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« Dans cette classe, 18 élèves sur 30 sont des filles » : cette phrase cache une proportion. En Seconde, savoir calculer une proportion, c’est savoir passer d’un effectif brut à une part comparable, exprimée en fraction, en décimal ou en pourcentage. C’est le socle de tout le chapitre « proportions et pourcentages » et un outil que tu retrouveras en probabilités, en statistiques et jusqu’en prépa. Tu vas apprendre ici à la calculer sans jamais te tromper de sens.
Réponse directe — Calculer une proportion
Une proportion est la part d’un sous-ensemble dans un ensemble total. On la calcule en divisant l’effectif de la partie par l’effectif total : \(p = \displaystyle\frac{n}{N}\). Le résultat est un nombre compris entre 0 et 1, que l’on exprime souvent en pourcentage en le multipliant par 100.
I. Qu’est-ce qu’une proportion ?
Une proportion répond à une question simple : « quelle part le sous-groupe représente-t-il dans le groupe complet ? ». Ce n’est pas un effectif (un nombre d’individus), c’est une part relative, qui permet de comparer deux groupes de tailles différentes.
Prenons deux classes. Dans la première, 12 élèves sur 20 font de l’espagnol. Dans la seconde, 15 sur 30. Qui a la plus forte part d’hispanisants ? Impossible de répondre avec les effectifs bruts : 15 > 12, mais les classes n’ont pas la même taille. Il faut ramener les deux situations à une même base : c’est exactement le rôle de la proportion.
Définition — Proportion
Soit une population de \(N\) individus dont \(n\) possèdent un caractère donné. La proportion (ou fréquence) des individus possédant ce caractère est le nombre :
\(p = \displaystyle\frac{n}{N}\)
C’est un nombre de l’intervalle \([0\,;1]\). On a \(p = 0\) si personne ne possède le caractère, et \(p = 1\) si tout le monde le possède.
Le vocabulaire à maîtriser est court mais précis. \(n\) est l’effectif de la partie, \(N\) l’effectif total. La proportion \(p\) s’exprime sous trois formes équivalentes : une fraction (\(\displaystyle\frac{12}{20}\)), un nombre décimal (\(0{,}6\)) ou un pourcentage (\(60\%\)). Ces trois écritures désignent la même quantité, c’est un point que nous détaillons dans la fiche fraction, décimal, pourcentage.
II. La formule pour calculer une proportion
Tout le chapitre repose sur une seule égalité, qu’il faut savoir lire dans les deux sens. Une fois que tu la connais par cœur, tu peux calculer n’importe laquelle des trois grandeurs à partir des deux autres.
Formule — Les trois lectures
- Calculer la proportion : \(p = \displaystyle\frac{n}{N}\)
- Retrouver l’effectif de la partie : \(n = p \times N\)
- Retrouver l’effectif total : \(N = \displaystyle\frac{n}{p}\)
Pour convertir la proportion en pourcentage, on multiplie par 100 : \(60\%\) signifie littéralement « \(60\) pour cent », c’est-à-dire \(\displaystyle\frac{60}{100} = 0{,}6\). Le symbole \(\%\) est donc une simple façon d’écrire une division par 100. Pour approfondir cette écriture, va voir la page calculer un pourcentage.
Le réflexe « partie sur tout »
Au numérateur, ce que tu comptes ; au dénominateur, l’ensemble de référence. Si le résultat dépasse 1 (ou 100 %), c’est que tu as inversé la fraction : une partie ne peut jamais être plus grande que le tout.
La fiche « Proportions & pourcentages » en 1 page
Toutes les formules, la méthode en 3 étapes et les pièges à éviter, prêts à réviser avant ton prochain contrôle de Seconde.
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III. Pourquoi ça marche : proportion et proportionnalité
La proportion n’est pas une formule tombée du ciel : elle est la traduction directe de la proportionnalité. Comprendre ce lien, c’est arrêter de calculer machinalement et savoir pourquoi on divise.
Imagine que tu doubles la taille du groupe étudié en le clonant à l’identique : 12 hispanisants sur 20 deviennent 24 sur 40. La part reste la même : \(\displaystyle\frac{24}{40} = \displaystyle\frac{12}{20} = 0{,}6\). L’effectif de la partie est proportionnel à l’effectif total, et le coefficient de proportionnalité entre les deux est justement la proportion \(p\). C’est ce même coefficient que l’on manipule dans un tableau de proportionnalité.
