Tu cherches des exercices de racines carrées pour la 4ème ou la 3ème ? Tu es au bon endroit. Voici 15 exercices classés par difficulté croissante, du calcul de base jusqu’aux problèmes type brevet. Chaque exercice est corrigé pas à pas : tu cliques sur « Voir la correction » seulement après avoir cherché par toi-même, c’est comme ça qu’on progresse vraiment. Tu trouveras aussi un rappel express des formules, les pièges classiques à éviter, et un PDF gratuit pour t’entraîner encore plus. La racine carrée est au programme officiel de 3ème, mais elle apparaît dès la 4ème avec le théorème de Pythagore : on couvre les deux.
Les formules à connaître avant de commencer
Avant de te lancer dans les exercices, voici les règles indispensables. Garde ce petit mémo sous les yeux pour les premiers exercices, puis essaie de t’en passer.
Définition — La racine carrée
La racine carrée d’un nombre positif \(a\), notée \(\sqrt{a}\), est le nombre positif dont le carré vaut \(a\). Par exemple \(\sqrt{49} = 7\) car \(7^2 = 49\).
Les propriétés à retenir (pour \(a\) positif et \(b\) strictement positif au dénominateur) :
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Carré d’une racine | \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) | \(\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5\) |
| Racine d’un carré | \(\sqrt{a^2} = a\) | \(\sqrt{6^2} = 6\) |
| Produit | \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\) | \(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\) |
| Quotient | \(\displaystyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\displaystyle\frac{a}{b}}\) | \(\displaystyle\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{4} = 2\) |
Le piège n°1 : il n’existe aucune règle pour la somme. \(\sqrt{a+b}\) n’est pas égal à \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\). C’est l’erreur la plus fréquente au brevet, on y revient à la fin de la page.
Il te faut aussi connaître par cœur tes carrés parfaits : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100… Ce sont eux qui donnent des racines « rondes ». Prêt ? On commence doucement.
Exercices d’application directe ★
Ces six premiers exercices te font manipuler la définition et les règles de base. Objectif : prendre confiance et ancrer les automatismes.
Exercice 1 — Racines de carrés parfaits ★
Calcule sans calculatrice : \(\sqrt{64}\), \(\sqrt{81}\), \(\sqrt{144}\), \(\sqrt{1}\) et \(\sqrt{0}\).
Voir la correction de l’exercice 1
On cherche à chaque fois le nombre positif dont le carré donne le nombre sous la racine.
\(\sqrt{64} = 8\) car \(8^2 = 64\).
\(\sqrt{81} = 9\) car \(9^2 = 81\).
\(\sqrt{144} = 12\) car \(12^2 = 144\).
\(\sqrt{1} = 1\) et \(\sqrt{0} = 0\).
Astuce : apprends tes carrés parfaits jusqu’à 15, ça te fait gagner un temps fou.
Exercice 2 — Encadrer une racine ★
Le nombre \(\sqrt{50}\) n’est pas entier. Trouve les deux entiers consécutifs entre lesquels il se situe.
Voir la correction de l’exercice 2
On cherche les carrés parfaits qui encadrent 50. Le plus proche en dessous est \(49 = 7^2\), le plus proche au-dessus est \(64 = 8^2\).
Comme \(49\) < \(50\) < \(64\), on en déduit :
\(\sqrt{49}\) < \(\sqrt{50}\) < \(\sqrt{64}\)
Donc \(7\) < \(\sqrt{50}\) < \(8\). La racine de 50 est comprise entre 7 et 8.
Exercice 3 — Résoudre une équation carrée ★
Trouve tous les nombres \(x\) tels que \(x^2 = 49\), puis tous ceux tels que \(x^2 = 100\).
Voir la correction de l’exercice 3
Attention, un carré peut venir d’un nombre positif ou négatif. Il y a donc deux solutions à chaque fois.
\(x^2 = 49\) a pour solutions \(x = 7\) et \(x = -7\), car \(7^2 = 49\) et \((-7)^2 = 49\).
\(x^2 = 100\) a pour solutions \(x = 10\) et \(x = -10\).
À retenir : \(\sqrt{49}\) vaut uniquement \(7\) (racine = positive), mais l’équation \(x^2 = 49\) a deux solutions.
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Exercice 4 — Carré d’une racine ★
Calcule \(\left(\sqrt{7}\right)^2\), \(\left(\sqrt{13}\right)^2\) et \(\left(\sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2\).
Voir la correction de l’exercice 4
On utilise la règle \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) : le carré et la racine s’annulent.
\(\left(\sqrt{7}\right)^2 = 7\) et \(\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13\).
\(\left(\sqrt{2}\right)^2 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 2 + 3 = 5\).
Pas besoin de calculatrice : c’est direct.
Exercice 5 — Produit de racines ★
Calcule \(\sqrt{2} \times \sqrt{8}\) et \(\sqrt{3} \times \sqrt{12}\).
Voir la correction de l’exercice 5
On regroupe sous une seule racine avec la règle \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}\).
\(\sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\).
\(\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{36} = 6\).
