Les racines carrées sont l’un des tout premiers outils de calcul de l’année de Seconde, et surtout l’un des plus piégeux : un radical mal simplifié ou un \(\sqrt{a^2}\) transformé en \(a\) au lieu de \(\vert a\vert\), et c’est le point perdu. Voici 20 exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct aux équations irrationnelles type contrôle. Chaque exercice est corrigé pas à pas, avec la rédaction attendue et les pièges signalés. Commence par les exercices ★, passe aux ★★ dès que tu es à l’aise, et garde les ★★★ pour te tester avant un devoir. Un PDF avec 10 exercices bonus est disponible en fin de page.
Rappel des formules essentielles
Avant de te lancer, garde ces règles sous les yeux. Elles suffisent à résoudre les 20 exercices. Si l’une d’elles te paraît floue, relis d’abord le cours sur la racine carrée.
Définition et propriétés à connaître
- Existence : \(\sqrt{a}\) n’existe que si \(a \geq 0\), et alors \(\sqrt{a} \geq 0\).
- Carré : \((\sqrt{a})^2 = a\) et \(\sqrt{a^2} = \vert a\vert\) (valeur absolue !).
- Produit : \(\sqrt{a}\times\sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a,b \geq 0\).
- Quotient : \(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\) pour \(a \geq 0\) et \(b\) > \(0\).
- Somme (piège) : en général \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
- Conjugué : \((\sqrt{a}-\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b}) = a- b\).
Exercices d’application directe ★
On commence par les automatismes : reconnaître un carré parfait, appliquer les formules de produit et de quotient, encadrer. Rien de piégeux ici, mais c’est le socle de tout le reste.
Exercice 1 — Racines de carrés parfaits ★
Calcule sans calculatrice : \(\sqrt{49}\), \(\sqrt{144}\), \(\sqrt{0{,}25}\) et \(\sqrt{\displaystyle\frac{9}{16}}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On cherche le nombre positif dont le carré donne le nombre sous le radical.
\(\sqrt{49} = 7\) car \(7^2 = 49\).
\(\sqrt{144} = 12\) car \(12^2 = 144\).
\(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\) car \(0{,}5^2 = 0{,}25\).
\(\sqrt{\displaystyle\frac{9}{16}} = \displaystyle\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}} = \displaystyle\frac{3}{4}\).
Résultats : 7 ; 12 ; 0,5 ; 3/4.
Exercice 2 — La formule √(a²) = |a| ★
Écris sans radical : \(\sqrt{(-5)^2}\), \(\sqrt{3^2}\) et \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}\).
Voir la correction de l’exercice 2
La règle est \(\sqrt{a^2} = \vert a\vert\), pas \(a\).
\(\sqrt{(-5)^2} = \vert -5\vert = 5\). Attention : le résultat est positif.
\(\sqrt{3^2} = \vert 3\vert = 3\).
Pour le dernier, il faut connaître le signe de \(2-\sqrt{5}\). Comme \(\sqrt{5} \approx 2{,}24\) > \(2\), le nombre \(2-\sqrt{5}\) est négatif, donc :
\(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2} = \vert 2-\sqrt{5}\vert = \sqrt{5}-2\).
Résultats : 5 ; 3 ; √5 − 2.
Exercice 3 — Produit et quotient de racines ★
Calcule et donne un résultat entier : \(\sqrt{3}\times\sqrt{12}\), \(\sqrt{2}\times\sqrt{8}\) et \(\displaystyle\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}}\).
Voir la correction de l’exercice 3
On regroupe sous un seul radical avant de calculer.
\(\sqrt{3}\times\sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\).
\(\sqrt{2}\times\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).
\(\displaystyle\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\displaystyle\frac{50}{2}} = \sqrt{25} = 5\).
Résultats : 6 ; 4 ; 5.
10 exercices bonus de racines carrées, corrigés pas à pas
Simplifications, conjugué, équations irrationnelles : de quoi t’entraîner jusqu’à automatiser chaque geste avant ton prochain contrôle.