Dit autrement : si on note \(n\) la partie et \(N\) le tout, alors \(n = p \times N\). La relation entre \(n\) et \(N\) est linéaire, de la forme \(y = kx\) avec \(k = p\). La proportion est donc le coefficient qui transforme le tout en partie. C’est pour cette raison qu’une proportion est aussi appelée une fréquence en statistiques : les deux mots désignent le rapport \(\displaystyle\frac{n}{N}\). Nous relions ces trois mots (fréquence, proportion, pourcentage) dans la fiche effectifs et fréquences.
Pourquoi la proportion est comprise entre 0 et 1 : la partie est toujours incluse dans le tout, donc \(0 \leq n \leq N\). En divisant par \(N\), on obtient \(0 \leq p \leq 1\). Aucune proportion ne peut être négative ni dépasser 100 %.
IV. Calculer une proportion pas à pas
Passons à la pratique. La méthode tient en trois étapes, valables quel que soit le contexte (classe, sondage, mélange, budget).
- Identifier le tout. Repère l’ensemble de référence \(N\) : c’est le « sur combien ». Attention, c’est l’erreur numéro un, détaillée dans la section sur les pièges.
- Identifier la partie. Compte l’effectif \(n\) qui possède le caractère étudié.
- Diviser et convertir. Calcule \(p = \displaystyle\frac{n}{N}\), puis multiplie par 100 si on attend un pourcentage.
Exemple : Dans un lycée de 850 élèves, 340 sont demi-pensionnaires. Quelle proportion cela représente-t-il ?
Le tout : \(N = 850\). La partie : \(n = 340\).
\(p = \displaystyle\frac{340}{850} = 0{,}4\)
En pourcentage : \(0{,}4 \times 100 = 40\%\). 40 % des élèves sont demi-pensionnaires.
Quand une des grandeurs manque, on utilise l’une des deux autres lectures de la formule. C’est souvent là qu’intervient le produit en croix, très pratique pour retrouver un effectif à partir d’un pourcentage.
Exemple (retrouver la partie) : Un sondage porte sur 1 200 personnes, dont 27 % déclarent faire du sport chaque semaine. Combien de personnes cela représente-t-il ?
Ici \(N = 1200\) et \(p = 0{,}27\), on cherche \(n\) :
\(n = p \times N = 0{,}27 \times 1200 = 324\)
324 personnes font du sport chaque semaine.
V. Calculer une proportion de proportion
Voici un cas que la plupart des sites oublient, alors qu’il tombe régulièrement en contrôle : la proportion d’une proportion, ou proportion d’une sous-population. C’est le moment où beaucoup d’élèves veulent additionner alors qu’il faut multiplier.
Le principe : quand on prend une part d’une part, les proportions se multiplient. C’est la même logique que deux coefficients appliqués l’un après l’autre.
Exemple : Dans un club, 60 % des membres sont des femmes. Parmi ces femmes, 30 % pratiquent la compétition. Quelle proportion de compétitrices dans le club entier ?
On applique la seconde proportion à la première :
\(p = 0{,}60 \times 0{,}30 = 0{,}18\)
18 % des membres du club sont des femmes en compétition. On ne fait surtout pas \(0{,}60 + 0{,}30\) : additionner n’a aucun sens ici.
Pour vérifier, on peut raisonner sur un effectif concret. Sur 100 membres : 60 femmes, dont 30 % en compétition, soit \(0{,}30 \times 60 = 18\) compétitrices sur 100 membres, donc bien 18 %. Ce raisonnement par « population fictive de 100 » est un excellent réflexe de contrôle.
🔴 Vers la prépa Cette multiplication des proportions est exactement la formule des probabilités composées : la proportion des femmes en compétition parmi tout le club correspond à \(P(F \cap C) = P(F) \times P_F(C)\), où \(P_F(C)\) est la probabilité conditionnelle « compétition sachant femme ». En Première puis en prépa (notamment dans les classes préparatoires ECG), tu retrouveras ce calcul sous forme d’arbre pondéré et de formule des probabilités totales.
VI. Proportion, fréquence et pourcentage : trois mots, une idée
Ces trois termes reviennent sans cesse et créent de la confusion. Ce tableau fixe une fois pour toutes qui est qui.
| Terme | Où on l’emploie | Écriture typique | Valeur |
|---|---|---|---|
| Proportion | Vocabulaire général, pourcentages | \(\displaystyle\frac{n}{N}\) | Entre 0 et 1 |
| Fréquence | Statistiques (séries de données) | \(f_i = \displaystyle\frac{n_i}{N}\) | Entre 0 et 1 |
| Pourcentage | Communication, vie courante | \(p \times 100\) | Entre 0 et 100 |
La seule différence entre proportion et pourcentage est le facteur 100 : le pourcentage est une proportion « habillée » pour la lecture. Quant à la fréquence, c’est le nom que prend la proportion dès qu’on travaille sur une série statistique. Pour les distributions et les fréquences cumulées, va voir la page effectifs et fréquences.
