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Le rotationnel d’un champ de vecteurs mesure sa tendance locale à tourner autour d’un point : c’est un vecteur dirigé selon l’axe de rotation, dont la norme donne l’intensité du tourbillon. La divergence, elle, mesure le flux net sortant d’un point. Ensemble, ces deux opérateurs différentiels forment le cœur de l’analyse vectorielle en prépa.
I. Définition et notations
Avant de calculer quoi que ce soit, il faut bien voir sur quels objets travaillent la divergence et le rotationnel. Les deux opérateurs prennent en entrée un champ de vecteurs, c’est-à-dire une application qui à chaque point de l’espace associe un vecteur. On note en général un tel champ \(\vec{F} = (P, Q, R)\), où \(P, Q, R\) sont trois fonctions scalaires des variables \(x, y, z\).
A. Définitions formelles
Définition — Divergence et rotationnel
Soit \(\vec{F} = (P, Q, R)\) un champ de vecteurs de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert de \(\mathbb{R}^3\).
La divergence de \(\vec{F}\) est le champ scalaire :
\(\mathrm{div}\,\vec{F} = \displaystyle\frac{\partial P}{\partial x} + \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial y} + \displaystyle\frac{\partial R}{\partial z}\)
Le rotationnel de \(\vec{F}\) est le champ vectoriel :
\(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \left( \displaystyle\frac{\partial R}{\partial y}- \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial z} \ ,\ \displaystyle\frac{\partial P}{\partial z}- \displaystyle\frac{\partial R}{\partial x} \ ,\ \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} \right)\)
Retiens bien la nature des sorties : la divergence transforme un champ de vecteurs en nombre (un scalaire en chaque point), le rotationnel transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. C’est la première chose que vérifie un correcteur, et la première source d’erreur des étudiants.
B. L’opérateur nabla et les notations
Ces deux formules se mémorisent en une ligne grâce à l’opérateur nabla, noté \(\nabla\), que l’on manipule comme un « vecteur symbolique » de composantes des dérivées partielles :
\(\nabla = \left( \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} \ ,\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} \ ,\ \displaystyle\frac{\partial}{\partial z} \right)\)Avec cette convention, la divergence est un produit scalaire symbolique et le rotationnel un produit vectoriel symbolique :
\(\mathrm{div}\,\vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} \qquad \text{et} \qquad \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \nabla \wedge \vec{F}\)Le \(\nabla \cdot\) rappelle le \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) du produit scalaire, et le \(\nabla \wedge\) le produit vectoriel \(\vec{u} \wedge \vec{v}\). C’est pour cela que le rotationnel est un vecteur : le produit vectoriel de deux vecteurs de \(\mathbb{R}^3\) est un vecteur.
On rencontre aussi la notation anglo-saxonne \(\mathrm{curl}\,\vec{F}\) pour le rotationnel. En prépa française, on écrit \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\) (avec la flèche, car c’est un vecteur) et \(\mathrm{div}\,\vec{F}\) (sans flèche, car c’est un scalaire). Respecter cette convention est un signal de rigueur en copie.
C. La formule matricielle et le rotationnel en 2D
Le rotationnel se retrouve immédiatement en développant un déterminant symbolique \(3 \times 3\), exactement comme un produit vectoriel :
\(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{e}_x & \vec{e}_y & \vec{e}_z \\[4pt] \displaystyle\frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle\frac{\partial}{\partial z} \\[6pt] P & Q & R \end{vmatrix}\)En développant selon la première ligne, on retrouve exactement les trois composantes de la définition. C’est le moyen le plus sûr de ne pas se tromper de signe lors d’un calcul de concours.
En dimension 2, pour un champ \(\vec{F} = (P, Q)\) du plan, on définit un rotationnel scalaire (la seule composante non nulle, portée par l’axe \(z\)) :
\(\mathrm{rot}\,\vec{F} = \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\)Formules à retenir
- Divergence : \(\mathrm{div}\,\vec{F} = \nabla \cdot \vec{F} = \partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R\) → un scalaire.
