Tu sais que \(2{,}5\) est un nombre décimal. Mais \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ? Son écriture \(0{,}333\ldots\) ne s’arrête jamais : ce n’est pas un nombre décimal. Savoir trancher « décimal ou non » est une compétence clé de Seconde, avec une démonstration au programme. Voici le critère fiable et la méthode pour ne plus jamais hésiter.
Au programme
Seconde : ensembles \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) ; démonstration au programme « le nombre rationnel \(\displaystyle\frac{1}{3}\) n’est pas décimal ». 🟠 Extension prépa (MPSI) : développement décimal illimité périodique et non-unicité de l’écriture décimale.
I. Qu’est-ce qu’un nombre décimal (et un nombre non décimal) ?
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. Un nombre non décimal est un nombre qui ne le peut pas : son écriture décimale est illimitée, comme \(0{,}333\ldots\) Autrement dit, un décimal « tombe juste » à partir d’un certain rang, un non décimal jamais.
Définition — Nombre décimal
Un nombre \(x\) est décimal s’il existe un entier relatif \(a\) et un entier naturel \(n\) tels que :
\(x = \displaystyle\frac{a}{10^{n}}\)
L’ensemble des décimaux se note \(\mathbb{D}\). Par exemple \(2{,}5 = \displaystyle\frac{25}{10}\) et \(0{,}017 = \displaystyle\frac{17}{1000}\) sont décimaux.
Attention à deux pièges de vocabulaire que l’on confond souvent avec les notions de ce chapitre, mais qui sont traitées à part dans le cours sur les ensembles de nombres :
- Tout entier est décimal : \(7 = \displaystyle\frac{7}{10^{0}} = 7{,}0\). Donc \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\).
- Un nombre « à virgule infinie » n’est pas forcément décimal : \(\displaystyle\frac{1}{3}\) et \(\sqrt{2}\) en sont les exemples classiques.
Pour la définition complète, les décompositions et la place de \(\mathbb{D}\) dans la chaîne des ensembles, appuie-toi sur le cours pilier des nombres décimaux. Ici, on va droit à la question qui fâche : comment reconnaître un nombre non décimal.
II. Le critère des facteurs 2 et 5
On écrit la fraction sous la forme irréductible \(p/q\), avec \(p\in\mathbb{Z}\) et \(q\) entier strictement positif. Le signe éventuel se place au numérateur.
Pour savoir si une fraction est décimale, on la rend irréductible (simplifiée au maximum), puis on regarde son dénominateur : une fraction irréductible est décimale si et seulement si son dénominateur ne contient que des facteurs 2 et des facteurs 5. Dès qu’un autre nombre premier apparaît (3, 7, 11…), le nombre n’est pas décimal.
Critère de décimalité
Soit un rationnel écrit sous forme irréductible \(\displaystyle\frac{p}{q}\). Alors :
\(\displaystyle\frac{p}{q} \in \mathbb{D} \iff q = 2^{a} \times 5^{b}\) avec \(a\) et \(b\) entiers naturels.
Pourquoi 2 et 5 ? Parce que \(10 = 2 \times 5\). Un nombre décimal a pour dénominateur une puissance de 10, et \(10^{n} = 2^{n} \times 5^{n}\) ne contient que ces deux facteurs premiers. Repérer les facteurs premiers d’un entier est exactement le rôle de la décomposition en produit de facteurs premiers.
Exemple : La fraction \(\displaystyle\frac{9}{40}\) est-elle décimale ?
Elle est déjà irréductible (9 et 40 n’ont pas de diviseur commun supérieur à 1). On décompose le dénominateur : \(40 = 2^{3} \times 5\). Il n’y a que des 2 et des 5 : le nombre est décimal.
Vérification : \(\displaystyle\frac{9}{40} = \displaystyle\frac{9 \times 25}{1000} = \displaystyle\frac{225}{1000} = 0{,}225\). L’écriture est bien finie.