Le réflexe gagnant : quand le produit tombe sur un carré parfait, le résultat est un entier.
Exercice 6 — Vrai ou faux (raisonnement) ★
Un élève écrit : « \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{9} + \sqrt{16}\) ». A-t-il raison ? Justifie en calculant les deux côtés.
Voir la correction de l’exercice 6
Calculons chaque côté séparément.
Côté gauche : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
Côté droit : \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\).
On trouve \(5\) d’un côté et \(7\) de l’autre : ils ne sont pas égaux.
Conclusion : l’élève a tort. La racine d’une somme n’est jamais la somme des racines.
Exercices d’approfondissement ★★
Tu maîtrises les bases ? Passons à la vitesse supérieure avec la simplification et la comparaison. Ces techniques reviennent constamment en 3ème et en Seconde.
Exercice 7 — Simplifier une racine ★★
Écris \(\sqrt{50}\) et \(\sqrt{72}\) sous la forme la plus simple possible.
Voir la correction de l’exercice 7
L’idée : repérer le plus grand carré parfait qui divise le nombre, puis « le sortir » de la racine.
\(50 = 25 \times 2\), donc \(\sqrt{50} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}\).
\(72 = 36 \times 2\), donc \(\sqrt{72} = \sqrt{36} \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Pour aller plus loin, retrouve toute la méthode sur simplifier une racine carrée.
Exercice 8 — Forme a√b ★★
Écris \(\sqrt{200}\) sous la forme \(a\sqrt{b}\), où \(b\) est le plus petit possible.
Voir la correction de l’exercice 8
On cherche le plus grand carré parfait qui divise 200. C’est \(100\).
\(200 = 100 \times 2\), donc \(\sqrt{200} = \sqrt{100} \times \sqrt{2} = 10\sqrt{2}\).
Vérification maligne : avec l’exercice 7, \(10\sqrt{2}\) est bien deux fois \(5\sqrt{2} = \sqrt{50}\), et \(200 = 4 \times 50\). Tout colle.
Exercice 9 — Racine d’un quotient ★★
Calcule \(\sqrt{\displaystyle\frac{36}{25}}\) et \(\displaystyle\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}}\).
Voir la correction de l’exercice 9
Pour le premier, la racine d’un quotient est le quotient des racines :
\(\sqrt{\displaystyle\frac{36}{25}} = \displaystyle\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{25}} = \displaystyle\frac{6}{5}\).
Pour le second, on regroupe sous une seule racine :
\(\displaystyle\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\displaystyle\frac{48}{3}} = \sqrt{16} = 4\).
Exercice 10 — Calculer une expression ★★
Calcule la valeur exacte de \(A = \left(\sqrt{5}\right)^2 + \sqrt{16}- \sqrt{9}\).
Voir la correction de l’exercice 10
On traite chaque terme un par un.
\(\left(\sqrt{5}\right)^2 = 5\), \(\sqrt{16} = 4\) et \(\sqrt{9} = 3\).
Donc \(A = 5 + 4- 3 = 6\).
Résultat : \(A = 6\).
Exercice 11 — Comparer deux nombres ★★
Range dans l’ordre croissant \(3\sqrt{2}\) et \(2\sqrt{5}\). (Indice : compare leurs carrés.)
Voir la correction de l’exercice 11
Ces deux nombres sont positifs. Comparer deux nombres positifs revient à comparer leurs carrés.
\(\left(3\sqrt{2}\right)^2 = 9 \times 2 = 18\).
\(\left(2\sqrt{5}\right)^2 = 4 \times 5 = 20\).
Comme \(18\) < \(20\), on a \(3\sqrt{2}\) < \(2\sqrt{5}\).
Ordre croissant : \(3\sqrt{2}\) puis \(2\sqrt{5}\).
Exercices de synthèse et type brevet ★★★
Voici les exercices qui ressemblent à ceux du brevet : plusieurs étapes, un peu de calcul littéral et un raisonnement à mener jusqu’au bout.
Exercice 12 — Une identité remarquable ★★★
Développe et simplifie \(B = (1 + \sqrt{2})(1- \sqrt{2})\).
Voir la correction de l’exercice 12
On reconnaît l’identité \((a- b)(a + b) = a^2- b^2\) avec \(a = 1\) et \(b = \sqrt{2}\).
\(B = 1^2- \left(\sqrt{2}\right)^2 = 1- 2 = -1\).
Résultat : \(B = -1\). Ce type de calcul revient très souvent au brevet et prépare l’expression conjuguée vue au lycée.
Exercice 13 — Somme de racines à simplifier ★★★
Écris le plus simplement possible \(C = \sqrt{75}- \sqrt{12} + \sqrt{27}\).
Voir la correction de l’exercice 13
On simplifie chaque racine pour faire apparaître \(\sqrt{3}\).
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3}\).
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\).
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\).
On peut maintenant additionner car toutes les racines sont des \(\sqrt{3}\) :
\(C = 5\sqrt{3}- 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).
Résultat : \(C = 6\sqrt{3}\).
