PCSI, MP2I) : chapitre « Calculs algébriques », démonstration et applications matricielles.
Dans les formules polynomiales de cette page, un facteur de puissance zéro vaut 1, y compris lorsque sa base est nulle. Cela permet de traiter aussi \(n=0\).
I. La formule du binôme de Newton
La formule du binôme de Newton donne le développement de \((a+b)^n\) sous forme d’une somme : chaque terme est un produit \(a^k b^{\,n-k}\) multiplié par un coefficient binomial \({n \choose k}\). La puissance de \(a\) monte de \(0\) à \(n\) pendant que celle de \(b\) descend, et la somme des deux exposants vaut toujours \(n\).
Trois réflexes à garder en tête :
- Le développement possède exactement \(n+1\) termes (l’indice \(k\) va de \(0\) à \(n\)).
- Dans chaque terme, la somme des exposants de \(a\) et \(b\) est égale à \(n\).
- Les coefficients sont symétriques : \({n \choose k} = {n \choose n-k}\). Le développement se lit pareil dans les deux sens.
Pour les petites valeurs de \(n\), tu peux lire les coefficients directement sur la ligne correspondante du triangle de Pascal : la ligne \(4\) donne \(1, 4, 6, 4, 1\), exactement les coefficients de \((a+b)^4\). Et si tu veux calculer un coefficient isolé, \({n \choose k} = \displaystyle\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\) : c’est le coefficient binomial, que tu peux obtenir à la calculatrice.
II. Les cas particuliers à connaître par cœur
Avant de manier la formule générale, mémorise ces développements : ils reviennent sans arrêt et t’évitent de tout recalculer.
| Expression | Développement |
|---|---|
| \((a+b)^2\) | \(a^2 + 2ab + b^2\) |
| \((a+b)^3\) | \(a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\) |
| \((a+b)^4\) | \(a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4\) |
| \((a-b)^n\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^{\,n-k} a^k b^{\,n-k}\) |
| \((1+x)^n\) | \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} x^k\) |
La fiche-mémo du binôme de Newton en 2 pages
Formule, cas particuliers, triangle de Pascal et les deux démonstrations, tout l’essentiel réuni sur deux pages prête à imprimer.
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Le cas \((1+x)^n\) est particulièrement utile : en posant \(a=1\), les puissances de \(a\) disparaissent et il ne reste que les puissances de \(x\). C’est la forme qu’on utilise pour les développements limités et pour démontrer l’identité de Vandermonde (section VI).
⚠️ Le piège du cube d’une somme
Beaucoup d’élèves écrivent \((a+b)^3 = a^3 + b^3\). C’est faux ! Il manque les termes croisés : \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2 b + 3ab^2 + b^3\). La puissance ne « se distribue » jamais sur une somme.
III. Démonstration par récurrence
La démonstration la plus classique au lycée repose sur le raisonnement par récurrence et sur la relation de Pascal. Note \(P(n)\) la propriété : « \(\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^k b^{\,n-k}\) ».
Initialisation. Pour \(n=0\) : \((a+b)^0 = 1\) et \({0 \choose 0} a^0 b^0 = 1\). La propriété est vraie au rang \(0\).
Hérédité. Supposons \(P(n)\) vraie. Alors :
\(\displaystyle (a+b)^{n+1} = (a+b)\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^k b^{\,n-k}\)
On distribue, ce qui donne deux sommes :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k+1} b^{\,n-k} \;+\; \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{k} b^{\,n-k+1}\)
Dans la première somme, on effectue le changement d’indice \(j = k+1\) (donc \(j\) va de \(1\) à \(n+1\)), puis on renomme \(j\) en \(k\). En regroupant les deux sommes et en isolant les termes de bord \(k=0\) et \(k=n+1\), on applique la relation de Pascal \({n \choose k-1} + {n \choose k} = {n+1 \choose k}\). On obtient :
\(\displaystyle (a+b)^{n+1} = \sum_{k=0}^{n+1} {n+1 \choose k} a^k b^{\,n+1-k}\)
C’est \(P(n+1)\). La propriété est donc vraie pour tout entier naturel \(n\). ∎
🔴 Ce que vérifie le correcteur
En prépa, deux points font gagner (ou perdre) des points :
- Le changement d’indice doit être écrit explicitement : indiquer \(j=k+1\), réécrire les nouvelles bornes, puis renommer. Sauter cette étape fait apparaître des sommes « magiques » qu’un correcteur sanctionne.
