Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
Tu veux savoir combien coûtent 7 croissants quand le prix affiché est celui de 4 ? Le produit en croix est la technique qui répond en trois secondes à ce genre de question. C’est l’outil de calcul le plus rapide de toute la proportionnalité, et tu vas apprendre ici à le poser sans jamais te tromper.
Le produit en croix, en une phrase
Quand deux fractions sont égales, \(\displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d}\), alors les produits « en croix » sont égaux : \(a \times d = b \times c\). On s’en sert pour trouver un nombre inconnu dans une situation de proportionnalité, en multipliant en diagonale puis en divisant.
I. La formule du produit en croix
Le produit en croix repose sur une seule idée toute simple : quand deux fractions représentent la même quantité, on peut « croiser » leurs nombres. Regarde bien la disposition, car tout part de là.
La règle
Si deux fractions sont égales, \(\displaystyle\frac{a}{b} = \displaystyle\frac{c}{d}\) (avec \(b\) et \(d\) différents de zéro), alors :
\(a \times d = b \times c\)
On multiplie chaque nombre par celui qui lui est opposé en diagonale. C’est ce qui dessine une croix, d’où le nom.
La grande force de cette formule, c’est qu’elle permet de retrouver un nombre manquant. Si l’un des quatre nombres est inconnu, on l’appelle souvent une quatrième proportionnelle : on connaît trois valeurs, on cherche la quatrième. Prenons un tableau où \(x\) est inconnu :
\(\displaystyle\frac{4}{7} = \displaystyle\frac{12}{x}\)Le produit en croix donne \(4 \times x = 7 \times 12\), donc \(4 \times x = 84\), et enfin \(x = \displaystyle\frac{84}{4} = 21\). En deux lignes, le nombre mystère est trouvé.
Comment retenir : le nombre que tu cherches se retrouve toujours en multipliant les deux autres qui sont l’un en face de l’autre, puis en divisant par le dernier. Multiplier en diagonale, diviser par ce qui reste.
II. Pourquoi le produit en croix marche
Beaucoup d’élèves appliquent la formule sans savoir d’où elle vient. Or comprendre pourquoi elle marche, c’est ne plus jamais l’utiliser au mauvais moment. Voici l’explication, d’abord avec des nombres, puis avec la démonstration complète pour les plus grands.
Reprends un tableau de proportionnalité. Dans un tel tableau, on passe de la première ligne à la seconde en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient. Regarde :
| Ligne du haut | 4 | 12 |
|---|---|---|
| Ligne du bas (×3) | 12 | 36 |
Ici le coefficient vaut 3. Calcule les deux produits en croix : \(4 \times 36 = 144\) et \(12 \times 12 = 144\). Ils sont égaux ! Ce n’est pas un hasard : c’est parce que chaque nombre du bas est le nombre du haut multiplié par 3. Le coefficient se retrouve des deux côtés de la croix, donc les deux produits sont forcément identiques.
Pour les élèves de 3ème et de Seconde : la démonstration
Ouvre le déroulant ci-dessous pour voir la preuve complète, qui relie le produit en croix à la fonction linéaire \(y = kx\).
Voir la démonstration de l’égalité des produits en croix
On note le coefficient de proportionnalité \(k\). Dans le tableau, chaque valeur du bas est obtenue en multipliant celle du haut par \(k\). Donc :
\(b = k \times a\) et \(d = k \times c\)
Calculons les deux produits en croix séparément :
\(a \times d = a \times (k \times c) = k \times a \times c\) \(b \times c = (k \times a) \times c = k \times a \times c\)Les deux expressions valent \(k \times a \times c\) : elles sont donc égales. On a bien démontré que \(a \times d = b \times c\).
Autre lecture, avec la fonction linéaire : une situation de proportionnalité se modélise par \(y = kx\). Les deux couples de nombres \((a\,;\,b)\) et \((c\,;\,d)\) sont sur cette droite qui passe par l’origine, donc \(\displaystyle\frac{b}{a} = \displaystyle\frac{d}{c} = k\). En multipliant en croix cette égalité de fractions, on retrouve \(a \times d = b \times c\). ∎
La fiche méthode « Produit en croix » à imprimer
Les 3 étapes, le test de proportionnalité et 4 exemples types sur une seule page recto-verso.
📄 Télécharger la fiche PDFGratuit, prête à glisser dans le classeur.
III. La méthode pas à pas en 3 étapes
Maintenant que tu sais pourquoi ça marche, voici la marche à suivre à chaque fois, sans réfléchir plus que nécessaire.
- Étape 1 — Range les données dans un tableau. Mets sur la même ligne les grandeurs de même nature (les prix ensemble, les quantités ensemble). Place l’inconnue \(x\) à sa case.