Exercice 14 — Le côté d’un carré ★★★
Un carré a une aire de \(50\) cm². Donne la longueur exacte de son côté, puis une valeur arrondie au dixième.
Voir la correction de l’exercice 14
L’aire d’un carré de côté \(c\) vaut \(c^2\). On cherche donc \(c\) tel que \(c^2 = 50\).
Une longueur est positive, donc on garde la seule solution positive : \(c = \sqrt{50}\).
On simplifie : \(c = 5\sqrt{2}\) cm (valeur exacte).
À la calculatrice, \(5\sqrt{2} \approx 7{,}1\) cm (arrondi au dixième).
Racines carrées et théorème de Pythagore (4ème)
Si tu es en 4ème, tu croises les racines carrées surtout avec le théorème de Pythagore : dès qu’un côté d’un triangle rectangle n’est pas « rond », il s’écrit avec une racine. Voici l’exercice qui fait le lien.
Exercice 15 — Calculer une hypoténuse ★★★
Un triangle est rectangle. Les deux côtés de l’angle droit mesurent \(6\) cm et \(8\) cm. Calcule la longueur de l’hypoténuse.
Voir la correction de l’exercice 15
D’après le théorème de Pythagore, le carré de l’hypoténuse \(h\) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\(h^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\).
La longueur est positive, donc \(h = \sqrt{100} = 10\).
L’hypoténuse mesure 10 cm. Ici la racine tombe juste ; avec des côtés de 3 cm et 4 cm on aurait trouvé \(h = \sqrt{25} = 5\) cm, mais avec 2 cm et 3 cm on obtiendrait \(h = \sqrt{13}\) cm, qui reste sous forme de racine.
Erreurs fréquentes et pièges classiques
Ces erreurs coûtent des points inutilement au contrôle et au brevet. Repère-les une bonne fois pour toutes.
❌ Copie fautive : « \(\sqrt{9 + 16} = 3 + 4 = 7\) »
Diagnostic : l’élève a « distribué » la racine sur la somme, ce qui est interdit.
✅ Correction : on calcule d’abord la somme sous la racine : \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\).
❌ Copie fautive : « \(x^2 = 36\) donc \(x = 6\) »
Diagnostic : l’élève a oublié la solution négative.
✅ Correction : \(x = 6\) ou \(x = -6\). Une équation \(x^2 = a\) a deux solutions si \(a\) > \(0\), une seule (\(x = 0\)) si \(a = 0\), et aucune si \(a\) < \(0\) : un carré n’est jamais négatif.
Ne confonds pas deux choses : \(\sqrt{36} = 6\) (une racine est toujours positive), mais l’équation \(x^2 = 36\) a deux solutions, \(6\) et \(-6\). C’est le piège préféré des correcteurs.
❌ Copie fautive : « \(\sqrt{50} = 5\sqrt{10}\) »
Diagnostic : l’élève a sorti \(5\) mais a gardé un \(10\) faux : \(5^2 \times 10 = 250\) \(\neq 50\).
✅ Correction : \(50 = 25 \times 2\), donc \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). Vérifie toujours : \(5^2 \times 2 = 50\) ✓.
Questions fréquentes
La racine carrée est-elle au programme de 4ème ou de 3ème ?
La racine carrée en tant que chapitre est au programme officiel de 3ème. En 4ème, tu la rencontres seulement quand tu calcules une longueur avec le théorème de Pythagore. C’est pourquoi cette page couvre les deux niveaux : les exercices de calcul et de simplification sont surtout de la 3ème, et le lien avec Pythagore concerne la 4ème.
Comment calculer une racine carrée sans calculatrice ?
Pour un carré parfait, tu retrouves le nombre par cœur : \(\sqrt{64} = 8\). Pour les autres, tu encadres entre deux entiers (exercice 2) ou tu simplifies avec un carré parfait (exercice 7). Il existe aussi des méthodes plus poussées : découvre-les sur calculer une racine carrée.
Quelle est la différence entre le carré et la racine carrée ?
Ce sont deux opérations inverses. Le carré multiplie un nombre par lui-même : \(7^2 = 49\). La racine carrée fait l’opération contraire : \(\sqrt{49} = 7\). Élever au carré puis prendre la racine te ramène (pour un nombre positif) au point de départ.
Pourquoi racine de 2 n’a pas de valeur exacte en décimale ?
Parce que \(\sqrt{2}\) est un nombre « irrationnel » : ses décimales ne s’arrêtent jamais et ne se répètent jamais. On garde donc l’écriture \(\sqrt{2}\) comme valeur exacte. Pour comprendre pourquoi, va voir racine carrée de 2.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les racines carrées au collège. Pour continuer à progresser :
- Fonctions Carré, Cube, Racine Carrée (Seconde) : Cours
- Le théorème de Pythagore : cours complet, formule et exemples
- Le calcul mental : techniques, entraînement et exercices du CP à la 3e
- Comment Factoriser une Expression (3ème) : Méthodes
- Au lycée, les racines carrées reviennent avec les ensembles de nombres et les nombres irrationnels : entraîne-toi avec 20 Exercices Corrigés sur les Ensembles de Nombres (Seconde).
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