- Rotationnel : \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \nabla \wedge \vec{F}\) → un vecteur (déterminant symbolique).
- Rotationnel plan : \(\mathrm{rot}\,\vec{F} = \partial_x Q- \partial_y P\) → un scalaire.
Ces formules sont les définitions cartésiennes. En coordonnées cylindriques ou sphériques, les expressions changent complètement à cause de la base locale mobile : elles sont regroupées et démontrées dans la page dédiée aux expressions en coordonnées cylindriques et sphériques.
II. Interprétation géométrique
Une formule sans image reste un jeu de symboles. Ces deux opérateurs répondent à deux questions physiques distinctes sur un champ, par exemple le champ de vitesse d’un fluide.
La divergence mesure l’expansion locale. Imagine que \(\vec{F}\) soit la vitesse d’un fluide. En un point où \(\mathrm{div}\,\vec{F} \gt 0\), il « sort » plus de fluide qu’il n’en entre : le point se comporte comme une source. Si \(\mathrm{div}\,\vec{F} \lt 0\), c’est un puits. Si \(\mathrm{div}\,\vec{F} = 0\) partout, le champ est dit à flux conservatif (ou incompressible) : autant de fluide entre que de fluide sort.
Le rotationnel mesure la rotation locale. Place une minuscule roue à aubes dans le fluide : si elle se met à tourner, c’est que le champ a un rotationnel non nul en ce point. Le vecteur \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\) indique l’axe de cette rotation (règle de la main droite) et sa norme mesure la vitesse de rotation. Un champ dont le rotationnel est nul partout est dit irrotationnel.
Exemple canonique : considère le champ de rotation pure \(\vec{F}(x,y,z) = (-y, x, 0)\) (rotation autour de l’axe \(z\)).
Divergence : \(\mathrm{div}\,\vec{F} = \partial_x(-y) + \partial_y(x) + \partial_z(0) = 0 + 0 + 0 = 0\).
Rotationnel : \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \big(\partial_y 0- \partial_z x,\ \partial_z(-y)- \partial_x 0,\ \partial_x x- \partial_y(-y)\big) = (0, 0, 2)\).
Interprétation : ce champ ne « gonfle » nulle part (divergence nulle) mais tourne uniformément autour de l’axe \(z\) (rotationnel constant \((0,0,2)\)). L’image de la roue à aubes est parfaitement respectée.
Cette double lecture — expansion d’un côté, rotation de l’autre — se prolonge naturellement vers les grands théorèmes intégraux : la divergence est reliée au flux à travers une surface (Ostrogradski) et le rotationnel à la circulation le long d’un contour (théorème de Stokes). Voyons d’abord les propriétés algébriques.
Toutes les formules de la divergence et du rotationnel sur une seule fiche
Définitions cartésiennes, déterminant symbolique, propriétés démontrées et identité rot-rot : l’essentiel du chapitre condensé pour tes révisions.
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III. Propriétés et théorèmes
Trois propriétés dominent tout le chapitre. Deux d’entre elles — \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f) = \vec{0}\) et \(\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}) = 0\) — reposent sur le même ingrédient : le théorème de Schwarz sur l’interversion des dérivées partielles secondes.
A. Linéarité
La divergence et le rotationnel sont des opérateurs linéaires : pour tous champs \(\vec{F}, \vec{G}\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et tous réels \(\lambda, \mu\),
\(\mathrm{div}(\lambda \vec{F} + \mu \vec{G}) = \lambda\,\mathrm{div}\,\vec{F} + \mu\,\mathrm{div}\,\vec{G}\) \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\lambda \vec{F} + \mu \vec{G}) = \lambda\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} + \mu\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{G}\)Cela découle immédiatement de la linéarité des dérivées partielles.
