Une roue de vélo, une pizza, le cadran d’une horloge… les cercles sont partout. Mais sais-tu calculer la longueur exacte de leur contour ? C’est ce qu’on appelle le périmètre d’un cercle, et une seule formule suffit pour le trouver. Dans ce cours de 6ème, tu vas comprendre d’où vient cette formule, apprendre à l’appliquer sans te tromper entre le rayon et le diamètre, et t’entraîner sur des exercices corrigés pas à pas.
I. Le périmètre d’un cercle : la circonférence
Le périmètre d’un cercle correspond à la longueur de son contour, c’est-à-dire la distance parcourue si tu fais tout le tour du cercle. On lui donne un nom spécial : la circonférence. Comme toute longueur, il se mesure en centimètres (cm), en mètres (m) ou en kilomètres (km).
Définition — Périmètre d’un cercle
Le périmètre d’un cercle, aussi appelé circonférence, est la longueur de son contour : c’est la distance qu’on parcourt en faisant un tour complet du cercle.
A. Rayon et diamètre : deux mots à ne pas confondre
Avant de calculer, tu dois bien distinguer deux longueurs qui reviennent tout le temps :
- Le rayon \(r\) : la distance qui va du centre du cercle jusqu’à son bord.
- Le diamètre \(d\) : la distance d’un bord à l’autre en passant par le centre.
Le diamètre vaut toujours le double du rayon. Cette relation est indispensable pour la suite :
\(d = 2 \times r\) et donc \(r = \displaystyle\frac{d}{2}\)
Par exemple, un cercle de rayon 5 cm a un diamètre de 10 cm. Un cercle de diamètre 14 cm a un rayon de 7 cm.
II. La formule du périmètre d’un cercle
Pour trouver le périmètre d’un cercle, on ne mesure pas le contour avec une règle : on utilise une formule. Elle s’écrit avec le rayon et un nombre très célèbre, le nombre \(\pi\) (« pi »).
Formule — Périmètre d’un cercle
Si un cercle a pour rayon \(r\) et pour diamètre \(d\), son périmètre \(P\) est :
\(P = 2 \times \pi \times r\) ou de façon équivalente \(P = \pi \times d\)
Les deux formules donnent le même résultat, puisque \(d = 2r\). Tu utilises \(2 \pi r\) quand on te donne le rayon, et \(\pi d\) quand on te donne le diamètre. C’est aussi simple que ça.
A. Le nombre π
Le nombre \(\pi\) est le même pour tous les cercles du monde : il indique combien de fois le diamètre « rentre » dans le contour. On trouve toujours un peu plus de 3 fois. Sa valeur exacte a une infinité de chiffres après la virgule, on l’arrondit donc :
\(\pi \approx 3{,}14\)Comment retenir : pour n’importe quel cercle, contour = diamètre × 3,14 (environ). Un cercle est donc un peu plus de 3 fois plus long à faire tourner qu’à traverser. La touche π de ta calculatrice donne une valeur plus précise que 3,14 : utilise-la quand on te le demande.
Le formulaire des aires, périmètres et volumes — 2 pages
Les formules et les unités dans une fiche recto-verso, avec les longueurs et les hauteurs à utiliser.
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III. Comment calculer le périmètre d’un cercle en 3 étapes
Pour calculer le périmètre d’un cercle, applique toujours la même méthode. Elle évite les erreurs les plus courantes.
- Repère ce qu’on te donne : est-ce le rayon ou le diamètre ? Choisis la bonne formule (\(2 \pi r\) pour le rayon, \(\pi d\) pour le diamètre).
- Remplace et calcule avec \(\pi \approx 3{,}14\) (ou la touche π).
- Écris le résultat avec la bonne unité (cm, m…) et arrondis si nécessaire.
Exemple 1 : Un cercle a un rayon de 6 cm. Quel est son périmètre ?
On connaît le rayon, on utilise \(P = 2 \pi r\) :
\(P \approx 2 \times 3{,}14 \times 6 = 37{,}68\) cm
Le périmètre vaut environ 37,68 cm.
Exemple 2 : Une assiette a un diamètre de 24 cm. Quelle est sa circonférence ?
On connaît le diamètre, on utilise \(P = \pi d\) :
\(P \approx 3{,}14 \times 24 = 75{,}36\) cm
La circonférence vaut environ 75,36 cm.
Si on t’annonce un diamètre mais que tu préfères la formule \(2 \pi r\), commence par diviser le diamètre par 2 pour retrouver le rayon. Les deux chemins mènent au même résultat.
IV. Retrouver le rayon ou le diamètre à partir du périmètre
Parfois, on connaît le périmètre et on cherche le rayon (par exemple : quelle est la taille d’un cercle dont le contour mesure 62,8 cm ?). On « remonte » alors la formule à l’envers en divisant.
À l’envers : puisque \(P = 2 \pi r\), on obtient :
\(r = \displaystyle\frac{P}{2 \pi}\) et \(d = \displaystyle\frac{P}{\pi}\)
Exemple : Le contour d’un rond-point mesure 62,8 m. Quel est son rayon approché ?
\(r \approx \displaystyle\frac{62{,}8}{2 \times 3{,}14} = \displaystyle\frac{62{,}8}{6{,}28} = 10\) m
Le rayon du rond-point est de 10 m.
V. Exercices corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice sur ton cahier avant d’ouvrir la correction. Utilise \(\pi \approx 3{,}14\) sauf indication contraire.
Exercice 1 — Périmètre avec le rayon ★
Calcule le périmètre d’un cercle de rayon 5 cm.
Voir la correction de l’exercice 1
On connaît le rayon, on utilise \(P = 2 \pi r\) :
\(P \approx 2 \times 3{,}14 \times 5 = 31{,}4\) cm
Le périmètre vaut environ 31,4 cm.