Décimal ou non : critère et preuves sur deux pages
Les définitions utiles, une méthode expliquée et des exemples vérifiés, dans un document imprimable.
📄 Télécharger la fiche méthodeÀ imprimer et glisser dans ton classeur de Seconde.
Erreur classique : tester le critère sur une fraction non simplifiée. Avec \(\displaystyle\frac{6}{30}\), tu vois un 3 dans \(30 = 2 \times 3 \times 5\) et tu conclus « non décimal ». Faux : \(\displaystyle\frac{6}{30} = \displaystyle\frac{1}{5} = 0{,}2\). Le 3 disparaît à la simplification. Rends toujours la fraction irréductible avant de regarder le dénominateur.
III. La méthode : reconnaître un décimal en 3 questions
Face à un nombre quelconque, pose-toi ces trois questions dans l’ordre. Dès qu’une répond, tu as ta conclusion.
- Le nombre est-il déjà écrit avec une virgule qui s’arrête ? Si oui (et sans « … »), il est décimal. Exemple : \(3{,}1416\) est décimal.
- Est-ce une fraction ? Rends-la irréductible, décompose le dénominateur. Si le dénominateur est \(2^{a} \times 5^{b}\), c’est décimal ; sinon, non.
- Racine ou constante ? Étudier le nombre précis : \(\sqrt4=2\) et \(\sqrt{0{,}25}=0{,}5\) sont décimaux ; \(\sqrt2\) et \(\pi\) sont irrationnels, donc non décimaux.
Pour choisir entre les différentes façons de trancher, ce tableau comparatif te dit quelle technique employer et dans quel cas — c’est ce qui manque dans presque toutes les fiches en ligne.
| Technique | Quand l’utiliser | Sa limite |
|---|---|---|
| Lire l’écriture décimale | Le nombre est déjà donné avec une virgule | Inutilisable si l’écriture contient « … » (illimitée) |
| Critère des facteurs 2 et 5 | Le nombre est une fraction | Il faut d’abord rendre la fraction irréductible |
| Poser la division | On veut vérifier concrètement si « ça tombe juste » | Long, et un reste qui se répète prouve seulement que ce n’est pas décimal |
| Raisonnement par l’absurde | Il faut démontrer qu’un nombre n’est pas décimal | Demande de la rigueur (voir section IV) |
Le critère des facteurs 2 et 5 permet une preuve directe lorsqu’on peut l’utiliser. On peut aussi démontrer qu’un nombre n’est pas décimal par l’absurde. L’exercice ci-dessous détaille cette seconde méthode.
IV. Démonstration : 1/3 n’est pas décimal
Pour démontrer qu’un nombre n’est pas décimal, on suppose le contraire et on aboutit à une absurdité. C’est l’esprit du raisonnement par l’absurde. Voici la démonstration au programme de Seconde, rédigée en entier.
Démonstration au programme — \(\displaystyle\frac{1}{3}\) n’est pas décimal
Supposons, par l’absurde, que \(\displaystyle\frac{1}{3}\) soit décimal. Alors il existe un entier \(a\) et un entier naturel \(n\) tels que :
\(\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{a}{10^{n}}\)
En faisant le produit en croix, on obtient \(10^{n} = 3a\). Donc \(3\) divise \(10^{n}\).
\(10^n=2^n5^n\) n’a aucun facteur premier autre que 2 ou 5 ; pour \(n=0\), \(10^0=1\). Dans tous les cas, 3 ne divise pas \(10^n\).
On a donc à la fois « \(3\) divise \(10^{n}\) » et « \(3\) ne divise pas \(10^{n}\) » : c’est une contradiction. Notre hypothèse de départ est donc fausse.