B. Le rotationnel d’un gradient est nul
Théorème ⋆ — Pour toute fonction \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) :
\(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\big(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\big) = \vec{0}\)
Démonstration. Le gradient est \(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f = (\partial_x f, \partial_y f, \partial_z f)\). Sa première composante de rotationnel vaut :
\(\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial z}\right)- \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y\, \partial z}- \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial z\, \partial y}\)Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), le théorème de Schwarz garantit l’égalité des dérivées croisées, donc cette composante est nulle. Le même raisonnement s’applique aux deux autres composantes. On conclut \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f) = \vec{0}\). ∎
Ce résultat a une réciproque fondamentale (admise en toute généralité sur un ouvert simplement connexe) : un champ irrotationnel dérive d’un potentiel scalaire. Autrement dit, \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \vec{0}\) équivaut, localement, à l’existence de \(f\) telle que \(\vec{F} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\). C’est le lien direct avec les formes différentielles exactes.
C. La divergence d’un rotationnel est nulle
Théorème ⋆ — Pour tout champ \(\vec{F}\) de classe \(\mathcal{C}^2\) :
\(\mathrm{div}\big(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\big) = 0\)
Démonstration. Notons \(\vec{F} = (P, Q, R)\). Alors :
\(\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}) = \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\partial_y R- \partial_z Q\right) + \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\partial_z P- \partial_x R\right) + \displaystyle\frac{\partial}{\partial z}\!\left(\partial_x Q- \partial_y P\right)\)En développant, chaque dérivée seconde apparaît deux fois avec des signes opposés :
\(\left(\partial_{xy} R- \partial_{yx} R\right) + \left(\partial_{yz} P- \partial_{zy} P\right) + \left(\partial_{zx} Q- \partial_{xz} Q\right)\)Par Schwarz, chaque parenthèse est nulle, d’où \(\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}) = 0\). ∎
D. Divergence et rotationnel d’un produit
Deux formules « type Leibniz » reviennent régulièrement, notamment en électromagnétisme. Pour \(f\) scalaire et \(\vec{F}\) vectoriel :
\(\mathrm{div}(f\,\vec{F}) = f\,\mathrm{div}\,\vec{F} + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f \cdot \vec{F}\) \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(f\,\vec{F}) = f\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f \wedge \vec{F}\)Elles se démontrent composante par composante en appliquant la règle de dérivation d’un produit. Un bon réflexe : le facteur scalaire « sort » (terme \(f\,\mathrm{div}\,\vec{F}\) ou \(f\,\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\)) et le gradient vient « agir » sur ce scalaire (terme en \(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\)).
E. L’identité du double rotationnel
Voici l’identité qui fait la jonction avec le laplacien et qui tombe très souvent en concours de physique :
Identité du double rotationnel
\(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\big(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\big) = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\big(\mathrm{div}\,\vec{F}\big)- \vec{\Delta}\vec{F}\)
où \(\vec{\Delta}\vec{F}\) est le laplacien vectoriel (le laplacien appliqué composante par composante).
On la retient sous la forme mnémotechnique « rot rot = grad div − delta ». C’est elle qui transforme les équations de Maxwell en équation de propagation des ondes. Elle relie donc les trois opérateurs du chapitre en une seule ligne. Rappelons au passage que le laplacien scalaire lui-même est \(\Delta f = \mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f)\), résultat démontré dans la page dédiée.
IV. Méthode pas à pas
Le calcul en lui-même n’est jamais l’obstacle : c’est l’organisation et le contrôle des signes. Voici la procédure fiable pour calculer proprement une divergence et un rotationnel.
Étape 1 — Identifier les composantes
Écris explicitement \(\vec{F} = (P, Q, R)\) en repérant bien quelle fonction est \(P\) (composante sur \(x\)), \(Q\) (sur \(y\)) et \(R\) (sur \(z\)). La moitié des erreurs vient d’une confusion à cette étape.
Étape 2 — Divergence : la somme des trois dérivées diagonales
Calcule les trois dérivées « en diagonale » : \(\partial_x P\), \(\partial_y Q\), \(\partial_z R\), puis somme-les. C’est tout.
Étape 3 — Rotationnel : le déterminant symbolique
Pose le déterminant \(3 \times 3\) avec \((\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z)\) en première ligne, les opérateurs \((\partial_x, \partial_y, \partial_z)\) en deuxième, et \((P, Q, R)\) en troisième. Développe selon la première ligne. Le signe \({-}\) de la composante centrale est le piège classique : ne l’oublie pas.
