Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
Tu tombes sur une racine carrée qui contient des x et tu ne sais plus par où commencer ? Étudier une fonction irrationnelle, trouver son domaine ou résoudre une équation sous radical suit toujours la même logique : d’abord la condition d’existence, ensuite l’élimination du radical. Cette méthode s’adresse aux élèves de Seconde et de Première.
I. Qu’est-ce qu’une fonction irrationnelle ?
Une fonction irrationnelle est une fonction dont l’expression contient la variable x sous un radical, le plus souvent une racine carrée. C’est le cas de \(f(x) = \sqrt{2x-8}\) ou de \(g(x) = \sqrt{x^2-1}\). Ce simple radical change toute la donne : contrairement à une fonction polynôme, elle n’est pas définie pour toutes les valeurs de x.
Définition — Fonction irrationnelle
Une fonction est dite irrationnelle lorsque son expression fait intervenir la variable sous un signe racine. La condition d’existence est la même que celle de la racine carrée : la quantité placée sous la racine, appelée radicande, doit être positive ou nulle.
A. Ne pas confondre avec un « nombre irrationnel »
Attention au vocabulaire : une fonction irrationnelle et un nombre irrationnel n’ont aucun rapport direct. Un nombre irrationnel (comme \(\pi\) ou racine carrée de 2) est un nombre qui ne s’écrit pas comme une fraction. Une fonction irrationnelle, elle, est une fonction contenant un radical. Le mot « irrationnel » a le même sens dans les deux cas : qui n’est pas un rapport. Un nombre irrationnel n’est pas un quotient d’entiers ; une fonction irrationnelle n’est pas un quotient de polynômes.
B. Le domaine de définition : la première réponse à chercher
Trouver le domaine de définition d’une fonction irrationnelle, c’est répondre à une seule question : pour quelles valeurs de x la racine existe-t-elle ? On pose donc la condition « radicande \(\geq 0\) », puis on résout cette inéquation. C’est exactement la démarche vue dans le cours sur l’ensemble de définition.
Exemple : déterminer le domaine de \(f(x) = \sqrt{2x-8}\).
La racine existe si et seulement si son contenu est positif ou nul :
\(2x- 8 \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \geq 4\)
Le domaine de définition est donc \(D_f = \left[4\,;+\infty\right[\).
Une fois le domaine connu, deux grands types de problèmes se posent : résoudre une équation contenant une racine, ou résoudre une inéquation. Voyons la méthode.
II. Résoudre une équation irrationnelle en 4 étapes
Une équation irrationnelle est une équation où l’inconnue apparaît sous une racine, comme \(\sqrt{2x-1} = x-2\). L’idée directrice est simple : on veut faire disparaître la racine en élevant au carré. Mais élever au carré n’est pas une opération réversible, ce qui crée un piège majeur (les solutions parasites). D’où une méthode rigoureuse en quatre temps.
La méthode en 4 étapes
- Étape 1 — Déterminer les conditions d’existence : le radicande doit être \(\geq 0\), et pour une équation de la forme \(\sqrt{A} = B\), le membre de droite \(B\) doit lui aussi être \(\geq 0\).
- Étape 2 — Isoler la racine dans un membre de l’équation.
- Étape 3 — Élever les deux membres au carré, puis résoudre l’équation obtenue (souvent une équation du second degré).
- Étape 4 — Vérifier chaque solution candidate dans l’équation de départ et éliminer les solutions parasites.
Pourquoi l’étape 4 est-elle indispensable ? Parce que \(a = b\) entraîne \(a^2 = b^2\), mais la réciproque est fausse : \(a^2 = b^2\) est aussi vraie si \(a = -b\). En élevant au carré, on risque donc d’introduire des solutions qui ne vérifiaient pas l’équation initiale.
La méthode des équations irrationnelles en 1 page
Les 4 étapes, le piège des solutions parasites et les cas d’inéquations, sur une fiche recto-verso à imprimer.
📄 Télécharger la fiche méthodeIdéale pour réviser avant un contrôle.
Quelle technique face à un radical ?
Élever au carré n’est pas la seule arme quand un radical apparaît. Ce tableau t’aide à choisir la bonne méthode selon la situation rencontrée.
| Situation | Technique à utiliser | Idée clé |
|---|---|---|
| Trouver le domaine | Condition d’existence | radicande \(\geq 0\) |
| \(\sqrt{A} = B\) | Isoler, élever au carré, vérifier | Supprimer le radical, gérer les parasites |
| \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\) | Élever au carré directement | \(A = B\) avec \(A, B \geq 0\) |
| Inéquation avec radical | Double condition / comparaison des carrés | Discuter le signe des membres |
| Radical au dénominateur | Expression conjuguée | Rationaliser le dénominateur |
| Limite du type \(\sqrt{\,}-\sqrt{\,}\) | Quantité conjuguée | Lever une forme indéterminée |
Avant même d’élever au carré, pense aussi à simplifier une racine carrée quand c’est possible : un radicande factorisé rend souvent le calcul plus court. Passons maintenant à des exemples entièrement rédigés.