Conclusion : \(\displaystyle\frac{1}{3}\) n’est pas un nombre décimal. ∎
Ce que le correcteur attend. Trois points rapportent les points : (1) écrire clairement l’hypothèse « supposons \(\displaystyle\frac{1}{3} = \displaystyle\frac{a}{10^n}\) » ; (2) obtenir une relation de divisibilité (\(10^n = 3a\)) ; (3) nommer la contradiction sur les facteurs premiers. Ne saute jamais la phrase « donc l’hypothèse est fausse » : c’est elle qui conclut le raisonnement par l’absurde.
Le même argument exclut tout facteur premier autre que 2 et 5 dans le dénominateur irréductible. Pour la réciproque, si \(q=2^a5^b\), prends \(n=\max(a,b)\) et multiplie les deux termes de la fraction par \(2^{n-a}5^{n-b}\) : le dénominateur devient \(10^n\). La fraction admet donc une écriture décimale finie.
V. Décimal, rationnel, irrationnel : le tableau
La question « décimal ou non » s’inscrit dans une classification plus large. Un nombre peut être décimal, rationnel non décimal, ou irrationnel. Voici comment les distinguer d’un coup d’œil grâce à leur écriture décimale.
| Type de nombre | Écriture décimale | Exemples |
|---|---|---|
| Décimal (\(\mathbb{D}\)) | Finie (s’arrête) | \(2{,}5\) ; \(\displaystyle\frac{9}{40} = 0{,}225\) ; \(-7\) |
| Rationnel non décimal | Illimitée mais périodique | \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) ; \(\displaystyle\frac{1}{7} = 0{,}142857\ldots\) |
| Irrationnel | Illimitée et non périodique | \(\sqrt{2}\) ; \(\pi\) |
On a l’emboîtement \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) : tout décimal est rationnel, tout rationnel est réel, mais les réciproques sont fausses. Pour une preuve classique d’irrationalité, va voir pourquoi la racine carrée de 2 est irrationnelle : le raisonnement par l’absurde y ressemble beaucoup à celui de \(\displaystyle\frac{1}{3}\).
VI. 🟠 Pour aller plus loin (prépa) : développement décimal et 0,999… = 1
En classe préparatoire, la caractérisation précédente se formule de façon rigoureuse à partir du développement décimal d’un réel. Cette section s’adresse aux élèves qui visent la Sup.
Caractérisation par le développement décimal (MPSI)
Pour un réel \(x\) :
- \(x\) est décimal si et seulement si son développement décimal propre est nul à partir d’un certain rang ;
- \(x\) est rationnel si et seulement si son développement décimal est ultimement périodique ;
- \(x\) est irrationnel si et seulement si son développement décimal est illimité et non périodique.
Un point subtil : l’écriture décimale n’est pas unique. Le nombre \(0{,}999\ldots\) est en réalité égal à \(1\). Voici la preuve courte :
Preuve de \(0{,}999\ldots=1\). Avec \(n\) chiffres 9 après la virgule, la somme vaut \(1-10^{-n}\).
Quand \(n\) tend vers l’infini, \(10^{-n}\) tend vers 0. La limite des écritures finies vaut donc 1. L’écriture \(0{,}999\ldots\) désigne précisément cette limite.
Ainsi \(1=1{,}000\ldots=0{,}999\ldots\). Il n’existe pas de « dernier 9 » auquel comparer un dernier chiffre de 1.
Exemple de double écriture : 0,25 = 0,24999… . Le développement propre est celui qui ne se termine pas par une infinité de 9. Pour un décimal, ses chiffres sont tous nuls à partir d’un certain rang. Pour les nombres négatifs, on applique cette convention à la valeur absolue avant de remettre le signe. Voir aussi la partie entière.
VII. Erreurs fréquentes
Trois confusions reviennent systématiquement dans les copies. Repère-les pour les éviter.
« 12 n’est pas décimal parce qu’il n’a pas de virgule. » Faux. Tout entier est décimal : \(12 = \displaystyle\frac{12}{10^{0}} = 12{,}0\). On a \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\). Un nombre « sans virgule » est même le cas le plus simple de décimal.