Étape 4 — Vérifier la nature du résultat
Contrôle final : ta divergence est-elle bien un scalaire (une seule expression) ? Ton rotationnel est-il bien un vecteur (trois composantes) ? Si tu obtiens un vecteur pour la divergence, tu as fait une erreur de définition.
V. Exemples résolus et exercices
Passons à la pratique, du calcul direct à la question de raisonnement. Chaque correction est détaillée : essaie d’abord seul, puis déroule.
Exercice 1 — Divergence et rotationnel d’un champ polynomial ★
Soit \(\vec{F}(x,y,z) = (x^2 y,\ y z^2,\ x z)\). Calcule \(\mathrm{div}\,\vec{F}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On identifie \(P = x^2 y\), \(Q = y z^2\), \(R = x z\).
Divergence :
\(\mathrm{div}\,\vec{F} = \partial_x(x^2 y) + \partial_y(y z^2) + \partial_z(x z) = 2xy + z^2 + x\)Rotationnel : avec le déterminant symbolique,
\(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \big(\partial_y R- \partial_z Q,\ \partial_z P- \partial_x R,\ \partial_x Q- \partial_y P\big)\) \(\partial_y R- \partial_z Q = 0- 2yz = -2yz\) \(\partial_z P- \partial_x R = 0- z = -z\) \(\partial_x Q- \partial_y P = 0- x^2 = -x^2\)Conclusion : \(\mathrm{div}\,\vec{F} = 2xy + z^2 + x\) et \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = (-2yz,\ -z,\ -x^2)\).
Exercice 2 — Champ radial ★
Soit \(\vec{r} = (x, y, z)\) le champ position. Calcule \(\mathrm{div}\,\vec{r}\) et \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{r}\), puis interprète.
Voir la correction de l’exercice 2
Ici \(P = x\), \(Q = y\), \(R = z\).
\(\mathrm{div}\,\vec{r} = \partial_x x + \partial_y y + \partial_z z = 1 + 1 + 1 = 3\)Chaque composante de rotationnel fait intervenir des dérivées croisées de fonctions ne dépendant que de leur propre variable, donc :
\(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{r} = (0- 0,\ 0- 0,\ 0- 0) = \vec{0}\)Interprétation : le champ radial « part » de l’origine dans toutes les directions (divergence constante \(= 3\), une source uniforme) mais ne tourne pas (irrotationnel). Il dérive d’ailleurs du potentiel \(f = \displaystyle\frac{1}{2}\|\vec{r}\|^2\).
Exercice 3 — Reconnaître un champ de gradient ★★
Soit \(\vec{F} = (2xy + z,\ x^2,\ x)\). Montre que \(\vec{F}\) est irrotationnel, puis détermine un potentiel scalaire \(f\) tel que \(\vec{F} = \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f\).
Voir la correction de l’exercice 3
1. Rotationnel. Avec \(P = 2xy + z\), \(Q = x^2\), \(R = x\) :
\(\partial_y R- \partial_z Q = 0- 0 = 0\) \(\partial_z P- \partial_x R = 1- 1 = 0\) \(\partial_x Q- \partial_y P = 2x- 2x = 0\)Donc \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \vec{0}\) : le champ est irrotationnel sur \(\mathbb{R}^3\), qui est simplement connexe. Il dérive donc d’un potentiel.
2. Potentiel. On cherche \(f\) avec \(\partial_x f = 2xy + z\). En intégrant en \(x\) :
\(f(x,y,z) = x^2 y + xz + g(y,z)\)On dérive en \(y\) : \(\partial_y f = x^2 + \partial_y g = x^2\), donc \(\partial_y g = 0\).
On dérive en \(z\) : \(\partial_z f = x + \partial_z g = x\), donc \(\partial_z g = 0\). Ainsi \(g\) est une constante.
Conclusion : \(f(x,y,z) = x^2 y + xz + C\). On vérifie que son gradient redonne bien \(\vec{F}\).