VII. Exercices corrigés
Entraîne-toi sur ces cinq exercices de difficulté croissante. Cherche la solution avant d’ouvrir la correction, c’est ainsi que la méthode s’installe durablement.
Exercice 1 — Proportion simple ★
Une bibliothèque possède 2 500 ouvrages, dont 750 romans. Quelle est la proportion de romans, en pourcentage ?
Voir la correction de l’exercice 1
Le tout : \(N = 2500\). La partie : \(n = 750\).
\(p = \displaystyle\frac{750}{2500} = 0{,}3\)En pourcentage : \(0{,}3 \times 100 = 30\%\). 30 % des ouvrages sont des romans.
Exercice 2 — Retrouver un effectif ★
Dans une entreprise de 480 salariés, 45 % ont moins de 35 ans. Combien de salariés cela représente-t-il ?
Voir la correction de l’exercice 2
On cherche la partie \(n\) à partir de \(p = 0{,}45\) et \(N = 480\) :
\(n = p \times N = 0{,}45 \times 480 = 216\)216 salariés ont moins de 35 ans.
Exercice 3 — Retrouver le total ★★
Dans une salle, 84 personnes portent des lunettes, ce qui représente 35 % de l’assistance. Combien y a-t-il de personnes en tout ?
Voir la correction de l’exercice 3
On connaît la partie \(n = 84\) et la proportion \(p = 0{,}35\), on cherche le tout \(N\) :
\(N = \displaystyle\frac{n}{p} = \displaystyle\frac{84}{0{,}35} = 240\)L’assistance compte 240 personnes. Vérification : \(0{,}35 \times 240 = 84\) ✓
Exercice 4 — Proportion de proportion ★★
Dans un collège, 55 % des élèves sont en cycle 4. Parmi eux, 40 % font de l’allemand. Quelle proportion d’élèves du collège font de l’allemand en cycle 4 ?
Voir la correction de l’exercice 4
Les deux proportions se multiplient (on prend une part d’une part) :
\(p = 0{,}55 \times 0{,}40 = 0{,}22\)22 % des élèves du collège font de l’allemand en cycle 4. Piège évité : on ne fait pas \(0{,}55 + 0{,}40\).
Exercice 5 — Regrouper deux groupes ★★★
Deux classes passent le même test. En 2nde A, 18 élèves sur 30 ont la moyenne. En 2nde B, 21 élèves sur 35 ont la moyenne. Un élève affirme : « la proportion globale d’élèves ayant la moyenne est \(\displaystyle\frac{60\% + 60\%}{2} = 60\%\) ». A-t-il raison ? Et si la 2nde B avait 24 élèves sur 40 avec la moyenne ?
Voir la correction de l’exercice 5
Premier cas. On ne moyenne jamais des proportions sans revenir aux effectifs. On additionne parties et touts :
\(p = \displaystyle\frac{18 + 21}{30 + 35} = \displaystyle\frac{39}{65} = 0{,}6\)Soit 60 %. Ici l’élève tombe juste, mais par chance : les deux classes ont la même proportion (60 %), donc la moyenne simple redonne 60 %.
Second cas (2nde B : 24 sur 40, soit 60 % aussi). La moyenne des deux proportions donnerait encore 60 %, et le vrai calcul donne :
\(p = \displaystyle\frac{18 + 24}{30 + 40} = \displaystyle\frac{42}{70} = 0{,}6\)Toujours 60 %, car les deux proportions sont égales. La règle générale reste : on ne moyenne pas deux proportions, on additionne les effectifs. La moyenne simple ne marche que si les deux groupes ont la même taille ou la même proportion, un cas particulier trompeur qu’éclaire la moyenne pondérée.
VIII. Et après la Seconde ?
La proportion est la porte d’entrée de tout un pan du programme de lycée et du supérieur. Voici ce qui t’attend, avec un formalisme croissant.
🟡 Fin de Seconde et Première Dès qu’une proportion évolue dans le temps, on parle de taux d’évolution et de coefficient multiplicateur. Le point clé : quand deux évolutions se succèdent, on multiplie les coefficients, on n’additionne pas les taux, exactement la logique de la « proportion de proportion » vue plus haut.