« Un nombre à virgule infinie est irrationnel. » Faux. \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) a une infinité de décimales, mais c’est un rationnel : son écriture est périodique. Seuls les développements illimités non périodiques (comme \(\pi\)) sont irrationnels.
« Le quotient de deux nombres décimaux est toujours décimal. » Faux, et c’est le contre-exemple le plus parlant : \(1\) et \(3\) sont décimaux, pourtant \(1 \div 3 = \displaystyle\frac{1}{3}\) ne l’est pas. Diviser deux décimaux peut faire sortir de \(\mathbb{D}\) — contrairement à l’addition, la soustraction et la multiplication.
VIII. Exercices corrigés
Six exercices, du tri direct à la démonstration rédigée. Essaie-les avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Tri rapide ★
Parmi les nombres suivants, lesquels sont décimaux ? \(3{,}75\) ; \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ; \(-4\) ; \(\displaystyle\frac{7}{4}\) ; \(\sqrt{2}\).
Voir la correction de l’exercice 1
\(3{,}75\) : écriture finie → décimal.
\(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) : écriture illimitée → non décimal.
\(-4 = -4{,}0\) : entier → décimal.
\(\displaystyle\frac{7}{4}\) : \(4 = 2^{2}\), que des facteurs 2 → décimal (\(= 1{,}75\)).
\(\sqrt{2} = 1{,}414\ldots\) : irrationnel → non décimal.
Décimaux : \(3{,}75\), \(-4\) et \(\displaystyle\frac{7}{4}\).
Exercice 2 — Fraction à tester ★
Le nombre \(\displaystyle\frac{3}{8}\) est-il décimal ? Si oui, donne son écriture décimale.
Voir la correction de l’exercice 2
La fraction \(\displaystyle\frac{3}{8}\) est irréductible. On décompose : \(8 = 2^{3}\).
Le dénominateur n’a que des facteurs 2 → le nombre est décimal.
Écriture : \(\displaystyle\frac{3}{8} = \displaystyle\frac{3 \times 125}{1000} = \displaystyle\frac{375}{1000} = 0{,}375\).
Exercice 3 — Attention à la simplification ★★
Le nombre \(\displaystyle\frac{15}{12}\) est-il décimal ?
Voir la correction de l’exercice 3
On ne teste jamais le critère sur une fraction non simplifiée. Ici \(15 = 3 \times 5\) et \(12 = 2^{2} \times 3\) : on peut simplifier par 3.
\(\displaystyle\frac{15}{12} = \displaystyle\frac{5}{4}\). Or \(4 = 2^{2}\) : que des facteurs 2.
Le nombre est décimal : \(\displaystyle\frac{5}{4} = 1{,}25\).
L’erreur à éviter : conclure « non décimal » en voyant le 3 dans \(12\). Ce 3 disparaît à la simplification.
Exercice 4 — Démontrer avec le critère ★★
Montre que \(\displaystyle\frac{5}{12}\) n’est pas un nombre décimal, en utilisant le critère des facteurs premiers.
Voir la correction de l’exercice 4
La fraction \(\displaystyle\frac{5}{12}\) est irréductible (\(5\) est premier et ne divise pas \(12\)).
On décompose le dénominateur : \(12 = 2^{2} \times 3\).
Le dénominateur contient le facteur premier \(3\), différent de \(2\) et de \(5\).
D’après le critère, \(\displaystyle\frac{5}{12}\) n’est pas décimal.
Exercice 5 — Démonstration par l’absurde ★★★
Démontre, par un raisonnement par l’absurde, que \(\displaystyle\frac{1}{6}\) n’est pas décimal.
Voir la correction de l’exercice 5
Supposons par l’absurde que \(\displaystyle\frac{1}{6}\) soit décimal : il existe \(a \in \mathbb{Z}\) et \(n \in \mathbb{N}\) tels que \(\displaystyle\frac{1}{6} = \displaystyle\frac{a}{10^{n}}\).