📄 Télécharger les 10 exos bonusCorrections détaillées incluses — format prêt à imprimer.
Exercice 4 — Premières simplifications ★
Écris sous la forme \(a\sqrt{b}\) avec \(b\) le plus petit possible : \(\sqrt{8}\), \(\sqrt{50}\) et \(\sqrt{72}\).
Voir la correction de l’exercice 4
On repère le plus grand carré parfait qui divise le nombre.
\(\sqrt{8} = \sqrt{4\times 2} = \sqrt{4}\times\sqrt{2} = 2\sqrt{2}\).
\(\sqrt{50} = \sqrt{25\times 2} = 5\sqrt{2}\).
\(\sqrt{72} = \sqrt{36\times 2} = 6\sqrt{2}\).
Cette technique est détaillée dans la méthode pour simplifier une racine carrée.
Exercice 5 — Développer un carré ★
Développe et simplifie : \((\sqrt{7})^2\), \((3\sqrt{2})^2\) et \((\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2\).
Voir la correction de l’exercice 5
\((\sqrt{7})^2 = 7\) par définition de la racine carrée.
\((3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times (\sqrt{2})^2 = 9\times 2 = 18\).
\((\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 = 5 + 5 = 10\).
Résultats : 7 ; 18 ; 10.
Exercice 6 — Encadrer une racine ★
Encadre \(\sqrt{30}\) par deux entiers consécutifs, puis \(\sqrt{30}\) à \(0{,}1\) près.
Voir la correction de l’exercice 6
On cherche les carrés parfaits qui encadrent 30 : \(25\) < \(30\) < \(36\), soit \(5^2\) < \(30\) < \(6^2\).
La fonction racine est croissante, donc \(5\) < \(\sqrt{30}\) < \(6\).
Pour l’encadrement à \(0{,}1\) près, on teste : \(5{,}4^2 = 29{,}16\) et \(5{,}5^2 = 30{,}25\). Donc \(5{,}4\) < \(\sqrt{30}\) < \(5{,}5\).
Encadrement : 5 < √30 < 6, puis 5,4 < √30 < 5,5.
Exercice 7 — Existence des racines ★
Parmi ces expressions, lesquelles existent ? \(\sqrt{-9}\), \(\sqrt{(-9)^2}\), \(-\sqrt{9}\), \(\sqrt{0}\).
Voir la correction de l’exercice 7
Une racine carrée n’existe que si ce qu’il y a sous le radical est positif ou nul.
\(\sqrt{-9}\) : n’existe pas dans les réels, car \(-9\) < \(0\).
\(\sqrt{(-9)^2} = \sqrt{81} = 9\) : existe, car \((-9)^2 = 81 \geq 0\).
\(-\sqrt{9} = -3\) : existe (le radicande 9 est positif ; le signe moins est devant).
\(\sqrt{0} = 0\) : existe.
Un seul cas impossible : \(\sqrt{-9}\).
Exercices d’approfondissement ★★
Passons au calcul littéral, au conjugué et à la comparaison de nombres. Ce sont les compétences réellement évaluées dans les contrôles de Seconde.
Exercice 8 — Réduire une somme de radicaux ★★
Réduis : \(A = 3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}- \sqrt{2}\) et \(B = \sqrt{12} + \sqrt{27}\).
Voir la correction de l’exercice 8
On additionne les radicaux de même radicande, comme on ajouterait des « x ».
\(A = (3+5-1)\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\).
Pour B, il faut d’abord simplifier : \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) et \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\).
\(B = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\).
Résultats : A = 7√2 ; B = 5√3.
Exercice 9 — Identités remarquables avec radicaux ★★
Développe et réduis : \(C = (\sqrt{3}+2)^2\) et \(D = (1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})\).
Voir la correction de l’exercice 9
On applique \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :
\(C = (\sqrt{3})^2 + 2\times\sqrt{3}\times 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}\).
Pour D, on reconnaît \((a-b)(a+b) = a^2- b^2\) :
\(D = 1^2- (\sqrt{5})^2 = 1- 5 = -4\).