- Les termes de bord doivent être traités à part. Avant d’appliquer Pascal, isole le terme \(k=0\) (il vient uniquement de la seconde somme) et le terme \(k=n+1\) (uniquement de la première).
IV. Démonstration combinatoire
Il existe une seconde démonstration, plus courte et souvent plus parlante. Elle ne calcule rien : elle compte.
Écris \((a+b)^n\) comme un produit de \(n\) facteurs identiques :
\(\displaystyle (a+b)^n = \underbrace{(a+b)(a+b)\cdots(a+b)}_{n \text{ facteurs}}\)
Quand tu développes ce produit, chaque terme s’obtient en choisissant, dans chaque facteur, soit \(a\) soit \(b\). Un terme de la forme \(a^k b^{\,n-k}\) correspond au fait d’avoir choisi \(a\) dans exactement \(k\) facteurs (et \(b\) dans les \(n-k\) autres).
Combien y a-t-il de façons de choisir ces \(k\) facteurs parmi les \(n\) ? Exactement \({n \choose k}\). C’est donc le coefficient de \(a^k b^{\,n-k}\), ce qui prouve la formule. ∎
💡 Pourquoi cette preuve est précieuse : elle explique pourquoi ce sont les coefficients binomiaux qui apparaissent, et pas d’autres nombres. Le binôme de Newton est, au fond, un problème de dénombrement : « de combien de manières peut-on choisir \(k\) objets parmi \(n\) ».
V. Sommes de coefficients binomiaux
La vraie puissance du binôme apparaît quand on l’utilise « à l’envers » : en choisissant des valeurs astucieuses de \(a\) et \(b\), on calcule des sommes entières de coefficients binomiaux en une ligne.
La somme de tous les coefficients. En posant \(a=b=1\) :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = (1+1)^n = 2^n\)
C’est pour cela que la somme d’une ligne du triangle de Pascal vaut toujours une puissance de \(2\).
La somme alternée. En posant \(a=-1\) et \(b=1\) (pour \(n \geq 1\)) :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k} = (1-1)^n = 0\)
La formule du pion. Elle s’obtient en remarquant que \(k\,{n \choose k} = n\,{n-1 \choose k-1}\) :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k\,{n \choose k} = n\,2^{\,n-1}\)
💡 Mémo « formule du pion »
Choisir \(k\) personnes parmi \(n\) et désigner un capitaine parmi elles revient à : choisir d’abord le capitaine (\(n\) façons), puis compléter l’équipe parmi les \(n-1\) restants. Les deux comptages doivent coïncider, d’où la formule.
VI. L’identité de Vandermonde
Pour cette identité, \(m,n,r\) sont des entiers naturels et on pose \({p\choose k}=0\) si \(k<0\) ou \(k>p\).
Voici une application élégante, typique de la prépa 1re année. L’identité de Vandermonde affirme :
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{m} {p \choose k}{q \choose m-k} = {p+q \choose m}\)
La démonstration tient en une idée : on compare les coefficients de \(x^m\) dans les deux membres de l’égalité \((1+x)^p (1+x)^q = (1+x)^{p+q}\).
- À droite, le coefficient de \(x^m\) dans \((1+x)^{p+q}\) est \({p+q \choose m}\).
- À gauche, le produit de deux sommes fait apparaître une somme double : le coefficient de \(x^m\) s’obtient en sommant tous les produits \({p \choose k}{q \choose m-k}\).
Comme un polynôme a des coefficients uniques, les deux expressions sont égales : l’identité est démontrée.
VII. 🟠 Le binôme de Newton et les matrices
En prépa, le binôme se généralise aux matrices — mais attention, sous une condition cruciale.