🔴 Prépa En probabilités, la proportion devient une fréquence expérimentale qui se rapproche de la probabilité théorique quand l’effectif grandit : c’est la loi des grands nombres. En économie (prépa ECG), les indices base 100 permettent de comparer des évolutions de proportions à partir d’une année de référence. Le rapport \(\displaystyle\frac{n}{N}\) que tu manipules aujourd’hui est le même objet, simplement replacé dans un cadre plus abstrait.
IX. Les erreurs classiques
Trois erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les repérer une fois suffit souvent à ne plus les commettre.
❌ Copie fautive : « 12 filles sur 20 élèves, donc proportion \(= \displaystyle\frac{20}{12} \approx 1{,}67\). »
Diagnostic : la fraction est inversée. Une proportion ne dépasse jamais 1.
✅ Correction : \(p = \displaystyle\frac{12}{20} = 0{,}6\), soit 60 %. Toujours « partie sur tout ».
❌ Copie fautive : « 60 % de femmes, dont 30 % en compétition, donc \(60 + 30 = 90\%\) de compétitrices. »
Diagnostic : on additionne deux proportions qui ne portent pas sur le même ensemble. Les 30 % sont calculés sur les femmes, pas sur le club entier.
✅ Correction : \(0{,}60 \times 0{,}30 = 0{,}18\), soit 18 %.
❌ Copie fautive : « 60 % dans une classe, 50 % dans l’autre, donc \(\displaystyle\frac{60 + 50}{2} = 55\%\) en tout. »
Diagnostic : on moyenne des pourcentages alors que les classes n’ont pas forcément le même effectif. C’est faux dès que les tailles diffèrent.
✅ Correction : revenir aux effectifs et calculer \(\displaystyle\frac{n_1 + n_2}{N_1 + N_2}\).
X. Où en es-tu dans la progression ?
La notion de proportion se construit du primaire jusqu’au supérieur. Voici la ligne de progression, ta position en surbrillance :
CM1 → CM2 → 6ème → 5ème → 4ème → 3ème → Seconde → Prépa
Réviser les bases : si les fractions et les pourcentages te posent encore problème, reprends la proportionnalité en 3ème avant d’aller plus loin. La suite du programme : attaque les évolutions successives avec le taux d’évolution. Ce qui change en Seconde, c’est qu’on ne se contente plus de calculer une part : on la fait évoluer, on la compare et on la combine.
XI. Questions fréquentes
Comment calculer une proportion en pourcentage ?
On divise l’effectif de la partie par l’effectif total, puis on multiplie par 100. Par exemple, 15 élèves absents sur 25 donnent une proportion de \(\displaystyle\frac{15}{25} = 0{,}6\), soit \(0{,}6 \times 100 = 60\%\) d’absents.
Quelle est la différence entre une proportion et un pourcentage ?
C’est la même quantité écrite différemment. La proportion est un nombre entre 0 et 1 (par exemple \(0{,}6\)), le pourcentage est cette proportion multipliée par 100 (soit 60 %). Le symbole \(\%\) signifie « pour cent », c’est-à-dire une division par 100.
Peut-on additionner deux proportions ?
Non, sauf si elles portent sur le même ensemble de référence. On ne peut pas ajouter 60 % de femmes et 30 % de compétitrices parmi ces femmes : la seconde proportion est calculée sur un sous-groupe. Pour une part d’une part, on multiplie ; pour regrouper deux groupes, on additionne les effectifs puis on divise.
Comment retrouver l'effectif total à partir d'une proportion ?
On utilise \(N = \displaystyle\frac{n}{p}\). Si 84 personnes représentent 35 % d’un groupe, alors le groupe compte \(\displaystyle\frac{84}{0{,}35} = 240\) personnes. Le produit en croix donne le même résultat.
Une proportion peut-elle être supérieure à 1 ?
Non. La partie est toujours incluse dans le tout, donc \(0 \leq p \leq 1\), soit entre 0 % et 100 %. Un résultat supérieur à 1 signale une fraction inversée : tu as mis le tout au numérateur au lieu de la partie.
XII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant calculer une proportion dans tous les sens et éviter les pièges classiques. Pour consolider les notions voisines :
- Calcul du Taux de Variation (Seconde) : Méthode
- Calculatrice du taux de variation (calculateur en ligne)
- Moyenne pondérée : définition, formule et calcul
- L’ordre de grandeur : méthode pour estimer et vérifier un calcul
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