III. Exemples résolus d’équations irrationnelles
Trois exemples de difficulté croissante, du cas immédiat au cas avec solution parasite.
Exemple 1 — 🔵 Seconde. Résoudre \(\sqrt{x+3} = 2\).
Étape 1 (domaine) : \(x + 3 \geq 0\), soit \(x \geq -3\).
Étape 2 (isoler) : la racine est déjà isolée.
Étape 3 (carré) : \(x + 3 = 4\), donc \(x = 1\).
Étape 4 (vérification) : \(\sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2\) ✓, et \(1 \geq -3\). La solution est \(x = 1\).
Exemple 2 — 🔵 Seconde. Résoudre \(\sqrt{3x+1} = \sqrt{x+7}\).
Domaine : \(3x+1 \geq 0\) et \(x+7 \geq 0\), soit \(x \geq -\displaystyle\frac{1}{3}\).
Les deux membres sont positifs : on élève au carré sans risque.
\(3x + 1 = x + 7 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x = 6 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 3\)
Vérification : \(\sqrt{10} = \sqrt{10}\) ✓. La solution est \(x = 3\).
Exemple 3 — 🟠 Première. Résoudre \(\sqrt{2x-1} = x-2\).
Étape 1 (domaine) : \(2x- 1 \geq 0\), soit \(x \geq \displaystyle\frac{1}{2}\). Comme le membre de droite \(x-2\) doit égaler une racine (donc être positif), on ajoute \(x \geq 2\).
Étape 3 (carré) : \(2x- 1 = (x-2)^2 = x^2- 4x + 4\), d’où \(x^2- 6x + 5 = 0\).
Le discriminant vaut \(36- 20 = 16\), donc \(x_1 = 1\) et \(x_2 = 5\).
Étape 4 (vérification) :
- \(x = 1\) : \(\sqrt{2-1} = 1\) mais \(1-2 = -1\). Comme \(1 \neq -1\), c’est une solution parasite, rejetée.
- \(x = 5\) : \(\sqrt{9} = 3\) et \(5-2 = 3\) ✓.
La seule solution est \(x = 5\).
Tu remarques que la solution correspond au point d’intersection des deux courbes. Cette lecture graphique confirme le résultat et rend la solution parasite visible : elle n’est jamais un vrai point commun.
IV. Résoudre une inéquation irrationnelle
Une inéquation irrationnelle se traite avec la même idée (élever au carré), mais avec une prudence supplémentaire : on ne peut élever au carré que des quantités positives, et le sens de l’inégalité doit être surveillé. Le raisonnement dépend du signe du membre sans racine.
Les deux cas de référence (avec \(A \geq 0\) sur le domaine)
- \(\sqrt{A}\) < \(B\) : il faut \(B\) > \(0\), puis on compare les carrés : \(A\) < \(B^2\).
- \(\sqrt{A}\) > \(B\) : si \(B\) < \(0\), toujours vrai (une racine est positive) ; si \(B \geq 0\), on compare \(A\) > \(B^2\).
Exemple — 🔵 Seconde. Résoudre \(\sqrt{x-1}\) < \(3\).
Domaine : \(x- 1 \geq 0\), soit \(x \geq 1\).
Le membre de droite \(3\) est positif : on élève au carré.
\(x- 1\) < \(9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\) < \(10\)
En croisant avec le domaine, l’ensemble des solutions est \(\left[1\,;10\right[\).
Ces techniques posées, il reste à connaître les erreurs qui coûtent le plus de points aux élèves.
V. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Trois erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les repérer, c’est déjà les éviter.
Erreur 1 — Oublier que le membre de droite doit être positif.
❌ Copie fautive : « \(\sqrt{x-5} = -2\), donc \(x- 5 = 4\), donc \(x = 9\). »
Diagnostic : une racine carrée n’est jamais négative. L’équation \(\sqrt{x-5} = -2\) n’a aucune solution, quel que soit \(x\).
✅ Correction : avant tout calcul, on note que le membre de gauche est \(\geq 0\) et le membre de droite \(< 0\) : pas de solution.
Erreur 2 — Sauter la vérification finale.
❌ Copie fautive : à l’exemple 3, conclure « les solutions sont \(x=1\) et \(x=5\) » sans vérifier.
Diagnostic : élever au carré crée des solutions parasites. Sans l’étape 4, on garde une solution fausse.
✅ Correction : on reporte toujours chaque candidat dans l’équation de départ, pas dans l’équation carrée.
Erreur 3 — Croire que \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\).
Diagnostic : c’est faux. Par exemple \(\sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
✅ La racine ne se distribue pas sur une somme : on ne « casse » un radical que sur un produit ou un quotient.
VI. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Cherche chaque exercice avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Domaine de définition ★
Déterminer le domaine de définition de \(f(x) = \sqrt{3x- 6}\).
Voir la correction de l’exercice 1
La racine existe si le radicande est positif ou nul :
\(3x- 6 \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \geq 2\)Le domaine est \(D_f = \left[2\,;+\infty\right[\).
Exercice 2 — Équation simple ★
Résoudre \(\sqrt{x+5} = 4\).