Le résultat de D est un entier : c’est tout l’intérêt du conjugué.
Exercice 10 — Rationaliser un dénominateur ★★
Écris sans radical au dénominateur : \(E = \displaystyle\frac{6}{\sqrt{3}}\) et \(F = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}-2}\).
Voir la correction de l’exercice 10
Pour E, on multiplie haut et bas par \(\sqrt{3}\) :
\(E = \displaystyle\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}} = \displaystyle\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\).
Pour F, on multiplie par l’expression conjuguée du dénominateur, \(\sqrt{5}+2\) :
\(F = \displaystyle\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)} = \displaystyle\frac{\sqrt{5}+2}{5-4} = \sqrt{5}+2\).
Résultats : E = 2√3 ; F = √5 + 2.
Exercice 11 — Comparer deux nombres ★★
Compare, sans calculatrice : \(3\sqrt{2}\) et \(2\sqrt{5}\).
Voir la correction de l’exercice 11
Deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés. On compare donc les carrés.
\((3\sqrt{2})^2 = 9\times 2 = 18\).
\((2\sqrt{5})^2 = 4\times 5 = 20\).
Comme \(18\) < \(20\) et que les deux nombres sont positifs, on conclut :
\(3\sqrt{2}\) < \(2\sqrt{5}\).
3√2 est le plus petit.
Exercice 12 — Ensemble de définition ★★
Détermine l’ensemble des réels \(x\) pour lesquels \(\sqrt{2x-6}\) existe.
Voir la correction de l’exercice 12
Le radical existe si et seulement si ce qui est dessous est positif ou nul :
\(2x- 6 \geq 0\)\(2x \geq 6\) donc \(x \geq 3\).
L’expression est définie pour \(x \in [3\,;\,+\infty[\).
Cette condition d’existence est le point de départ de toute étude de fonction irrationnelle.
Exercice 13 — Un calcul littéral complet ★★
On pose \(G = (2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)^2\). Écris G sous forme \(a + b\sqrt{3}\).
Voir la correction de l’exercice 13
Premier terme, différence de deux carrés :
\((2\sqrt{3}-1)(2\sqrt{3}+1) = (2\sqrt{3})^2- 1^2 = 12- 1 = 11\).
Second terme, carré :
\((\sqrt{3}-1)^2 = 3- 2\sqrt{3} + 1 = 4- 2\sqrt{3}\).
On additionne : \(G = 11 + 4- 2\sqrt{3} = 15- 2\sqrt{3}\).
G = 15 − 2√3.
Exercice 14 — Résoudre x² = a ★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(x^2 = 7\), \(x^2 = -4\) et \(x^2 = 0\).
Voir la correction de l’exercice 14
Pour \(a\) > \(0\), l’équation \(x^2 = a\) a deux solutions : \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).
\(x^2 = 7 \Longrightarrow x = \sqrt{7}\) ou \(x = -\sqrt{7}\). Solutions : \(\{-\sqrt{7}\,;\,\sqrt{7}\}\).
\(x^2 = -4\) : un carré est toujours positif, donc aucune solution, \(S = \emptyset\).
\(x^2 = 0 \Longrightarrow x = 0\). Une seule solution.
Exercice 15 — Vrai ou faux (raisonnement) ★★
Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse et justifie : (a) \(\sqrt{9+16} = \sqrt{9}+\sqrt{16}\) ; (b) \(\sqrt{a^2}=a\) pour tout réel \(a\) ; (c) \(\sqrt{4}\times\sqrt{25}=\sqrt{100}\).
Voir la correction de l’exercice 15
(a) Faux. \(\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\) mais \(\sqrt{9}+\sqrt{16}=3+4=7\). C’est le grand piège de la somme : la racine ne se distribue pas.
(b) Faux. La formule correcte est \(\sqrt{a^2}=\vert a\vert\). Contre-exemple : pour \(a=-3\), \(\sqrt{(-3)^2}=3 \neq -3\).
(c) Vrai. \(\sqrt{4}\times\sqrt{25}=2\times 5=10=\sqrt{100}\). Le produit, lui, se distribue.
