La formule du rectangle ne suffit pas pour toutes les figures. Pour calculer l’aire d’un quadrilatère sans propriété particulière ou d’une figure en L, commence par décomposer la surface en triangles et en rectangles. Tu peux aussi compléter un grand rectangle, puis retrancher la partie ajoutée. Le choix dépend des longueurs et des hauteurs connues.
Aire d’un quadrilatère : le principe à comprendre
Pour un quadrilatère convexe, une diagonale de longueur \(d\) et les hauteurs \(h_1\) et \(h_2\) des deux triangles donnent \(A=\displaystyle\frac{d(h_1+h_2)}{2}\). Cette formule vient simplement de l’addition des deux aires. Les formules du carré, du rectangle ou du trapèze exploitent leurs propriétés particulières.
Définition — Quadrilatère
Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Dire qu’il est quelconque signifie qu’aucune propriété particulière n’est imposée : on ne peut supposer ni côtés parallèles ni angles droits sans donnée ou codage.
Il faut donc bien distinguer deux familles. La première regroupe les quadrilatères connus : tu as appris une formule pour chacun, il suffit de la reconnaître et de l’appliquer. La seconde regroupe les quadrilatères quelconques et les figures composées (une forme en L, une croix, une maison…) : là, il n’y a rien à retenir par cœur, seulement une méthode à appliquer. C’est exactement la compétence que le collège teste, de la 6ème jusqu’au brevet.
L’idée à retenir : une aire, ça s’additionne. Si tu sais découper ta figure en rectangles et en triangles, tu sais calculer son aire. Le plus dur n’est pas le calcul, c’est le bon découpage.
Quelle méthode choisir selon le quadrilatère ?
Avant de te lancer dans un calcul, pose-toi une seule question : de quel type de quadrilatère s’agit-il ? Le tableau ci-dessous te donne la bonne stratégie pour chaque cas. Les cinq premières lignes utilisent une formule directe ; les deux dernières utilisent le découpage.
| Le quadrilatère est… | Méthode à utiliser | Formule ou démarche |
|---|---|---|
| un carré (côté \(c\)) | Formule directe | \(c \times c\) |
| un rectangle (longueur \(L\), largeur \(l\)) | Formule directe | \(L \times l\) |
| un parallélogramme (base \(b\), hauteur \(h\)) | Formule directe | \(b \times h\) |
| un losange (diagonales \(D\) et \(d\)) | Formule directe | \(\displaystyle\frac{D \times d}{2}\) |
| un trapèze (bases \(B\) et \(b\), hauteur \(h\)) | Formule directe | \(\displaystyle\frac{(B + b) \times h}{2}\) |
| un quadrilatère quelconque | Découpage | 2 triangles avec une diagonale, puis on additionne |
| une figure composée (L, croix, maison…) | Découpage ou soustraction | somme (ou différence) des aires simples |
Tu retrouves le détail de chaque formule directe sur les pages dédiées : aire du rectangle et du carré, aire d’un parallélogramme, aire d’un trapèze et aire d’un losange. Le reste de cet article se concentre sur les deux derniers cas, les plus délicats : le quadrilatère quelconque et la figure composée.
La méthode pas à pas pour un quadrilatère quelconque
Face à un quadrilatère qui n’est ni un carré, ni un rectangle, ni un parallélogramme, applique toujours les mêmes quatre étapes. Elles marchent aussi bien pour un quadrilatère quelconque que pour une figure composée en L ou en maison.
Étape 1 — Découper la figure en morceaux simples
Trace une diagonale intérieure pour couper le quadrilatère en deux triangles. Pour une figure composée, découpe-la plutôt en rectangles et en triangles. Chaque morceau doit être une figure dont tu connais la formule.
Étape 2 — Repérer les longueurs utiles
Sur chaque morceau, note la base et la hauteur. Attention : la hauteur d’un triangle est perpendiculaire à sa base (elle forme un angle droit avec elle). Si une hauteur manque, on la trouve parfois grâce au théorème de Pythagore.
Étape 3 — Calculer l’aire de chaque morceau
Applique la formule de chaque morceau. Pour un triangle, c’est \(\displaystyle\frac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\) (revois l’aire d’un triangle si besoin). Pour un rectangle, c’est longueur × largeur.
Étape 4 — Additionner et vérifier l’unité
Ajoute les aires des morceaux (ou soustrais la partie manquante). Vérifie enfin que toutes les mesures sont dans la même unité avant de calculer, et écris le résultat en unité d’aire (cm², m²…). En cas de doute, revois comment convertir des unités d’aire.