Voir la correction de l’exercice 2
Domaine : \(x + 5 \geq 0\), soit \(x \geq -5\).
On élève au carré : \(x + 5 = 16\), donc \(x = 11\).
Vérification : \(\sqrt{11+5} = \sqrt{16} = 4\) ✓. La solution est \(x = 11\).
Exercice 3 — Solution parasite ★★
Résoudre \(\sqrt{x+2} = x\).
Voir la correction de l’exercice 3
Domaine : \(x + 2 \geq 0\), soit \(x \geq -2\). De plus le membre de droite \(x\) doit être positif, donc \(x \geq 0\).
On élève au carré : \(x + 2 = x^2\), d’où \(x^2- x- 2 = 0\).
Le discriminant vaut \(1 + 8 = 9\), donc \(x = 2\) ou \(x = -1\).
Vérification : \(x = -1\) est rejeté (négatif). Pour \(x = 2\) : \(\sqrt{4} = 2\) ✓.
La seule solution est \(x = 2\).
Exercice 4 — Inéquation irrationnelle ★★
Résoudre \(\sqrt{2x + 1}\) < \(3\).
Voir la correction de l’exercice 4
Domaine : \(2x + 1 \geq 0\), soit \(x \geq -\displaystyle\frac{1}{2}\).
Le membre de droite \(3\) est positif, on compare les carrés :
\(2x + 1\) < \(9 \quad\Longleftrightarrow\quad x\) < \(4\)
En croisant avec le domaine : \(S = \left[-\displaystyle\frac{1}{2}\,;4\right[\).
Exercice 5 — Inéquation avec discussion ★★★
Résoudre \(\sqrt{x + 5} \geq x- 1\). (On raisonnera selon le signe du membre de droite.)
Voir la correction de l’exercice 5
Domaine : \(x + 5 \geq 0\), soit \(x \geq -5\).
Cas 1 : \(x- 1\) < \(0\), c’est-à-dire \(x\) < \(1\).
La racine est positive et le membre de droite négatif : l’inégalité est toujours vraie. Tout \(x\) de \(\left[-5\,;1\right[\) convient.
Cas 2 : \(x \geq 1\). Les deux membres sont positifs, on élève au carré :
\(x + 5 \geq (x-1)^2 = x^2- 2x + 1\) \(0 \geq x^2- 3x- 4 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-4)(x+1) \leq 0\)Ce trinôme est négatif entre ses racines, soit \(-1 \leq x \leq 4\). En croisant avec \(x \geq 1\) : \(1 \leq x \leq 4\).
Réunion des deux cas : \(S = \left[-5\,;4\right]\).
VII. Questions fréquentes
Qu’est-ce qu’une fonction irrationnelle ?
Une fonction irrationnelle est une fonction dont l’expression contient la variable sous un radical, en général une racine carrée, comme \(f(x) = \sqrt{2x-8}\). Sa particularité : elle n’existe que si le contenu de la racine (le radicande) est positif ou nul, ce qui limite son domaine de définition.
Quelle est la différence entre une fonction rationnelle et une fonction irrationnelle ?
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes, comme \(\displaystyle\frac{x+1}{x-3}\) : elle n’est pas définie là où le dénominateur s’annule. Une fonction irrationnelle contient un radical, comme \(\sqrt{x-3}\) : elle n’est pas définie là où le radicande est négatif. Ce sont deux familles distinctes.
Quelle est la différence entre une fonction irrationnelle et un nombre irrationnel ?
Aucun lien direct. Un nombre irrationnel est un nombre qui ne s’écrit pas comme une fraction, comme \(\pi\) ou \(\sqrt{2}\). Une fonction irrationnelle est une fonction contenant un radical. Dans les deux cas, « irrationnel » signifie qui n’est pas un rapport : un nombre irrationnel n’est pas un quotient d’entiers, une fonction irrationnelle n’est pas un quotient de polynômes.
Comment trouver le domaine de définition d’une fonction irrationnelle ?
On écrit que la quantité sous chaque racine carrée est positive ou nulle, puis on résout l’inéquation obtenue. Par exemple pour \(f(x) = \sqrt{3x-6}\), on pose \(3x- 6 \geq 0\), ce qui donne \(x \geq 2\) : le domaine est \(\left[2\,;+\infty\right[\).
Pourquoi faut-il toujours vérifier les solutions d’une équation irrationnelle ?
Parce qu’élever au carré n’est pas réversible : de \(a^2 = b^2\) on peut avoir \(a = b\) ou \(a = -b\). Cette opération peut donc ajouter des solutions parasites qui ne vérifient pas l’équation de départ. La vérification finale les élimine.
VIII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les fonctions, équations et inéquations irrationnelles. Pour consolider :
- Fonctions Carré, Cube, Racine Carrée (Seconde) : Cours
- Les racines d’un polynôme : multiplicité, relations coefficients-racines et méthodes
- Ensemble de Définition (Seconde) : Méthode et Exercices
- Primitives Fonctions Composées (Terminale) : Méthode
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le lycée.