Exercices de synthèse type contrôle ★★★
Voici enfin les exercices qui tombent réellement en devoir : équations irrationnelles, démonstration et problème géométrique. Ils combinent plusieurs compétences des sections précédentes.
Exercice 16 — Équation irrationnelle ★★★
Résous dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{2x+3} = x\).
Voir la correction de l’exercice 16
Conditions. Le radical impose \(2x+3 \geq 0\), soit \(x \geq -\displaystyle\frac{3}{2}\). De plus, \(\sqrt{2x+3} \geq 0\) donc on a besoin de \(x \geq 0\).
Élévation au carré (les deux membres sont positifs) :
\(2x+3 = x^2\) donc \(x^2- 2x- 3 = 0\).
On factorise : \((x-3)(x+1) = 0\), d’où \(x = 3\) ou \(x = -1\).
Vérification (étape obligatoire !). \(x=-1\) < \(0\) : rejetée. Pour \(x=3\) : \(\sqrt{2\times 3+3}=\sqrt{9}=3\) ✓.
Solution : \(S = \{3\}\). La méthode complète est détaillée sur la page équations irrationnelles.
Exercice 17 — Longueur dans un triangle rectangle ★★★
Un triangle rectangle a pour côtés de l’angle droit \(6\) cm et \(3\) cm. Donne la longueur exacte simplifiée de l’hypoténuse, puis sa valeur arrondie au mm.
Voir la correction de l’exercice 17
D’après le théorème de Pythagore, l’hypoténuse \(h\) vérifie :
\(h^2 = 6^2 + 3^2 = 36 + 9 = 45\).
Comme \(h\) > \(0\), \(h = \sqrt{45}\). On simplifie :
\(h = \sqrt{9\times 5} = 3\sqrt{5}\) cm.
Valeur approchée : \(3\sqrt{5} \approx 6{,}708\), soit environ 6,7 cm.
Exercice 18 — Démonstration de √(a²) = |a| ★★★
On veut justifier la formule \(\sqrt{a^2} = \vert a\vert\). Traite les deux cas : \(a \geq 0\), puis \(a\) < \(0\).
Voir la correction de l’exercice 18
Par définition, \(\sqrt{a^2}\) est le nombre positif dont le carré vaut \(a^2\).
Cas 1 : \(a \geq 0\). Alors \(a\) est positif et \(a^2 = a^2\) : le nombre positif cherché est \(a\) lui-même. Donc \(\sqrt{a^2} = a = \vert a\vert\).
Cas 2 : \(a\) < \(0\). Alors \(-a\) est positif et \((-a)^2 = a^2\) : le nombre positif cherché est \(-a\). Donc \(\sqrt{a^2} = -a = \vert a\vert\).
Dans les deux cas, \(\sqrt{a^2} = \vert a\vert\). ∎
Exercice 19 — Inéquation irrationnelle ★★★
Résous \(\sqrt{x-1} \geq 2\).
Voir la correction de l’exercice 19
Condition d’existence : \(x- 1 \geq 0\), soit \(x \geq 1\).
Les deux membres sont positifs, on peut élever au carré sans changer le sens :
\(x- 1 \geq 4\) donc \(x \geq 5\).
Cette condition \(x \geq 5\) est plus forte que \(x \geq 1\), elle contient déjà la condition d’existence.
Solution : \(S = [5\,;\,+\infty[\).
Exercice 20 — Un problème de synthèse ★★★
On pose \(x = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) et \(y = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\). Calcule \(x+y\) et \(x\times y\).
Voir la correction de l’exercice 20
On rationalise chaque fraction par le conjugué. Le dénominateur commun est \((\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 3- 2 = 1\).
\(x = \displaystyle\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}+\sqrt{2}\) et \(y = \displaystyle\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{1} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Somme : \(x+y = 2\sqrt{3}\).
Produit : \(x\times y = (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = 3- 2 = 1\).
Résultats : x + y = 2√3 et xy = 1.
