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Un jean à 60 € affiche « −30 % » : tu peux calculer le prix final en deux façons. Soit tu enchaînes soustraction et multiplication, soit tu multiplies directement par 0,70. Ce nombre magique, c’est le coefficient multiplicateur. Il transforme n’importe quelle évolution en pourcentage en une simple multiplication, et c’est exactement ce qui te fait gagner du temps aux contrôles de Seconde et en SES.
Réponse directe — Le coefficient multiplicateur
Le coefficient multiplicateur (CM) est le nombre par lequel on multiplie une valeur de départ pour obtenir la valeur d’arrivée après une évolution. Pour un taux \(t\) exprimé en %, il vaut \(CM = 1 + \displaystyle\frac{t}{100}\) (hausse) ou \(CM = 1- \displaystyle\frac{t}{100}\) (baisse).
I. La formule du coefficient multiplicateur
Toute évolution en pourcentage peut s’écrire comme une multiplication. Si une grandeur passe d’une valeur de départ à une valeur d’arrivée, il existe un nombre unique qui relie les deux : c’est le coefficient multiplicateur.
Formule — Du taux au coefficient
Pour une hausse de \(t\) % : \(CM = 1 + \displaystyle\frac{t}{100}\).
Pour une baisse de \(t\) % : \(CM = 1- \displaystyle\frac{t}{100}\).
La relation entre valeur de départ \(V_D\) et valeur d’arrivée \(V_A\) est alors :
\(V_A = V_D \times CM\)
A. Lire un coefficient multiplicateur
La valeur du coefficient dit tout de suite ce qui se passe :
- un coefficient supérieur à 1 correspond à une hausse (exemple : 1,08 pour +8 %) ;
- un coefficient égal à 1 signifie aucune évolution ;
- un coefficient compris entre 0 et 1 correspond à une baisse (exemple : 0,70 pour −30 %).
B. Retrouver le taux à partir du coefficient
Le passage se fait aussi dans l’autre sens, et c’est là que beaucoup d’élèves se trompent. On isole le taux :
Passage inverse : \(t = (CM- 1) \times 100\).
Si le résultat est positif, c’est une hausse ; s’il est négatif, c’est une baisse. Exemple : \(CM = 0{,}85 \Rightarrow t = (0{,}85- 1) \times 100 = -15\), soit une baisse de 15 %.
| Évolution | Taux \(t\) | Coefficient \(CM\) |
|---|---|---|
| Hausse | +5 % | \(1{,}05\) |
| Hausse | +20 % | \(1{,}20\) |
| Hausse | +100 % | \(2\) |
| Baisse | −10 % | \(0{,}90\) |
| Baisse | −25 % | \(0{,}75\) |
| Baisse | −100 % | \(0\) |
Ce va-et-vient entre taux et coefficient est le cœur de la notion. Voyons maintenant pourquoi cette formule est vraie, et pas seulement une recette à retenir.
II. Pourquoi la formule fonctionne
Une hausse de \(t\) % consiste à ajouter à la valeur de départ une part égale à \(t\) % de cette valeur. Autrement dit :
\(V_A = V_D + \displaystyle\frac{t}{100} \times V_D\)On peut alors factoriser par \(V_D\), c’est l’étape clé :
\(V_A = V_D \times \left(1 + \displaystyle\frac{t}{100}\right)\)Le facteur entre parenthèses est exactement le coefficient multiplicateur. La formule n’est donc pas arbitraire : c’est une simple factorisation. Pour une baisse, on retranche au lieu d’ajouter, ce qui donne le signe « moins ».
Vérification : un salaire de 1 800 € augmente de 6 %.
Méthode longue : \(1800 + \displaystyle\frac{6}{100} \times 1800 = 1800 + 108 = 1908\).
Méthode coefficient : \(1800 \times 1{,}06 = 1908\) ✓. Même résultat, une seule multiplication.
Cette écriture multiplicative fait le lien avec la fonction linéaire : appliquer une évolution, c’est multiplier par un nombre fixe, exactement comme un coefficient de proportionnalité. C’est ce qui rend le coefficient si puissant quand on enchaîne plusieurs évolutions.
La fiche méthode « Coefficient multiplicateur » en PDF
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III. La méthode pas à pas
Pour utiliser le coefficient multiplicateur sans erreur, procède toujours dans le même ordre.
Les 4 étapes
- Repérer le sens de l’évolution : hausse ou baisse ?
- Traduire le taux en coefficient : \(1 + \displaystyle\frac{t}{100}\) pour une hausse, \(1- \displaystyle\frac{t}{100}\) pour une baisse.
