Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 3,5 ou 12,04. Du CM1 à la 6e, il est partout : prix, mesures, résultats de calculs. Ce cours complet te montre comment le lire, le comparer, l’arrondir et calculer avec, du CM1 jusqu’au lycée.
📌 Au programme
Les nombres décimaux sont étudiés tout au long du cycle 3 : dixièmes et centièmes en CM1, millièmes et division décimale en CM2, produit de deux décimaux et arrondi au centième en 6e (BO du 17 avril 2025). Le chapitre se prolonge au collège, puis en Seconde avec l’ensemble des décimaux. Conforme au programme officiel 2026-2027 — voir la ressource Eduscol du cycle 3.
I. Qu’est-ce qu’un nombre décimal ?
Un nombre décimal est un nombre que l’on peut écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après cette virgule. 7,2 est décimal, 15 est décimal (on peut écrire 15,0), mais 0,333… (qui ne s’arrête jamais) ne l’est pas. Voyons cela de plus près.
A. La définition, avec exemples et contre-exemples
Définition — Nombre décimal
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. Autrement dit, c’est un nombre que l’on peut écrire sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est 10, 100, 1 000…
Des exemples de nombres décimaux : 2,5 ; 0,07 ; 12,004 ; et aussi 8 (car 8 = 8,0). Des contre-exemples : \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) (les chiffres continuent sans fin) et \(\pi = 3{,}14159\ldots\) ne sont pas décimaux : leur écriture après la virgule ne s’arrête jamais.
B. Partie entière et partie décimale
Pour un nombre décimal positif ou nul, la partie entière et la partie décimale s’additionnent pour redonner le nombre. Dans 37,25, la partie entière vaut 37 et la partie décimale vaut 0,25 : 37,25 = 37 + 0,25. Les chiffres écrits après la virgule sont 2 et 5. Voir aussi l’écriture décimale.
C. Est-ce que 5, 12 ou 4 sont des nombres décimaux ?
Oui : tous les nombres entiers sont des nombres décimaux. En effet, 5 = 5,0 ; 12 = 12,0 ; 4 = 4,0. On peut les écrire avec une virgule suivie de zéros, donc avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Tout nombre entier est donc un nombre décimal, mais l’inverse est faux : 2,5 est décimal sans être entier.
D. Tous les nombres à virgule sont-ils décimaux ?
Non. C’est le piège classique. Un nombre comme \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}3333\ldots\) s’écrit « avec une virgule », mais ses décimales ne s’arrêtent jamais : il n’est pas décimal. Pour savoir si un nombre à virgule infinie est décimal ou non, rends-toi sur la page dédiée nombre décimal ou non (niveau Seconde).
II. De la fraction décimale au nombre à virgule
D’où vient la virgule ? Elle vient des fractions décimales, c’est-à-dire des fractions dont le dénominateur est 10, 100 ou 1 000. Chaque chiffre après la virgule correspond à l’une de ces fractions.
Par exemple :
- \(\displaystyle\frac{7}{10} = 0{,}7\) (7 dixièmes)
- \(\displaystyle\frac{35}{100} = 0{,}35\) (35 centièmes)
- \(3 + \displaystyle\frac{2}{10} + \displaystyle\frac{5}{100} = 3{,}25\)
Pour approfondir ce lien, consulte le cours sur les fractions décimales. Et pour transformer n’importe quelle fraction en nombre à virgule (y compris le cas 1/3), va voir la méthode fraction en nombre décimal.
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III. Lire et écrire un nombre décimal
Lire un nombre décimal, c’est connaître la valeur de chaque chiffre selon sa position. Juste après la virgule, on trouve les dixièmes, puis les centièmes, puis les millièmes.
Prenons le nombre 8,37. Le chiffre 3 est le chiffre des dixièmes, le chiffre 7 est le chiffre des centièmes. Attention à ne pas confondre « chiffre des dixièmes » (un seul chiffre : 3) et « nombre de dixièmes » (8,37 contient 83 dixièmes). Le bon outil pour visualiser tout cela est le tableau de numération.
Astuce de lecture : 8,37 se lit « 8 unités et 37 centièmes ». C’est aussi 837 centièmes au total. Lire un nombre de deux façons aide énormément pour comparer et pour calculer.
IV. Comparer, ranger, encadrer
Pour comparer deux nombres décimaux, on compare d’abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare chiffre par chiffre après la virgule, de gauche à droite.
Erreur classique : croire que 2,45 > 2,5 « parce que 45 est plus grand que 5 ». C’est faux ! On compare les dixièmes d’abord : 5 dixièmes contre 4 dixièmes. Donc \(2{,}5\) > \(2{,}45\). De même, \(0{,}7\) > \(0{,}65\).
La méthode complète (ranger, encadrer, intercaler, placer sur une droite graduée) est détaillée sur la page comparer des nombres décimaux.
V. Arrondir et tronquer
Arrondir un nombre décimal, c’est en donner une valeur approchée. Arrondir au dixième, par exemple, c’est garder un seul chiffre après la virgule en regardant le chiffre suivant : s’il est 5 ou plus, on monte ; sinon, on garde.