Produit en croix : \(10^{n} = 6a = 2 \times 3 \times a\). Donc \(3\) divise \(10^{n}\).
Or \(10^{n} = 2^{n} \times 5^{n}\) : ses seuls facteurs premiers sont \(2\) et \(5\). Comme \(3\) est premier, différent de \(2\) et \(5\), il ne divise pas \(10^{n}\).
Contradiction. Donc \(\displaystyle\frac{1}{6}\) n’est pas décimal. ∎
Exercice 6 — Raisonnement sur les opérations ★★★
Donne deux nombres décimaux dont le quotient n’est pas décimal. Que peux-tu en conclure sur la stabilité de \(\mathbb{D}\) par la division ?
Voir la correction de l’exercice 6
Prenons \(1\) et \(3\) : tous deux entiers, donc décimaux.
Leur quotient est \(1 \div 3 = \displaystyle\frac{1}{3}\), dont le dénominateur irréductible est \(3\) : non décimal.
Conclusion : l’ensemble \(\mathbb{D}\) n’est pas stable par la division. On dit qu’il est stable par addition, soustraction et multiplication (la somme, la différence et le produit de deux décimaux restent décimaux), mais pas par division.
L’erreur à éviter : croire que « décimal ÷ décimal = décimal ». Un seul contre-exemple suffit à détruire cette affirmation.
IX. Questions fréquentes
C’est quoi un nombre non décimal ?
Un nombre non décimal est un nombre qui ne peut pas s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Son écriture décimale est illimitée. Exemples : \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\), \(\displaystyle\frac{1}{7}\), ou encore \(\sqrt{2}\) et \(\pi\).
Comment savoir si un nombre est décimal ou non ?
Mets-le sous forme de fraction irréductible, puis décompose le dénominateur en facteurs premiers. Si le dénominateur ne contient que des \(2\) et des \(5\) (soit \(2^{a} \times 5^{b}\)), le nombre est décimal. Dès qu’un autre facteur premier apparaît (3, 7, 11…), il n’est pas décimal.
Comment démontrer qu’un nombre n’est pas décimal ?
On raisonne par l’absurde : on suppose le nombre décimal, donc égal à \(\displaystyle\frac{a}{10^{n}}\). On obtient par produit en croix une relation de divisibilité, puis on montre qu’un facteur premier interdit (par exemple 3) devrait diviser \(10^{n} = 2^{n} \times 5^{n}\), ce qui est impossible. La contradiction prouve que le nombre n’est pas décimal.
Le quotient de deux nombres décimaux est-il décimal ?
Pas toujours. \(1\) et \(3\) sont décimaux, mais \(1 \div 3 = \displaystyle\frac{1}{3}\) ne l’est pas. L’ensemble \(\mathbb{D}\) est stable par addition, soustraction et multiplication, mais pas par division.
Quelle différence entre un nombre non décimal et un nombre irrationnel ?
Tous les irrationnels sont non décimaux, mais l’inverse est faux. Un nombre non décimal peut être rationnel : \(\displaystyle\frac{1}{3}\) a une écriture illimitée mais périodique, c’est un rationnel non décimal. Un irrationnel, lui, a une écriture illimitée non périodique et ne s’écrit jamais comme une fraction, comme \(\sqrt{2}\) ou \(\pi\).
X. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant trancher « décimal ou non » et rédiger la démonstration attendue. Pour consolider et relier cette notion aux chapitres voisins :
- Les ensembles de nombres ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ (et ℂ) : cours complet
- Nombres entiers : définition, exemples (ℕ/ℤ) et méthodes
- 20 Exercices Corrigés sur les Ensembles de Nombres (Seconde)
- Calculer un pourcentage : méthode, formules et exemples
- Calculer une racine carrée sans calculatrice : toutes les méthodes
Pour viser la prépa scientifique et aller plus loin que le programme de Seconde, un accompagnement sur-mesure fait la différence.