- Multiplier la valeur de départ par ce coefficient pour obtenir la valeur d’arrivée.
- Contrôler la cohérence : un coefficient plus grand que 1 doit augmenter la valeur, un coefficient plus petit que 1 doit la diminuer.
Une fois ces étapes automatiques, tu passes à des situations plus riches. Regardons quatre exemples de difficulté croissante.
IV. Exemples résolus
🔵 Exemple 1 — Une hausse simple (Seconde). Un abonnement de 45 € augmente de 12 %. Quel est le nouveau prix ?
Coefficient : \(1 + \displaystyle\frac{12}{100} = 1{,}12\). Nouveau prix : \(45 \times 1{,}12 = 50{,}40\) €.
🔵 Exemple 2 — Une baisse simple (Seconde). Un article à 80 € subit une remise de 35 %. Prix soldé ?
Coefficient : \(1- \displaystyle\frac{35}{100} = 0{,}65\). Prix soldé : \(80 \times 0{,}65 = 52\) €.
🟠 Exemple 3 — Deux évolutions successives (Seconde/Première). Un prix augmente de 10 % puis baisse de 5 %. Quelle est l’évolution globale ?
On multiplie les coefficients : \(1{,}10 \times 0{,}95 = 1{,}045\). Le coefficient global vaut 1,045, soit une hausse globale de 4,5 %, et non de 5 %. On développe ce point sur la page taux d’évolution.
🟠 Exemple 4 — Retrouver la valeur de départ (le coefficient réciproque). Après une hausse de 25 %, un loyer atteint 750 €. Quel était le loyer initial ?
Ici la valeur d’arrivée est connue, pas celle de départ. On divise par le coefficient : \(V_D = \displaystyle\frac{750}{1{,}25} = 600\) €. Le coefficient qui « annule » la hausse est le coefficient réciproque \(\displaystyle\frac{1}{1{,}25} = 0{,}80\), soit une baisse de 20 % (et non de 25 %).
Ces exemples couvrent l’essentiel des questions de contrôle. Tu peux les garder sous la main grâce à la fiche méthode imprimable.
V. Coefficient multiplicateur ou taux d’évolution ?
Les deux notions décrivent la même chose, une évolution, mais avec deux outils différents. Savoir quand utiliser l’un plutôt que l’autre t’évite les erreurs les plus fréquentes.
| Critère | Coefficient multiplicateur | Taux d’évolution |
|---|---|---|
| Ce qu’il mesure | Le facteur qui multiplie la valeur | La variation relative, en % |
| Nature | Un nombre (souvent proche de 1) | Un pourcentage (positif ou négatif) |
| Formule | \(CM = 1 + \displaystyle\frac{t}{100}\) | \(t = \displaystyle\frac{V_A- V_D}{V_D} \times 100\) |
| Évolutions successives | On multiplie les coefficients | On ne peut pas additionner les taux |
| Idéal pour | Enchaîner et calculer vite | Exprimer et comparer une variation |
En résumé : on calcule avec le coefficient (multiplications successives, valeur finale, valeur initiale), et on communique avec le taux (« +4,5 % sur l’année »). Les deux sont conjoints au programme de Seconde : maîtriser le passage de l’un à l’autre, c’est maîtriser tout le chapitre des évolutions.
VI. Quand le coefficient multiplicateur ne s’applique pas
Le coefficient multiplicateur ne fonctionne que pour des évolutions relatives (exprimées en pourcentage). Il ne s’applique pas à toutes les variations.
- Variation absolue. « Le prix augmente de 10 € » n’est pas un pourcentage : ici on additionne, il n’y a pas de coefficient unique valable pour tous les prix.
- Évolutions successives à ne surtout pas additionner. +10 % puis +10 % ne donnent pas +20 % mais \(1{,}10 \times 1{,}10 = 1{,}21\), soit +21 %.
- Le piège de la symétrie. Une baisse de 20 % suivie d’une hausse de 20 % ne ramène pas au prix de départ : \(0{,}80 \times 1{,}20 = 0{,}96\), soit une baisse nette de 4 %.
Le test avant de calculer : pose-toi la question « l’énoncé parle-t-il d’un pourcentage d’évolution ? ». Si oui, le coefficient s’applique. Si l’énoncé donne une quantité fixe ajoutée ou retirée (euros, kg, points), reste sur une addition ou une soustraction directe.