Par exemple, 3,47 arrondi au dixième donne 3,5 (car le chiffre des centièmes est 7, donc on monte). Tronquer, c’est différent : on coupe sans arrondir, donc 3,47 tronqué au dixième donne 3,4. Toute la méthode est sur la page arrondi et troncature.
VI. Les quatre opérations avec les décimaux
Chaque opération a sa propre règle pour la virgule. Le tableau ci-dessous résume l’essentiel : la règle, la raison en une ligne, et le niveau concerné.
| Opération | Règle de la virgule | Pourquoi ça marche | Niveau |
|---|---|---|---|
| Addition et soustraction | On aligne les virgules | On ajoute les dixièmes avec les dixièmes | CM1 → 6e |
| Multiplication | On compte les chiffres après la virgule | \(\displaystyle\frac{234}{100} \times \displaystyle\frac{12}{10} = \displaystyle\frac{2808}{1000}\) | CM2 → 6e |
| Division | On place la virgule au quotient en passant la virgule du dividende | Diviser des dixièmes donne des dixièmes | CM2 → 6e |
Chaque opération a sa page dédiée : additionner et soustraire, poser une multiplication à virgule et la division décimale. Pour calculer de tête (×10, ÷10), le calcul mental en 6e est ton meilleur allié.
Erreur à éviter : croire que 6,4 × 10 = 6,40. C’est faux ! Multiplier par 10 décale la virgule d’un rang : 6,4 × 10 = 64. Ajouter un zéro à droite de la partie écrite après la virgule ne change pas la valeur : 6,4 = 6,40. En revanche, 6 et 60 sont différents.
VII. Parcours par niveau : du CM1 à la prépa
Les nombres décimaux t’accompagnent pendant des années. Voici ce que tu apprends à chaque étape et où t’entraîner.
| Niveau | Ce que tu apprends | Où t’entraîner |
|---|---|---|
| CM1 | Dixièmes, centièmes, comparer, additionner, ×10 | Exercices CM1 |
| CM2 | Millièmes, multiplication posée, division décimale | Exercices CM2 |
| 6e | Produit de deux décimaux, arrondi au centième, ×0,1 | Exercices 6e |
| 5e–4e | Diviser par un décimal, décimaux relatifs, puissances de 10 | Écriture décimale |
| Seconde | L’ensemble 𝔻 des décimaux, 1/3 n’est pas décimal | Nombre décimal ou non |
| Prépa | Densité, approximations décimales d’un réel | Partie entière |
VIII. 🟡 Au lycée : l’ensemble 𝔻 des décimaux
À partir de la Seconde, on range les nombres dans des ensembles. Les nombres décimaux forment l’ensemble noté \(\mathbb{D}\). Il contient tous les entiers et s’inscrit dans une grande chaîne d’inclusions.
Définition — L’ensemble 𝔻 (Seconde)
Un nombre réel appartient à \(\mathbb{D}\) s’il peut s’écrire sous la forme \(\displaystyle\frac{a}{10^{n}}\) avec \(a\) entier et \(n\) entier positif. On a la chaîne \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\).
Pour comprendre pourquoi \(\displaystyle\frac{1}{3}\) n’appartient pas à \(\mathbb{D}\) (et le démontrer), consulte la page nombre décimal ou non. La chaîne complète des ensembles de nombres est détaillée dans son propre cours.
🔴 En prépa : densité et approximations décimales
En classe préparatoire, on montre que \(\mathbb{D}\) est dense dans \(\mathbb{R}\) : tout réel peut être approché d’aussi près qu’on veut par un décimal. C’est le rôle des approximations décimales à \(10^{-n}\) près, qui s’appuient sur la partie entière.
IX. S’entraîner : exemples d’application
Trois exercices types pour vérifier que tu as compris. Essaie d’abord seul, puis ouvre la correction.
Exercice 1 — Reconnaître un nombre décimal ★
Parmi ces nombres, lesquels sont des nombres décimaux : 7 ; 3,25 ; \(\displaystyle\frac{1}{3}\) ; 0,009 ?
Voir la correction de l’exercice 1
7 est décimal (7 = 7,0). 3,25 est décimal (deux chiffres après la virgule). 0,009 est décimal (trois chiffres). En revanche, \(\displaystyle\frac{1}{3} = 0{,}333\ldots\) a des décimales sans fin : il n’est pas décimal.
Réponse : 7 ; 3,25 et 0,009 sont des nombres décimaux.
Exercice 2 — Comparer deux décimaux ★★
Range dans l’ordre croissant : 4,7 ; 4,65 ; 4,8 ; 4,07.
Voir la correction de l’exercice 2
Les parties entières sont toutes 4. On compare les dixièmes : 0 (pour 4,07), 6, 7, 8. Donc 4,07 est le plus petit.
Ordre croissant : 4,07 < 4,65 < 4,7 < 4,8.