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Exercice 4 — Une formule de produit ★★
Démontre la formule \(\mathrm{div}(f\,\vec{F}) = f\,\mathrm{div}\,\vec{F} + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f \cdot \vec{F}\) pour \(f\) scalaire et \(\vec{F} = (P,Q,R)\).
Voir la correction de l’exercice 4
On a \(f\,\vec{F} = (fP, fQ, fR)\). Par définition de la divergence et règle du produit :
\(\mathrm{div}(f\,\vec{F}) = \partial_x(fP) + \partial_y(fQ) + \partial_z(fR)\) \(= (\partial_x f)\,P + f\,\partial_x P + (\partial_y f)\,Q + f\,\partial_y Q + (\partial_z f)\,R + f\,\partial_z R\)On regroupe les termes en \(f\) d’une part, et les termes en \(\partial f\) d’autre part :
\(= f\big(\partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R\big) + \big(\partial_x f,\ \partial_y f,\ \partial_z f\big)\cdot(P,Q,R)\)\(= f\,\mathrm{div}\,\vec{F} + \overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f \cdot \vec{F}\). C’est le résultat voulu. ∎
Exercice 5 — Champ magnétique et divergence nulle ★★★
En magnétostatique, le champ \(\vec{B}\) s’écrit \(\vec{B} = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}\) où \(\vec{A}\) est le potentiel vecteur. Justifie sans calcul que \(\mathrm{div}\,\vec{B} = 0\), puis vérifie-le sur \(\vec{A} = (0,\ 0,\ x^2- y^2)\).
Voir la correction de l’exercice 5
Argument théorique. Comme \(\vec{B} = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}\), on a \(\mathrm{div}\,\vec{B} = \mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A}) = 0\) d’après la propriété « la divergence d’un rotationnel est nulle » (valable car \(\vec{A}\) est \(\mathcal{C}^2\)). C’est exactement l’équation de Maxwell-Thomson : il n’existe pas de monopôle magnétique.
Vérification. Avec \(\vec{A} = (0, 0, x^2- y^2)\), donc \(P=0\), \(Q=0\), \(R = x^2- y^2\) :
\(\vec{B} = \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{A} = \big(\partial_y R- \partial_z Q,\ \partial_z P- \partial_x R,\ \partial_x Q- \partial_y P\big) = (-2y,\ -2x,\ 0)\)On calcule alors : \(\mathrm{div}\,\vec{B} = \partial_x(-2y) + \partial_y(-2x) + \partial_z(0) = 0 + 0 + 0 = 0\). Cohérent avec la théorie.
Pour t’entraîner davantage, avec des séries progressives allant jusqu’au type concours, rends-toi sur la page dédiée aux exercices corrigés d’analyse vectorielle.
VI. Pièges classiques
Trois erreurs coûtent le plus de points en copie. Les connaître à l’avance suffit souvent à les éviter.
Piège n°1 — Appliquer le mauvais opérateur au mauvais objet.
Le gradient s’applique à un champ scalaire et donne un vecteur. La divergence et le rotationnel s’appliquent à un champ vectoriel. Écrire \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,f\) pour une fonction scalaire \(f\), ou \(\mathrm{div}\,f\), n’a aucun sens. Vérifie toujours : entrée scalaire ou vectorielle ? sortie attendue scalaire ou vectorielle ?
Piège n°2 — Deux notions portent le nom de « divergence ».
La divergence d’un champ de vecteurs \(\mathrm{div}\,\vec{F}\) n’a rien à voir avec la divergence d’une suite ou d’une série (qui signifie « ne converge pas »). Ce sont deux emplois homonymes d’un même mot français. Ne jamais mélanger les contextes en copie.
Piège n°3 — Utiliser la formule cartésienne en coordonnées curvilignes.
Les formules \(\partial_x Q- \partial_y P\) etc. ne valent QUE en coordonnées cartésiennes. En cylindriques ou sphériques, la base locale \((\vec{e}_r, \vec{e}_\theta, \vec{e}_z)\) n’est pas constante : appliquer la formule cartésienne donne un résultat faux. Les bonnes expressions (avec les facteurs \(1/r\)) sont dans la page opérateurs en coordonnées cylindriques et sphériques.
