Combien de carreaux faut-il pour couvrir le sol de ta chambre ? Combien de gazon pour un jardin rectangulaire ? Toutes ces questions se ramènent à une seule idée : mesurer une surface. Et bonne nouvelle, pour un rectangle ou un carré, il suffit d’une multiplication. Dans ce cours, tu vas comprendre ce qu’est l’aire, apprendre la formule, savoir pourquoi elle marche, et t’entraîner sur des exercices corrigés pas à pas.
I. Qu’est-ce que l’aire d’un rectangle ?
L’aire d’un rectangle, c’est la mesure de la surface qu’il occupe, c’est-à-dire la place qu’il prend à l’intérieur. On la mesure en unités carrées : cm², m², km²… Le périmètre, lui, mesure le tour de la figure (une longueur, en cm ou m). Ce sont deux grandeurs différentes : ne les confonds jamais.
Une bonne façon de comprendre l’aire : imagine que tu recouvres le rectangle avec des petits carreaux de 1 cm de côté (des « carrés-unités »). L’aire, c’est tout simplement le nombre de carreaux qu’il faut. Chaque carreau vaut 1 cm² : c’est l’unité d’aire.
À retenir : l’aire se mesure en unités carrées (cm², m²…), le périmètre en unités simples (cm, m…). Si ta réponse est une aire et que tu as écrit « cm » sans le petit 2, c’est une erreur.
II. La formule de l’aire du rectangle et du carré
Comment calculer l’aire d’un rectangle ? On multiplie sa longueur par sa largeur. Inutile de compter les carreaux un par un : une seule multiplication suffit.
Formule — Aire du rectangle
L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur :
\(A = L \times l\)
où \(L\) est la longueur et \(l\) la largeur, exprimées dans la même unité.
Le carré est un rectangle un peu spécial : ses quatre côtés ont la même longueur. La formule se simplifie donc : on multiplie le côté par lui-même.
Formule — Aire du carré
Si un carré a un côté de longueur \(c\), son aire vaut :
\(A = c \times c = c^2\)
On lit \(c^2\) « c au carré » — et ce n’est pas un hasard si le mot « carré » désigne à la fois la figure et cette opération.
Le petit tableau ci-dessous résume les deux formules avec un exemple chiffré.
| Figure | Formule | Exemple | Aire |
|---|---|---|---|
| Rectangle | \(A = L \times l\) | \(L = 8\) cm, \(l = 5\) cm | \(8 \times 5 = 40\) cm² |
| Carré | \(A = c \times c\) | \(c = 6\) cm | \(6 \times 6 = 36\) cm² |
Le formulaire des aires, périmètres et volumes — 2 pages
Les formules et les unités dans une fiche recto-verso, avec les longueurs et les hauteurs à utiliser.
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Ce lien entre le carré de la figure et le carré d’un nombre est une idée qu’on retrouve tout au long du collège. Maintenant que tu connais la formule, voyons comment l’appliquer sans se tromper.
III. Comment calculer l’aire pas à pas
Pour calculer l’aire d’un rectangle sans erreur, suis toujours ces trois étapes :
- Repère la longueur et la largeur. Ce sont les deux dimensions du rectangle (pour un carré, une seule mesure suffit).
- Vérifie l’unité. Les deux mesures doivent être dans la même unité. Si l’une est en mètres et l’autre en centimètres, convertis d’abord.
- Multiplie longueur × largeur, puis écris le résultat avec l’unité au carré (cm², m²…).
Exemple : une table rectangulaire mesure 120 cm de long et 80 cm de large. Quelle est son aire ?
Les deux mesures sont déjà en cm, on peut multiplier directement :
\(A = 120 \times 80 = 9\,600 \text{ cm}^2\)
L’aire de la table est de 9 600 cm².
Astuce mesures : pour convertir une aire en m², il vaut souvent mieux convertir les longueurs avant de multiplier. Pour t’entraîner, révise la conversion des unités.
IV. Pourquoi la formule marche : la preuve par le quadrillage
Beaucoup de sites te donnent la formule sans expliquer d’où elle vient. Pourtant, comprendre pourquoi A = L × l t’aidera à ne jamais l’oublier. Prenons un rectangle de 5 cm de long et 3 cm de large, et recouvrons-le de carrés de 1 cm².
On voit apparaître 3 lignes de 5 carreaux chacune. Le nombre total de carreaux est donc :
\(5 \times 3 = 15\)Il y a 15 carrés-unités, donc l’aire vaut 15 cm². Multiplier la longueur par la largeur, c’est exactement compter combien de carreaux d’aire 1 cm² tiennent à l’intérieur : voilà pourquoi \(A = L \times l\). Cette même idée de découpage sert ensuite pour l’aire d’un triangle (moitié d’un rectangle) et pour l’aire du parallélogramme.
V. Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice seul avant d’ouvrir la correction : c’est comme ça qu’on progresse.