Erreurs fréquentes et pièges classiques
La plupart des points perdus sur ce chapitre viennent de trois réflexes automatiques mais faux. Repère-les maintenant, ils reviendront à chaque devoir.
Piège n°1 — La racine d’une somme. ❌ Copie fautive : \(\sqrt{a+b} = \sqrt{a}+\sqrt{b}\).
Diagnostic : la formule du produit \(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}\) est vraie, alors l’élève l’applique aussi à la somme.
✅ Correction : \(\sqrt{a+b}\) ne se simplifie pas en général. Vérifie avec \(\sqrt{9+16}=5 \neq 3+4\).
Piège n°2 — Oublier la valeur absolue. ❌ Copie fautive : \(\sqrt{a^2}=a\).
Diagnostic : vrai seulement si \(a \geq 0\). Si \(a\) peut être négatif, le résultat serait faux.
✅ Correction : \(\sqrt{a^2}=\vert a\vert\). Écris toujours la valeur absolue tant que tu ne connais pas le signe de \(a\).
Piège n°3 — Ne pas vérifier les solutions d’une équation irrationnelle. Élever au carré peut créer des solutions parasites (comme \(x=-1\) à l’exercice 16). La vérification dans l’équation de départ est une étape à part entière du raisonnement, pas une option.
Questions fréquentes
Comment calculer les racines carrées en seconde ?
En Seconde, on distingue deux gestes. Calculer une racine, c’est en donner une valeur (exacte si le nombre est un carré parfait comme \(\sqrt{49}=7\), approchée sinon par encadrement). Simplifier, c’est réécrire un radical sous la forme \(a\sqrt{b}\), par exemple \(\sqrt{50}=5\sqrt{2}\). Pour les valeurs approchées sans calculatrice, la page calculer une racine carrée sans calculatrice détaille toutes les méthodes.
Quelle est la différence entre simplifier et calculer une racine carrée ?
Simplifier donne un résultat exact et algébrique : \(\sqrt{72}=6\sqrt{2}\). Calculer donne une valeur numérique, souvent approchée : \(\sqrt{72}\approx 8{,}49\). En contrôle, on demande presque toujours la forme simplifiée exacte, sauf mention explicite « valeur approchée ». Ne mélange jamais les deux dans une même réponse.
Quelle est l’astuce pour calculer rapidement une racine carrée ?
Apprends par cœur les carrés parfaits de 1 à 15 : dès que tu reconnais un carré ou un multiple d’un carré sous le radical, la simplification est immédiate. Pour encadrer une racine non entière comme \(\sqrt{30}\), repère les deux carrés parfaits voisins (\(25\) et \(36\)) : tu obtiens \(5\) < \(\sqrt{30}\) < \(6\) en quelques secondes.
Peut-on prendre la racine carrée d’un nombre négatif ?
Non, pas en Seconde. La racine carrée n’est définie que pour un nombre positif ou nul : \(\sqrt{-9}\) n’existe pas dans les réels. Attention à ne pas confondre avec \(\sqrt{(-9)^2}=\sqrt{81}=9\), qui existe car le radicande vaut 81. Les racines de nombres négatifs apparaîtront plus tard avec les nombres complexes.
Où trouver des exercices corrigés de racines carrées pour la 3ème en PDF ?
Si tu cherches un niveau collège (calcul avec radicaux, lien avec Pythagore, carrés parfaits), la page dédiée 15 exercices corrigés sur les racines carrées en 4ème et 3ème propose des exercices plus progressifs, avec un PDF téléchargeable adapté au brevet.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul avec les racines carrées en Seconde. Pour consolider et prolonger :
- Fonctions Carré, Cube, Racine Carrée (Seconde) : Cours
- Les racines d’un polynôme : multiplicité, relations coefficients-racines et méthodes
- Tableau des primitives usuelles : formules et exemples d’application
- Théorème Fondamental de l’Arithmétique : Cours, Démonstration et Exercices Corrigés
Tu veux progresser plus vite et sécuriser tes points en Seconde ? Découvre les cours particuliers de maths en Seconde d’Excellence Maths.