Exercice 2 — Périmètre avec le diamètre ★
Une pièce de monnaie a un diamètre de 2 cm. Quelle est sa circonférence ?
Voir la correction de l’exercice 2
On connaît le diamètre, on utilise \(P = \pi d\) :
\(P \approx 3{,}14 \times 2 = 6{,}28\) cm
La circonférence vaut environ 6,28 cm.
Exercice 3 — Retrouver le rayon ★★
Le périmètre d’un cercle mesure 43,96 cm. Quel est son rayon approché ?
Voir la correction de l’exercice 3
On part de \(P = 2 \pi r\) et on divise :
\(r \approx \displaystyle\frac{43{,}96}{2 \times 3{,}14} = \displaystyle\frac{43{,}96}{6{,}28} = 7\) cm
Le rayon vaut 7 cm.
Exercice 4 — La roue de vélo ★★
Une roue de vélo a un rayon de 35 cm. Combien de mètres parcourt le vélo lorsque la roue fait exactement 10 tours complets, sans glisser ?
Voir la correction de l’exercice 4
En un tour, le vélo avance de la longueur du contour de la roue, c’est-à-dire son périmètre :
\(P \approx 2 \times 3{,}14 \times 35 = 219{,}8\) cm
Pour 10 tours, on multiplie par 10 :
\(10 \times 219{,}8 = 2198\) cm
Il faut convertir en mètres : \(2198\) cm \(= 21{,}98\) m.
Le vélo parcourt environ 21,98 m.
Exercice 5 — Le carré ou le cercle ? ★★★
On compare deux figures : un carré de côté 10 cm et un cercle de diamètre 10 cm. Sans calculer, dis lequel a le plus grand périmètre. Vérifie ensuite par le calcul.
Voir la correction de l’exercice 5
Raisonnement : le carré a pour périmètre \(4\times10\) et le cercle \(\pi\times10\). Comme \(\pi\lt4\), le cercle a le plus petit périmètre. La seule impression visuelle ne suffit pas à le justifier.
Périmètre du carré : \(4 \times 10 = 40\) cm.
Périmètre du cercle : \(P = \pi \times 10 \approx 3{,}14 \times 10 = 31{,}4\) cm.
Comme 31,4 cm < 40 cm, c’est bien le carré qui a le plus grand périmètre. L’intuition était juste. Pour t’entraîner sur les côtés droits, révise aussi le périmètre du rectangle et du carré.
VI. Les erreurs les plus fréquentes
Trois erreurs reviennent sans cesse sur le périmètre du cercle. Les connaître, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — Confondre rayon et diamètre. On te donne un diamètre de 10 cm et tu écris \(P \approx 2 \times 3{,}14 \times 10\) : c’est faux, tu as compté le diamètre comme un rayon. Avec un diamètre, la formule est \(P = \pi d \approx 3{,}14 \times 10\). Vérifie toujours ce qu’on te donne avant de choisir ta formule.
Erreur n°2 — Utiliser la formule de l’aire. Le périmètre, c’est \(2 \pi r\) ; l’aire du disque, c’est \(\pi r^2\). Ce sont deux calculs différents ! Le périmètre est une longueur (en cm), l’aire est une surface (en cm²). Pour tout savoir sur l’autre, va voir l’aire d’un disque.
Erreur n°3 — Se tromper d’unité. Un périmètre se donne toujours en unité de longueur : cm, m, km… jamais en cm². Le cm² est réservé aux aires. Pense aussi à convertir si l’énoncé mélange les unités (voir la conversion d’unités de mesure).
VII. Questions fréquentes
Quel est le périmètre d’un cercle de 10 cm ?
Tout dépend de ce que représentent ces 10 cm. Si c’est le rayon : \(P \approx 2 \times 3{,}14 \times 10 = 62{,}8\) cm. Si c’est le diamètre : \(P \approx 3{,}14 \times 10 = 31{,}4\) cm. Lis bien l’énoncé pour savoir de quelle longueur on parle.
Comment calculer le diamètre et la circonférence d’un cercle ?
La circonférence (le périmètre) se calcule avec \(P = \pi d\) à partir du diamètre. À l’inverse, si tu connais la circonférence, tu retrouves le diamètre en divisant : \(d = \displaystyle\frac{P}{\pi}\). Et le rayon est toujours la moitié du diamètre : \(r = \displaystyle\frac{d}{2}\).
Peut-on donner un périmètre de cercle en cm² ?
Non. Le cm² (centimètre carré) est l’unité d’une aire, c’est-à-dire d’une surface. Un périmètre est une longueur : il se donne en cm, m ou km. Si on te demande une réponse en cm², c’est qu’on cherche en réalité l’aire du disque, avec la formule \(\pi r^2\).
Quelle est la différence entre le périmètre et l’aire d’un cercle ?
Le périmètre mesure la longueur du contour du cercle : \(P = 2 \pi r\), en cm. L’aire du disque mesure la surface à l’intérieur : \(A = \pi r^2\), en cm². Le périmètre, c’est le tour ; l’aire, c’est l’intérieur. On les retrouve tous les deux dans le cours d’ensemble sur l’aire et le périmètre.
Comment Ératosthène a-t-il calculé le périmètre de la Terre ?
Pour garder le bon ordre de grandeur, retiens qu’un tour de cercle mesure un peu plus de trois diamètres. Un résultat inférieur au diamètre ou dix fois plus grand doit donc te faire vérifier ton calcul.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer le périmètre d’un cercle dans tous les sens : à partir du rayon, du diamètre, ou en remontant depuis le périmètre. Pour continuer à progresser en géométrie et sur les autres chapitres de 6ème et 5ème :