VII. Le coefficient multiplicateur en SES et en économie
Si tu croises cette notion en Sciences économiques et sociales, c’est exactement le même outil, avec un vocabulaire économique. On y parle souvent d’un coefficient reliant deux grandeurs sur plusieurs années.
Exemple typique : « le PIB a été multiplié par 1,3 en dix ans » signifie un coefficient multiplicateur de 1,3, soit une hausse de 30 % sur la période. La lecture est immédiate avec la formule \(t = (CM- 1) \times 100\).
Le réflexe SES : pour comparer deux évolutions, on compare directement leurs coefficients. Un secteur au coefficient 1,45 a progressé davantage qu’un secteur au coefficient 1,20, sans avoir à recalculer les taux.
Le coefficient est aussi l’outil des évolutions moyennes et des indices, que tu retrouveras au lycée et en études supérieures.
VIII. 🔴 Vers la prépa : indices, taux moyen et suites géométriques
Cette section dépasse la Seconde : elle s’adresse aux élèves de Première, de terminale ou de prépa (ECG notamment) qui veulent voir où mène le coefficient multiplicateur.
A. Les indices base 100
Un indice base 100 exprime une évolution par rapport à une valeur de référence fixée à 100. Un indice de 112 signifie un coefficient de 1,12 depuis la base, soit +12 %. L’indice est simplement le coefficient multiplicateur exprimé sur une base de 100.
B. Taux d’évolution moyen
Quand une grandeur subit \(n\) évolutions successives de coefficient global \(C\), le coefficient moyen \(c_m\) vérifie :
\(c_m^{\,n} = C \quad \text{donc} \quad c_m = C^{\displaystyle\frac{1}{n}}\)Le coefficient moyen est donc la moyenne géométrique des coefficients, jamais la moyenne arithmétique des taux. Exemple : un prix multiplié par 1,21 en 2 ans a un coefficient moyen annuel \(\sqrt{1{,}21} = 1{,}10\), soit +10 % par an.
C. Lien avec les suites géométriques
Appliquer chaque année le même coefficient \(q\), c’est construire une suite géométrique de raison \(q\) : \(V_n = V_0 \times q^{\,n}\). Le coefficient multiplicateur est donc la raison d’une suite géométrique appliquée à des évolutions constantes.
IX. Exercices d’application corrigés
Exercice 1 — Du taux au coefficient ★
Donne le coefficient multiplicateur associé à : une hausse de 15 %, une baisse de 8 %, une hausse de 200 %.
Voir la correction de l’exercice 1
Hausse de 15 % : \(1 + \displaystyle\frac{15}{100} = 1{,}15\).
Baisse de 8 % : \(1- \displaystyle\frac{8}{100} = 0{,}92\).
Hausse de 200 % : \(1 + \displaystyle\frac{200}{100} = 3\).
Coefficients : 1,15 · 0,92 · 3.
Exercice 2 — Du coefficient au taux ★
Interprète chaque coefficient sous forme d’évolution en % : 1,04 ; 0,75 ; 1,5 ; 0,98.
Voir la correction de l’exercice 2
On applique \(t = (CM- 1) \times 100\).
\(1{,}04 \to +4\%\) ; \(0{,}75 \to -25\%\) ; \(1{,}5 \to +50\%\) ; \(0{,}98 \to -2\%\).
Hausse de 4 %, baisse de 25 %, hausse de 50 %, baisse de 2 %.
Exercice 3 — Appliquer une évolution ★★
Le prix d’un ordinateur est de 640 €. Il baisse de 12,5 %. Calcule le nouveau prix, puis le montant de la remise.
Voir la correction de l’exercice 3
Coefficient : \(1- \displaystyle\frac{12{,}5}{100} = 0{,}875\).
Nouveau prix : \(640 \times 0{,}875 = 560\) €.
Montant de la remise : \(640- 560 = 80\) €.
Le nouveau prix est de 560 €, la remise de 80 €.
Exercice 4 — Retrouver la valeur initiale ★★
Après une hausse de 4 %, le prix d’un billet de train atteint 78 €. Quel était son prix avant la hausse ?
Voir la correction de l’exercice 4
Le coefficient de la hausse est \(1{,}04\). La valeur d’arrivée étant connue, on divise :
\(V_D = \displaystyle\frac{78}{1{,}04} = 75\) €.
Le billet coûtait 75 € avant la hausse. Vérification : \(75 \times 1{,}04 = 78\) ✓.