Binôme matriciel
Si \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de même taille qui commutent (c’est-à-dire \(AB = BA\)), alors :
\(\displaystyle (A+B)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} A^k B^{\,n-k}\)
La condition \(AB = BA\) n’est pas un détail : la démonstration par récurrence utilise \((A+B)^n(A+B)\) et a besoin de faire « passer » les facteurs les uns à travers les autres. Sans commutativité, la formule n’est pas valable en général.
L’application reine est le calcul de la puissance d’une matrice \(M = \lambda I + N\), où \(N\) est une matrice nilpotente. Comme \(\lambda I\) commute avec tout, le binôme s’applique, et comme \(N^p = 0\) à partir d’un certain rang, la somme se réduit à quelques termes seulement.
VIII. D’autres applications
Le binôme de Newton est un couteau suisse. Tu le retrouveras notamment pour :
- la loi binomiale en probabilités, dont les coefficients \({n \choose k}\) viennent directement du binôme ;
- la linéarisation de \(\cos^n\) et \(\sin^n\) via les formules d’Euler appliquées au binôme des exponentielles complexes ;
- les polynômes de Bernstein, dont toute la théorie repose sur le développement de \(\big(x + (1-x)\big)^n\) ;
- l’inégalité de Bernoulli, dont une preuve consiste à minorer \((1+x)^n\) par ses deux premiers termes du développement.
Attention : la preuve en ne conservant que les deux premiers termes du binôme fonctionne pour \(x\geq0\). Pour \(-1\leq x<0\), on démontre l’inégalité par récurrence en multipliant par \(1+x\geq0\).
IX. Exercices corrigés
Six exercices classés par difficulté. Essaie-les avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Développer (x + 2)⁴ ★
Développe et simplifie \((x+2)^4\).
Voir la correction de l’exercice 1
Les coefficients de la ligne \(4\) du triangle de Pascal sont \(1, 4, 6, 4, 1\). Avec \(a=x\) et \(b=2\) :
\((x+2)^4 = x^4 + 4x^3(2) + 6x^2(2^2) + 4x(2^3) + 2^4\)
Soit, en simplifiant : \(\;x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16\).
Vérification rapide : le terme constant vaut \(2^4 = 16\) ✓
Exercice 2 — Attention aux signes : (2a − 3)³ ★
Développe \((2a-3)^3\).
Voir la correction de l’exercice 2
On prend \(a' = 2a\) et \(b' = -3\), coefficients \(1, 3, 3, 1\) :
\((2a-3)^3 = (2a)^3 + 3(2a)^2(-3) + 3(2a)(-3)^2 + (-3)^3\)
\(= 8a^3- 36a^2 + 54a- 27\)L’erreur à éviter : les signes alternent (+, −, +, −) car \(b'\) est négatif. Vérifie toujours le dernier terme : \((-3)^3 = -27\) ✓
Exercice 3 — Coefficient d’un terme ★★
Quel est le coefficient de \(x^5\) dans le développement de \((x+3)^8\) ?
Voir la correction de l’exercice 3
Le terme général est \({8 \choose k} x^k \, 3^{\,8-k}\). On cherche \(x^5\), donc \(k=5\) :
\({8 \choose 5}\, 3^{\,3} = 56 \times 27 = 1512\)
Conclusion : le coefficient cherché est \(1512\).
Dans l’exercice suivant, \(x\ne0\).
Exercice 4 — Terme indépendant de x ★★
Détermine le terme indépendant de \(x\) dans le développement de \(\left(x^2 + \displaystyle\frac{1}{x}\right)^6\).
Voir la correction de l’exercice 4
Le terme général vaut :
\({6 \choose k} (x^2)^{\,6-k}\left(\displaystyle\frac{1}{x}\right)^{k} = {6 \choose k}\, x^{\,12-2k}\, x^{-k} = {6 \choose k}\, x^{\,12-3k}\)
Le terme est indépendant de \(x\) lorsque l’exposant est nul : \(12- 3k = 0\), soit \(k = 4\).
Ce terme vaut alors \({6 \choose 4} = 15\).
Conclusion : le terme indépendant de \(x\) est \(15\).
Exercice 5 — Deux sommes de coefficients ★★
Sans calculer chaque coefficient, détermine \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}\) puis \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k}\) (pour \(n \geq 1\)).