Erreur classique : prendre un côté oblique du triangle comme hauteur. La hauteur est toujours perpendiculaire à la base, jamais un côté penché. Repère bien le petit angle droit sur le schéma.
Le formulaire des aires, périmètres et volumes — 2 pages
Les formules et les unités dans une fiche recto-verso, avec les longueurs et les hauteurs à utiliser.
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Exemples résolus
On monte en difficulté : un quadrilatère connu, puis un quadrilatère quelconque, puis une figure composée par découpage, et enfin par soustraction.
Exemple 1 🔵 — Reconnaître avant de calculer. Un trapèze a une grande base \(B = 8\) cm, une petite base \(b = 5\) cm et une hauteur \(h = 4\) cm.
C’est une figure connue : on applique la formule directe.
\(A = \displaystyle\frac{(8 + 5) \times 4}{2} = \displaystyle\frac{13 \times 4}{2} = \displaystyle\frac{52}{2} = 26\) cm².
L’aire du trapèze est 26 cm².
Passons à un quadrilatère convexe dont on connaît une diagonale et les deux hauteurs associées.
Exemple 2 🔵 — Quadrilatère convexe ABCD. La diagonale \(AC = 10\) cm partage le quadrilatère en deux triangles. La hauteur issue de B mesure 3 cm, celle issue de D mesure 4 cm.
Aire du triangle ABC : \(\displaystyle\frac{10 \times 3}{2} = 15\) cm².
Aire du triangle ACD : \(\displaystyle\frac{10 \times 4}{2} = 20\) cm².
On additionne : \(15 + 20 = 35\).
L’aire du quadrilatère ABCD est 35 cm².
Exemple 3 🔵 — Figure en L par découpage. Une pièce a la forme d’un L. On la coupe en deux rectangles : un grand de 6 cm × 4 cm et un petit de 3 cm × 2 cm.
Aire du grand rectangle : \(6 \times 4 = 24\) cm².
Aire du petit rectangle : \(3 \times 2 = 6\) cm².
On additionne : \(24 + 6 = 30\).
L’aire de la figure en L est 30 cm².
Exemple 4 — La même figure par soustraction. Complète le L pour obtenir un carré de 6 cm de côté. Le coin ajouté mesure 3 cm sur 2 cm, comme le montre la figure.
Aire du grand rectangle : \(6 \times 6 = 36\) cm².
Aire du coin enlevé : \(3\times2=6\) cm².
On soustrait : \(36-6=30\) cm². On retrouve exactement les 30 cm² obtenus en additionnant les deux rectangles.
Les erreurs fréquentes à éviter
La plupart des points perdus sur ce chapitre viennent de trois erreurs très classiques. Les voici, avec le bon réflexe à adopter.
❌ Copie fautive : « L’aire du quadrilatère ABCD, c’est côté × côté = 6 × 8 = 48 cm². »
Diagnostic : l’élève a cru qu’un quadrilatère quelconque se calculait comme un rectangle. Mais « côté × côté » ne marche que pour le carré et le rectangle, jamais pour un quadrilatère quelconque.
✅ Correction : il faut tracer une diagonale, obtenir deux triangles, calculer chaque aire, puis additionner.
Piège n°2 — Confondre aire et périmètre. L’aire, c’est la surface (en cm²) ; le périmètre, c’est le tour (en cm). Si on te demande l’aire, tu ne dois pas additionner les longueurs des côtés. Retrouve les 8 pièges classiques de géométrie pour ne plus les confondre.
Piège n°3 — Mélanger les unités. Si une longueur est en mètres et l’autre en centimètres, convertis d’abord tout dans la même unité, sinon le résultat est faux.
Exercices corrigés
À toi de jouer. Cherche chaque exercice sur ton cahier avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Reconnaître et appliquer ★
Un losange a des diagonales qui mesurent 6 cm et 8 cm. Calcule son aire.
Voir la correction de l’exercice 1
Le losange est une figure connue : on utilise la formule des diagonales.
\(A = \displaystyle\frac{D \times d}{2} = \displaystyle\frac{6 \times 8}{2} = \displaystyle\frac{48}{2} = 24\) cm².
L’aire du losange est 24 cm².