Exercice 1 — Aire d’un rectangle ★
Un rectangle mesure 9 cm de long et 4 cm de large. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 1
On applique la formule \(A = L \times l\) avec \(L = 9\) cm et \(l = 4\) cm :
\(A = 9 \times 4 = 36\)L’aire du rectangle est de 36 cm².
Exercice 2 — Aire d’un carré ★
Un carré a un côté de 7 cm. Quelle est son aire ?
Voir la correction de l’exercice 2
Pour un carré, on multiplie le côté par lui-même : \(A = c \times c\) avec \(c = 7\) cm.
\(A = 7 \times 7 = 49\)L’aire du carré est de 49 cm².
Exercice 3 — Attention aux unités ★★
Un rectangle mesure 2 m de long et 50 cm de large. Calcule son aire en cm².
Voir la correction de l’exercice 3
Les deux mesures ne sont pas dans la même unité : on convertit d’abord la longueur en centimètres.
\(2 \text{ m} = 200 \text{ cm}\)On peut maintenant multiplier :
\(A = 200 \times 50 = 10\,000\)L’aire est de 10 000 cm² (soit 1 m²).
Exercice 4 — Retrouver une dimension ★★
L’aire d’un rectangle est de 48 cm². Sa longueur est de 8 cm. Quelle est sa largeur ?
Voir la correction de l’exercice 4
On sait que aire = longueur × largeur. Pour retrouver la largeur, on fait l’opération inverse : on divise l’aire par la longueur.
\(l = \displaystyle\frac{48}{8} = 6\)La largeur du rectangle est de 6 cm. On vérifie : \(8 \times 6 = 48\) ✓
Exercice 5 — Même aire, autre forme ★★★
Un rectangle mesure 12 cm de long et 3 cm de large. Un carré a exactement la même aire que ce rectangle. Quelle est la longueur du côté de ce carré ?
Voir la correction de l’exercice 5
Étape 1 — l’aire du rectangle.
\(A = 12 \times 3 = 36 \text{ cm}^2\)Étape 2 — le côté du carré. Le carré a aussi une aire de 36 cm². Il faut donc trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 36.
\(6 \times 6 = 36\)Le côté du carré mesure 6 cm. Remarque : deux figures peuvent avoir la même aire tout en ayant des formes (et des périmètres) très différents.
VI. Les erreurs fréquentes
Trois pièges reviennent tout le temps dans les copies. Repère-les pour ne plus jamais les commettre.
Erreur n°1 — confondre aire et périmètre. Pour un rectangle 8 × 5 :
❌ Copie fautive : « Aire = 8 + 8 + 5 + 5 = 26 cm² »
Diagnostic : l’élève a calculé le tour (le périmètre), pas la surface.
✅ Correction : l’aire, c’est une multiplication → \(8 \times 5 = 40\) cm². Le périmètre est une autre notion.
Erreur n°2 — oublier l’unité carrée. Une aire s’écrit toujours en cm², m²… Écrire « 40 cm » pour une aire est faux : il manque le petit 2.
Erreur n°3 — mélanger les unités. Pour exprimer directement une aire en cm² ou en m², convertis d’abord les deux longueurs dans la même unité. Par exemple, 2 m × 50 cm devient 2 m × 0,5 m = 1 m², ou 200 cm × 50 cm = 10 000 cm².
Ces confusions font partie des grands classiques : tu les retrouves dans notre récapitulatif des pièges de géométrie au collège.
VII. Questions fréquentes
Comment calculer l’aire d’un rectangle ?
On multiplie sa longueur par sa largeur : aire = L × l, avec les deux mesures dans la même unité. Par exemple, un rectangle de 8 cm sur 5 cm a une aire de 8 × 5 = 40 cm². Le résultat s’écrit toujours en unités carrées (cm², m²…).
Quelle est la différence entre l’aire et le périmètre d’un rectangle ?
L’aire mesure la surface à l’intérieur (en cm²) : on la calcule par L × l. Le périmètre mesure le tour de la figure (en cm) : on l’obtient par 2 × (L + l). Deux grandeurs différentes, deux unités différentes — c’est le piège le plus classique.
Comment calculer l’aire d’un carré ?
Comme le carré a quatre côtés égaux, on multiplie son côté par lui-même : aire = c × c = c². Un carré de 6 cm de côté a donc une aire de 6 × 6 = 36 cm².
Comment trouver l’aire d’un rectangle quand il y a un x ?
À partir de la 5ème, la longueur ou la largeur peut être écrite avec une lettre. La formule ne change pas : si un rectangle mesure \(x\) de long et 4 de large, son aire est \(4 \times x\), que l’on écrit \(4x\). On calcule ensuite dès que l’on connaît la valeur de \(x\).
Comment calculer l’aire d’un rectangle en m² ?
Convertis d’abord les deux dimensions en mètres, puis multiplie. Un rectangle de 300 cm sur 200 cm devient 3 m sur 2 m, soit une aire de 3 × 2 = 6 m². Il est plus sûr de convertir les longueurs avant de multiplier.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire d’un rectangle et d’un carré. Continue avec ces notions proches :