Voir la correction de l’exercice 5
Il suffit d’évaluer \((a+b)^n\) en des valeurs bien choisies.
Avec \(a=b=1\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} = (1+1)^n = 2^n\).
Avec \(a=1\) et \(b=-1\) : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k}(-1)^{\,n-k} = (1-1)^n = 0\). En multipliant par \((-1)^n\) (qui ne change pas la nullité), on obtient \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n \choose k} = 0\).
Vérification (\(n=2\)) : \(1- 2 + 1 = 0\) ✓
Exercice 6 — 🟠 Puissance d’une matrice ★★
Soit \(N\) une matrice carrée telle que \(N^2 = 0\). Exprime \((I + N)^n\) pour tout entier \(n \geq 1\).
Voir la correction de l’exercice 6
\(I\) commute avec \(N\) (l’identité commute avec tout), donc le binôme matriciel s’applique :
\(\displaystyle (I+N)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} N^k\)
Or \(N^2 = 0\) entraîne \(N^k = 0\) pour tout \(k \geq 2\). Il ne reste que les termes \(k=0\) et \(k=1\) :
\((I+N)^n = {n \choose 0} I + {n \choose 1} N = I + nN\)
Conclusion : \((I+N)^n = I + nN\). L’hypothèse de nilpotence réduit une somme de \(n+1\) termes à deux termes seulement.
X. Erreurs fréquentes
❌ Oublier qu’il y a n + 1 termes.
Le développement de \((a+b)^n\) compte \(n+1\) termes, pas \(n\). Pour \((a+b)^5\), tu dois écrire 6 termes, de \(a^5\) à \(b^5\).
❌ Se tromper de signe avec (a − b)ⁿ.
Les signes alternent, mais pas n’importe comment : le signe du terme en \(a^k b^{\,n-k}\) est \((-1)^{\,n-k}\). Repère-toi sur le dernier terme \((-b)^n\) pour savoir si le signe final est \(+\) ou \({-}\).
❌ Appliquer le binôme matriciel quand AB ≠ BA.
Si \(AB\ne BA\), on ne peut pas appliquer le binôme de Newton en général. Dès le carré, \((A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2\) : remplacer les deux termes mixtes par \(2AB\) exige \(AB=BA\).
XI. Questions fréquentes
Comment calculer le binôme de Newton ?
Pour développer une puissance d’une somme \((a+b)^n\), on applique la formule \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^k b^{\,n-k}\). Concrètement : on relève les coefficients sur la ligne \(n\) du triangle de Pascal, puis on fait décroître la puissance de \(b\) et croître celle de \(a\) de terme en terme.
Quelle est la formule du binôme de Newton ?
La formule est \(\displaystyle (a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^k b^{\,n-k}\), valable pour tous réels ou complexes \(a, b\) et tout entier naturel \(n\). Elle donne les \(n+1\) termes du développement, avec des coefficients binomiaux \({n \choose k}\).
Comment démontrer la formule du binôme de Newton ?
Deux démonstrations coexistent. La première est une récurrence sur \(n\) qui utilise la relation de Pascal et un changement d’indice. La seconde est combinatoire : on développe le produit des \(n\) facteurs \((a+b)\) et on compte de combien de façons on peut choisir \(a\) dans \(k\) facteurs, ce qui donne \({n \choose k}\).
Quelle est la différence entre le binôme de Newton et le triangle de Pascal ?
Le triangle de Pascal est un tableau de nombres (les coefficients binomiaux), construit en additionnant deux cases voisines. Le binôme de Newton est la formule qui utilise ces nombres pour développer \((a+b)^n\). Autrement dit, le triangle fournit les coefficients, et le binôme explique quoi en faire. On peut d’ailleurs lire directement les coefficients de \((a+b)^n\) sur la ligne \(n\) du triangle.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le binôme de Newton. Pour consolider et approfondir :
- Coefficient Binomial : Formule, Démonstration et Calcul — du Lycée à la Prépa
- Permutations en Mathématiques : Formule n!, Démonstration et Exercices Corrigés
- 20 Exercices de Dénombrement Corrigés — Terminale et Prépa
- Écart-type (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
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