Exercice 5 — Évolutions successives et raisonnement ★★★
Le nombre d’abonnés d’une chaîne augmente de 30 % la première année, puis diminue de 30 % la deuxième année. Un ami affirme : « au total, ça n’a pas bougé ». A-t-il raison ? Justifie et donne l’évolution globale exacte.
Voir la correction de l’exercice 5
On ne peut pas additionner les taux (+30 % puis −30 %). On multiplie les coefficients :
\(1{,}30 \times 0{,}70 = 0{,}91\).
Le coefficient global vaut 0,91, soit \(t = (0{,}91- 1)\times 100 = -9\%\).
L’ami a tort : au total, le nombre d’abonnés a baissé de 9 %. La hausse porte sur une valeur plus petite que la baisse qui suit, d’où la perte finale.
Exercice 6 — Taux moyen (vers la prépa) ★★★
En 3 ans, le chiffre d’affaires d’une entreprise a été multiplié par 1,331. On veut le taux d’évolution annuel moyen, supposé constant. Détermine-le.
Voir la correction de l’exercice 6
Le coefficient annuel moyen \(c_m\) vérifie \(c_m^{\,3} = 1{,}331\), donc :
\(c_m = 1{,}331^{\displaystyle\frac{1}{3}} = 1{,}10\).
Le taux annuel moyen est \((1{,}10- 1)\times 100 = 10\%\).
Le chiffre d’affaires a progressé en moyenne de 10 % par an. Vérification : \(1{,}10^3 = 1{,}331\) ✓.
X. Les erreurs classiques
❌ Copie fautive : « Baisse de 30 % donc je multiplie par 0,30. »
Diagnostic : confusion entre le taux et le coefficient. 0,30 correspondrait à une baisse de 70 %, pas de 30 %.
✅ Correction : une baisse de 30 % donne \(1- \displaystyle\frac{30}{100} = 0{,}70\). On multiplie par 0,70.
❌ Copie fautive : « +8 % puis +8 %, donc +16 % au total. »
Diagnostic : on ne peut pas additionner des taux d’évolutions successives.
✅ Correction : \(1{,}08 \times 1{,}08 = 1{,}1664\), soit +16,64 %.
❌ Copie fautive : « Pour annuler une hausse de 25 %, j’applique une baisse de 25 %. »
Diagnostic : le coefficient réciproque de 1,25 n’est pas 0,75.
✅ Correction : il faut multiplier par \(\displaystyle\frac{1}{1{,}25} = 0{,}80\), soit une baisse de 20 %.
XI. Questions fréquentes
Comment passer d'un taux à un coefficient multiplicateur ?
On ajoute ou retranche le taux à 1. Pour une hausse de \(t\) % : \(CM = 1 + \displaystyle\frac{t}{100}\). Pour une baisse : \(CM = 1- \displaystyle\frac{t}{100}\). Exemple : +18 % donne 1,18 ; −40 % donne 0,60.
Quelle est la différence entre coefficient multiplicateur et taux d'évolution ?
Le taux d’évolution est la variation exprimée en pourcentage (par exemple +5 %) ; le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel on multiplie la valeur (1,05). On calcule avec le coefficient, notamment pour enchaîner des évolutions, et on communique avec le taux. Les deux sont liés par \(CM = 1 + \displaystyle\frac{t}{100}\).
Un coefficient multiplicateur peut-il être inférieur à 1 ?
Oui. Un coefficient compris entre 0 et 1 correspond à une baisse : 0,90 signifie −10 %, 0,50 signifie −50 %. Un coefficient égal à 1 signifie aucune évolution, et un coefficient supérieur à 1 correspond à une hausse.
Comment calculer le coefficient multiplicateur réciproque ?
Le coefficient réciproque est l’inverse : \(\displaystyle\frac{1}{CM}\). Il permet de revenir à la valeur de départ. Pour une hausse de 25 % (coefficient 1,25), le réciproque est \(\displaystyle\frac{1}{1{,}25} = 0{,}80\), soit une baisse de 20 %.
Peut-on additionner des pourcentages d'évolution ?
Non, jamais pour des évolutions successives. Il faut multiplier les coefficients. +10 % puis +20 % donnent \(1{,}10 \times 1{,}20 = 1{,}32\), soit +32 % et non +30 %.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le coefficient multiplicateur, son passage vers le taux et son usage dans les évolutions successives. Pour approfondir les notions voisines :
- Calcul du Taux de Variation (Seconde) : Méthode
- Calculatrice du taux de variation (calculateur en ligne)
- Moyenne pondérée : définition, formule et calcul
- L’ordre de grandeur : méthode pour estimer et vérifier un calcul
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