- Étape 2 — Multiplie en diagonale. Multiplie les deux nombres connus qui sont en face l’un de l’autre (ceux qui ne touchent pas \(x\)).
- Étape 3 — Divise par le nombre restant. Divise le résultat par le dernier nombre connu, celui qui est sur la même diagonale que \(x\). Tu obtiens \(x\).
Le réflexe à garder : l’inconnue \(x\) est toujours égale au produit des deux nombres qui lui sont opposés, divisé par le nombre qui lui fait face. Une multiplication, une division : c’est tout.
Avant d’appliquer ces trois étapes, il y a une condition à ne jamais oublier, sur laquelle nous revenons plus bas : il faut être sûr qu’on est vraiment en situation de proportionnalité. Voyons d’abord la méthode en action.
IV. Exemples résolus
Quatre exemples, du plus simple au plus riche. Prends le temps de refaire chaque calcul sur ton cahier.
A. 🟢 Le prix des croissants
4 croissants coûtent 3,20 €. Combien coûtent 7 croissants ?
On range dans un tableau :
| Nombre de croissants | 4 | 7 |
|---|---|---|
| Prix en euros | 3,20 | \(x\) |
Produit en croix : \(x = \displaystyle\frac{7 \times 3{,}20}{4} = \displaystyle\frac{22{,}40}{4} = 5{,}60\).
Les 7 croissants coûtent 5,60 €.
B. 🟢 Calculer un pourcentage
Dans une classe de 25 élèves, 15 font de l’espagnol. Quel pourcentage cela représente-t-il ? Le pourcentage est une comparaison à 100, on écrit donc :
\(\displaystyle\frac{15}{25} = \displaystyle\frac{x}{100}\)Produit en croix : \(x = \displaystyle\frac{15 \times 100}{25} = \displaystyle\frac{1500}{25} = 60\).
60 % des élèves font de l’espagnol.
C. 🟡 Adapter une recette
Une recette de crêpes pour 6 personnes demande 300 g de farine. Tu veux en faire pour 10 personnes.
\(\displaystyle\frac{300}{6} = \displaystyle\frac{x}{10}\), donc \(x = \displaystyle\frac{300 \times 10}{6} = \displaystyle\frac{3000}{6} = 500\).
Il te faut 500 g de farine. Remarque : ici on aurait aussi pu remarquer que le coefficient entre 6 et 10 n’est pas entier, ce qui rend le produit en croix bien plus commode que le calcul de tête.
D. 🟡 Une dilution (illustration mathématique)
Un sirop se prépare en mélangeant 2 doses de concentré pour 10 doses d’eau. Pour 25 doses d’eau, combien de doses de concentré faut-il, en gardant le même mélange ?
\(\displaystyle\frac{2}{10} = \displaystyle\frac{x}{25}\), donc \(x = \displaystyle\frac{2 \times 25}{10} = \displaystyle\frac{50}{10} = 5\).
Il faut 5 doses de concentré. C’est exactement le raisonnement de proportionnalité qu’on retrouve dans beaucoup de situations concrètes : dès que le mélange doit rester identique, on est en proportionnalité, et le produit en croix s’applique.
V. Quand le produit en croix ne s’applique pas
C’est le point que presque personne ne t’explique, et c’est pourtant là que se cachent les pires erreurs. Le produit en croix n’est valable que dans une situation de proportionnalité. Avant de calculer, il faut toujours te poser la question : « est-ce vraiment proportionnel ? »
Le test à faire avant de calculer : si je double une grandeur, l’autre double-t-elle aussi ? Si je la multiplie par 3, l’autre est-elle multipliée par 3 ? Si oui, c’est proportionnel, le produit en croix marche. Sinon, il est interdit.
Voici deux situations qui ressemblent à de la proportionnalité mais n’en sont pas :
- L’âge. Si un frère a 8 ans quand sa sœur en a 4, il n’aura pas 16 ans quand elle en aura 8. L’écart d’âge reste fixe, il ne se multiplie pas. Ce n’est pas de la proportionnalité.
- L’aire d’un carré. Si tu doubles le côté d’un carré, son aire est multipliée par 4, pas par 2. Là encore, le produit en croix donnerait un résultat faux.
- Un tarif par paliers. Une place de cinéma coûte 10 €, mais l’abonnement 5 places coûte 40 € : le prix par place change, ce n’est plus proportionnel.
Attention aussi à distinguer la proportionnalité directe et la proportionnalité inverse. Si 2 ouvriers construisent un mur en 6 heures, 4 ouvriers ne mettront pas 12 heures mais 3 heures : plus il y a d’ouvriers, moins ça prend de temps. Dans ce cas, le produit en croix classique ne s’applique pas tel quel : c’est une situation inverse, où c’est le produit des deux grandeurs qui reste constant. Pour t’entraîner à repérer ces cas, va voir la page reconnaître une situation de proportionnalité.