Exercice 2 — Quadrilatère quelconque ★★
Un quadrilatère MNPQ est coupé par la diagonale MP qui mesure 12 cm. La hauteur issue de N mesure 5 cm, celle issue de Q mesure 3 cm. Calcule l’aire du quadrilatère.
Voir la correction de l’exercice 2
La diagonale MP donne deux triangles : MNP et MPQ, de même base 12 cm.
Aire de MNP : \(\displaystyle\frac{12 \times 5}{2} = 30\) cm².
Aire de MPQ : \(\displaystyle\frac{12 \times 3}{2} = 18\) cm².
On additionne : \(30 + 18 = 48\).
L’aire du quadrilatère MNPQ est 48 cm².
Exercice 3 — Figure composée en maison ★★
Une figure a la forme d’une maison : un rectangle de 6 cm de large et 4 cm de haut, surmonté d’un triangle de base 6 cm et de hauteur 3 cm. Calcule son aire totale.
Voir la correction de l’exercice 3
On découpe la maison en deux morceaux : le rectangle du bas et le triangle du toit.
Aire du rectangle : \(6 \times 4 = 24\) cm².
Aire du triangle : \(\displaystyle\frac{6 \times 3}{2} = 9\) cm².
On additionne : \(24 + 9 = 33\).
L’aire totale de la figure est 33 cm².
Exercice 4 — Choisir la bonne stratégie ★★★
Un carton carré de 10 cm de côté a été percé en son centre d’un trou carré de 4 cm de côté. Quelle est l’aire du carton restant ? Explique pourquoi la soustraction est ici plus rapide que le découpage.
Voir la correction de l’exercice 4
La figure a un trou : la méthode de la soustraction est idéale.
Aire du grand carré : \(10 \times 10 = 100\) cm².
Aire du trou : \(4 \times 4 = 16\) cm².
On soustrait : \(100- 16 = 84\).
L’aire du carton restant est 84 cm².
Pourquoi la soustraction ? Découper la figure trouée en morceaux simples obligerait à créer plusieurs rectangles autour du trou, avec un risque d’erreur élevé. Enlever directement l’aire du trou à l’aire du grand carré ne demande que deux calculs : c’est plus rapide et plus sûr dès qu’une partie manque au milieu de la figure.
Questions fréquentes
Quelle est la formule de l’aire d’un quadrilatère ?
Pour un quadrilatère convexe, une diagonale \(d\) et les hauteurs des deux triangles permettent de calculer \(A=\displaystyle\frac{d(h_1+h_2)}{2}\). Si la figure possède des propriétés particulières, utilise plutôt la formule du rectangle, du losange ou du trapèze, selon les données disponibles.
Comment calculer l’aire d’un quadrilatère quelconque ?
On trace une diagonale pour obtenir deux triangles. On calcule l’aire de chaque triangle avec la formule base × hauteur divisée par 2, puis on additionne les deux résultats. Le résultat s’exprime en unité d’aire (cm², m²…).
Comment calculer l’aire d’une figure irrégulière ?
Deux méthodes existent. Le découpage : on divise la figure en rectangles et triangles, on calcule chaque aire et on additionne. La soustraction : on complète la figure pour former un rectangle simple, puis on enlève la partie ajoutée. On choisit la soustraction quand la figure a un trou ou un coin manquant.
Quelle est la différence entre découper et compléter une figure ?
Découper, c’est partager la figure en morceaux plus petits que l’on additionne : idéal pour une forme en L ou une maison. Compléter, c’est agrandir la figure pour obtenir un rectangle simple, puis soustraire ce qu’on a ajouté : idéal quand une partie manque. Les deux méthodes donnent toujours le même résultat.
Peut-on calculer l’aire d’un quadrilatère avec seulement les longueurs des côtés ?
Non, pas en général. Quatre longueurs de côtés ne déterminent pas à elles seules l’aire d’un quadrilatère : un carré et un losange aplati peuvent avoir les mêmes côtés et des aires différentes. Il faut une information supplémentaire, par exemple une diagonale et les hauteurs associées ou un angle. Ce manque de données ne dépend pas du niveau scolaire.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer l’aire de n’importe quel quadrilatère par découpage. Pour continuer à progresser :
- L’aire d’un triangle rectangle : méthode, calcul et exemples
- Périmètre d’un triangle rectangle : méthode et calcul
- Permis du rapporteur : mesurer et tracer les angles en 6ème (exercices corrigés)
- 12 exercices de proportionnalité corrigés en 5ème (avec PDF)
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