L’erreur à éviter : placer 4,65 après 4,7 en pensant que « 65 est plus grand que 7 ». On compare d’abord les dixièmes : 6 < 7.
Exercice 3 — Un petit problème ★★
Léa achète un stylo à 1,80 € et un cahier à 2,45 €. Elle paie avec un billet de 5 €. Combien lui rend-on ?
Voir la correction de l’exercice 3
On additionne d’abord le prix total en alignant les virgules : 1,80 + 2,45 = 4,25 €.
Puis on soustrait de 5 € : \(5{,}00- 4{,}25 = 0{,}75\).
On rend 0,75 € à Léa. Vérification par l’ordre de grandeur : les achats font environ 4 €, on rend donc environ 1 € : cohérent.
X. Erreurs fréquentes à éviter
Les décimaux cachent toujours les mêmes pièges. Les connaître, c’est déjà les éviter.
❌ « 0,7 < 0,65 » → Diagnostic : on compare 65 et 7 comme des entiers. ✅ Correction : on compare les dixièmes : 7 dixièmes contre 6 dixièmes, donc \(0{,}7\) > \(0{,}65\).
❌ « 6,4 × 10 = 6,40 » → Diagnostic : on ajoute un zéro à droite. ✅ Correction : multiplier par 10 décale la virgule d’un rang : 6,4 × 10 = 64.
❌ Confondre centaine et centième → La centaine est à gauche (grand), le centième est à droite de la virgule (petit : \(\displaystyle\frac{1}{100} = 0{,}01\)).
Un ordre de grandeur aide à détecter une réponse impossible. Pour vérifier exactement, reprends le calcul ou utilise l’opération inverse.
XI. Questions fréquentes
C’est quoi un nombre décimal, avec un exemple ?
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire avec une virgule et un nombre fini de chiffres après la virgule. Par exemple, 3,5 est un nombre décimal : il a un chiffre après la virgule. De même, 0,25 et 12,004 sont décimaux. En revanche, 1/3 = 0,333… ne l’est pas.
Est-ce que 5, 12 ou 4 sont des nombres décimaux ?
Oui, tous les trois. Tout nombre entier est un nombre décimal : on peut l’écrire avec une virgule suivie de zéros. Ainsi, 5 = 5,0 ; 12 = 12,0 et 4 = 4,0. Ils ont donc un nombre fini de chiffres après la virgule, ce qui est la définition d’un nombre décimal.
Est-ce que 10 est un nombre décimal ?
Oui. 10 est un nombre entier, et tout nombre entier est décimal : on peut écrire 10 = 10,0. Son écriture ne contient qu’un nombre fini de chiffres après la virgule (ici des zéros), il entre donc dans la définition du nombre décimal.
Qu’est-ce qu’un nombre décimal en CM2 ?
En CM2, un nombre décimal est un nombre à virgule qui comporte des dixièmes, des centièmes et des millièmes. On apprend à le lire, le comparer, le ranger, le multiplier par un entier et faire des divisions décimales. Exemple : 3,125 contient 1 dixième, 2 centièmes et 5 millièmes.
Comment savoir si un nombre est décimal ?
Un nombre est décimal s’il admet une écriture décimale finie. Un entier est donc décimal. Une écriture infinie ne suffit pas, à elle seule, à conclure : 0,999… = 1. En revanche, 1/3 et π n’admettent aucune écriture finie. Le critère des facteurs 2 et 5 permet de trancher pour une fraction.
Quelle est la différence entre un nombre décimal et une fraction ?
Un nombre décimal s’écrit avec une virgule (3,25), une fraction s’écrit avec un trait de division (13/4). Ce sont deux écritures possibles d’un même nombre : 13/4 = 3,25. Attention, toutes les fractions ne donnent pas un décimal : 1/3 = 0,333… n’est pas décimal car ses chiffres ne s’arrêtent jamais.
Tous les nombres à virgule sont-ils décimaux ?
Non : un nombre décimal doit admettre une écriture finie. Par exemple, 1/3 = 0,333… et π = 3,14159… n’en admettent pas. Attention au cas particulier des écritures finissant par une infinité de 9 : 0,999… représente exactement 1, qui est décimal.
Quelle est la différence entre décimal et entier ?
Un nombre entier n’a pas de partie après la virgule (5, 12, 40). Un nombre décimal peut en avoir une (2,5 ; 0,07). Tout entier est décimal, mais tout décimal n’est pas entier : 2,5 est décimal sans être entier. L’ensemble des entiers est inclus dans celui des décimaux.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la définition et les grandes idées des nombres décimaux. Pour continuer à progresser :
- Les fractions décimales : cours, méthode et exercices corrigés
- Nombres entiers : définition, exemples (ℕ/ℤ) et méthodes
- Exercices Nombres Entiers 6ème Corrigés + PDF
- Calculer un pourcentage : méthode, formules et exemples
- Calculer une racine carrée sans calculatrice : toutes les méthodes
- Au lycée, on découvre que certains nombres ne sont ni décimaux ni même des fractions : Racine carrée de 2 : valeur, irrationalité et démonstration.