VI. Produit en croix ou règle de trois ?
« Produit en croix » et « règle de trois » désignent deux façons de résoudre exactement le même type de problème. La question revient tout le temps, alors voici de quoi choisir en connaissance de cause.
| Méthode | En quoi ça consiste | Quand la choisir |
|---|---|---|
| Produit en croix | Multiplier en diagonale, diviser par le dernier nombre | Une seule valeur inconnue, nombres pas « ronds » : c’est le plus rapide |
| Règle de trois | Passer d’abord par la valeur pour 1 (l’unité), puis multiplier | Pour comprendre le raisonnement, ou en calcul mental quand le passage à l’unité est simple |
| Tableau de proportionnalité | Utiliser le coefficient qui relie les deux lignes | Plusieurs valeurs à calculer d’un coup, coefficient entier |
| Calcul direct | Repérer un rapport simple (×2, ÷5…) entre les colonnes | Quand les nombres sont doubles, moitiés, ou multiples évidents |
En résumé : le produit en croix et la règle de trois sont la même mécanique, écrite différemment. La règle de trois explique le « pourquoi » (on trouve la valeur pour 1, puis on multiplie) ; le produit en croix est le « raccourci » qui va droit au résultat. Si tu maîtrises le tableau de proportionnalité, tu peux jongler avec les trois selon ce qui va le plus vite.
VII. Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie chaque exercice au brouillon avant d’ouvrir la correction. La progression va du calcul direct au raisonnement de type brevet.
Exercice 1 — Le carburant ★
5 litres d’essence coûtent 9 €. Combien coûtent 8 litres au même prix ?
Voir la correction de l’exercice 1
On pose \(\displaystyle\frac{5}{9} = \displaystyle\frac{8}{x}\).
Produit en croix : \(x = \displaystyle\frac{8 \times 9}{5} = \displaystyle\frac{72}{5} = 14{,}40\).
8 litres coûtent 14,40 €.
Exercice 2 — La quatrième proportionnelle ★
Trouve le nombre \(x\) tel que \(\displaystyle\frac{6}{15} = \displaystyle\frac{x}{35}\).
Voir la correction de l’exercice 2
Produit en croix : \(15 \times x = 6 \times 35\), donc \(15 \times x = 210\).
\(x = \displaystyle\frac{210}{15} = 14\).
La quatrième proportionnelle est \(x = 14\).
Exercice 3 — Un pourcentage à retrouver ★★
Un article coûtait 80 € et la remise appliquée est de 12 €. Quel pourcentage de réduction cela représente-t-il ?
Voir la correction de l’exercice 3
La remise de 12 € est à comparer au prix de départ 80 €, sur une base de 100 :
\(\displaystyle\frac{12}{80} = \displaystyle\frac{x}{100}\)Produit en croix : \(x = \displaystyle\frac{12 \times 100}{80} = \displaystyle\frac{1200}{80} = 15\).
La réduction est de 15 %. Pour aller plus loin sur ce type de calcul, vois la page calculer un pourcentage de réduction.
Exercice 4 — La vitesse ★★
Une voiture roule à vitesse constante et parcourt 90 km en 1 h 30. Quelle distance parcourt-elle en 2 h 15, à la même vitesse ?
Voir la correction de l’exercice 4
Astuce : convertis les durées en minutes pour éviter les erreurs. 1 h 30 = 90 min et 2 h 15 = 135 min.
\(\displaystyle\frac{90}{90} = \displaystyle\frac{x}{135}\)Produit en croix : \(x = \displaystyle\frac{90 \times 135}{90} = 135\).
La voiture parcourt 135 km. (Ici le calcul est simple car 90 km en 90 min, soit 1 km par minute.)
Exercice 5 — Le piège du raisonnement ★★
Léa dit : « Ma grande sœur a 12 ans et moi 6 ans, donc j’ai la moitié de son âge. Quand elle aura 20 ans, j’aurai donc 10 ans. » A-t-elle raison ? Justifie sans faire de calcul de produit en croix.
Voir la correction de l’exercice 5
Léa a tort. L’âge n’est pas une situation de proportionnalité : ce qui reste fixe entre deux personnes, c’est la différence d’âge, pas le rapport.
Ici l’écart est de \(12- 6 = 6\) ans. Quand la sœur aura 20 ans, Léa aura donc \(20- 6 = 14\) ans, et non 10 ans.
Le test de proportionnalité échoue : quand l’âge de la sœur passe de 12 à 20, il n’est pas multiplié par un même nombre que celui de Léa. Le produit en croix est donc interdit dans ce problème.
Exercice 6 — Problème type brevet ★★★
Pour peindre un mur, un peintre utilise 2,5 litres de peinture pour 8 m². Le mur à peindre mesure 5 m de long et 2,60 m de haut. Combien de pots de 3 litres doit-il acheter ?