VII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur ce chapitre, la rigueur se joue sur trois points précis :
- Justifier la régularité avant Schwarz. Pour écrire \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}(\overrightarrow{\mathrm{grad}}\,f) = \vec{0}\), mentionne explicitement que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\). Sans cette hypothèse, l’interversion des dérivées croisées n’est pas justifiée.
- Ne pas confondre condition nécessaire et équivalence. \(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \vec{0}\) n’entraîne l’existence d’un potentiel que sur un ouvert simplement connexe. Sur un domaine troué, la réciproque peut être fausse : signale-le si le domaine n’est pas \(\mathbb{R}^3\) entier.
- Notation impeccable. Flèche sur le rotationnel (vecteur), pas de flèche sur la divergence (scalaire). Un correcteur repère immédiatement une confusion de nature.
B. Au programme de quelle filière ?
L’analyse vectorielle (divergence, rotationnel, gradient) est surtout traitée en cours de physique en prépa ; côté mathématiques, elle apparaît via les formes différentielles, les intégrales curvilignes et les théorèmes intégraux.
| Filière | Traitement |
|---|---|
| MPSI / PCSI (1re année) | Opérateurs introduits en physique (électromagnétisme, mécanique des fluides) ; bases de calcul. |
| MP / PC / PSI (2e année) | Approfondissement physique + lien maths via formes différentielles et Green-Riemann. |
| PC / PSI | Usage intensif en électromagnétisme (équations de Maxwell, identité rot-rot). |
Ces opérateurs prennent tout leur sens quand on les relie aux théorèmes intégraux : le rotationnel intervient dans le théorème de Stokes et la formule de Green-Riemann, qui relient une circulation sur un contour au flux du rotationnel sur une surface.
VIII. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre gradient, divergence et rotationnel ?
Les trois opérateurs se distinguent par la nature de leur entrée et de leur sortie. Le gradient prend un champ scalaire et rend un vecteur (la direction de plus forte pente). La divergence prend un champ de vecteurs et rend un scalaire (l’expansion locale). Le rotationnel prend un champ de vecteurs et rend un vecteur (l’axe et l’intensité de rotation locale).
Le rotationnel s’applique-t-il à une fonction scalaire ?
Non. Le rotationnel et la divergence s’appliquent uniquement à des champs de vecteurs. Pour une fonction scalaire, l’opérateur pertinent est le gradient. Écrire le rotationnel d’un scalaire est une erreur de nature qui est sanctionnée en copie.
Pourquoi la divergence d’un rotationnel est-elle toujours nulle ?
Parce que le calcul fait apparaître chaque dérivée partielle seconde deux fois, avec des signes opposés. Si le champ est de classe C2, le théorème de Schwarz garantit l’égalité des dérivées croisées, si bien que tous les termes s’annulent deux à deux. On obtient donc systématiquement zéro.
Comment savoir si un champ dérive d’un potentiel ?
Une condition nécessaire est que son rotationnel soit nul (le champ est irrotationnel). Sur un ouvert simplement connexe comme R³ entier, cette condition est aussi suffisante : le champ dérive alors d’un potentiel scalaire, que l’on détermine par intégrations successives des composantes.
La divergence d’un champ et la divergence d’une suite, est-ce la même chose ?
Non, ce sont deux notions homonymes sans lien. La divergence d’une suite signifie qu’elle ne converge pas. La divergence d’un champ de vecteurs est un opérateur différentiel mesurant le flux net sortant d’un point. Le mot est identique, le sens totalement différent.
IX. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la divergence, le rotationnel et leurs propriétés. Pour consolider et élargir :
- Tableau de variation d’une fonction
- Calcul de Dérivées (1ère) : Méthode et Exemples
- Changement de Variable dans une Intégrale : Méthode, Exemples Résolus et Exercices
- Continuité d’une Fonction (Tle) : Cours et Méthodes
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