Voir la correction de l’exercice 6
Étape 1 — l’aire du mur. \(5 \times 2{,}60 = 13\) m².
Étape 2 — la quantité de peinture (situation de proportionnalité entre surface et peinture) :
\(\displaystyle\frac{2{,}5}{8} = \displaystyle\frac{x}{13}\), donc \(x = \displaystyle\frac{2{,}5 \times 13}{8} = \displaystyle\frac{32{,}5}{8} = 4{,}0625\) litres.
Étape 3 — le nombre de pots. Il faut environ 4,06 litres. Avec des pots de 3 litres : \(4{,}0625 \div 3 \approx 1{,}35\). Un seul pot ne suffit pas, deux pots donnent 6 litres.
Le peintre doit acheter 2 pots de 3 litres.
VIII. Les erreurs classiques
Voici les trois erreurs que je corrige le plus souvent sur les copies. Les connaître à l’avance, c’est déjà les éviter.
Erreur n°1 — appliquer le produit en croix sans vérifier la proportionnalité.
❌ Copie fautive : « Un carré de côté 3 cm a une aire de 9 cm², donc un carré de côté 6 cm a une aire de 18 cm² grâce au produit en croix. »
Diagnostic : l’aire d’un carré n’est pas proportionnelle au côté. En doublant le côté, l’aire est multipliée par 4.
✅ Correction : côté 6 cm → aire \(6 \times 6 = 36\) cm². Toujours faire le test de proportionnalité avant de calculer.
Erreur n°2 — mélanger les lignes du tableau.
❌ Copie fautive : placer un prix sous une quantité et une quantité sous un prix.
Diagnostic : les grandeurs de même nature doivent être sur la même ligne (les prix ensemble, les quantités ensemble). Sinon la croix relie n’importe quoi.
✅ Correction : range d’abord soigneusement le tableau, avec un titre par ligne, avant de croiser.
Erreur n°3 — oublier de diviser à la fin.
❌ Copie fautive : écrire \(x = 7 \times 3{,}20 = 22{,}40\) et s’arrêter là.
Diagnostic : le produit en croix comporte une multiplication et une division. S’arrêter à la multiplication donne un résultat absurde (7 croissants à 22,40 € !).
✅ Correction : \(x = \displaystyle\frac{7 \times 3{,}20}{4} = 5{,}60\). N’oublie jamais l’étape de division.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le produit en croix et la règle de trois ?
Les deux résolvent le même problème de proportionnalité. La règle de trois passe d’abord par la valeur pour 1 unité, puis multiplie : c’est plus long mais très parlant. Le produit en croix va directement au résultat en multipliant en diagonale et en divisant. C’est le même raisonnement, écrit de deux façons.
En quelle classe apprend-on le produit en croix ?
Le produit en croix est introduit en 4ème, après le tableau de proportionnalité et le coefficient vus en 6ème et en 5ème. Sa justification s’appuie sur l’égalité de deux fractions, au programme de 4ème. Il est ensuite utilisé sans arrêt jusqu’au lycée, pour les pourcentages, les échelles, les vitesses ou les statistiques. Dès le CM2, les élèves manipulent déjà l’idée sans le nommer.
Le produit en croix marche-t-il pour tous les problèmes ?
Non. Il ne fonctionne que dans une situation de proportionnalité directe. L’âge, l’aire d’un carré ou un tarif par paliers ne sont pas proportionnels : y appliquer le produit en croix donne un résultat faux. Fais toujours le test « si je double une grandeur, l’autre double-t-elle ? » avant de calculer.
Comment utiliser le produit en croix pour calculer un pourcentage ?
Un pourcentage est une proportion ramenée à 100. On écrit l’égalité de fractions avec 100 au dénominateur, par exemple \(\displaystyle\frac{15}{25} = \displaystyle\frac{x}{100}\), puis on applique le produit en croix : \(x = \displaystyle\frac{15 \times 100}{25} = 60\). Cela donne 60 %.
Peut-on faire un produit en croix avec des fractions ?
Oui, c’est même l’un de ses usages : deux fractions sont égales exactement lorsque leurs produits en croix le sont. Ainsi \(\displaystyle\frac{3}{4} = \displaystyle\frac{6}{8}\) car \(3 \times 8 = 4 \times 6 = 24\). C’est aussi la méthode pour résoudre une équation où l’inconnue est au dénominateur, ce que tu approfondiras avec les équations du premier degré.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le produit en croix, sa méthode et ses pièges. Pour continuer à progresser sur la proportionnalité :
- Le tableau de proportionnalité : méthode, exemples et exercices
- Le ratio en maths : tout comprendre de la 5ème à la 3ème
- 12 Exercices de Pourcentages en 6ème Corrigés (PDF)
- Les fractions : tout comprendre, du CM1 à la 3ème
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
