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Quand tu doubles la quantité de farine dans une recette, tu doubles aussi le nombre de gâteaux : c’est ça, la proportionnalité. Une fois que tu la maîtrises, tu peux calculer un prix, une distance, une remise ou une recette sans jamais te tromper. Ce cours te fait tout comprendre, du CM1 à la 3ème.
La proportionnalité en une phrase
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre s’appelle le coefficient de proportionnalité. Par exemple, si 1 croissant coûte 2 €, alors 3 croissants coûtent 3 × 2 = 6 € : le prix est proportionnel à la quantité.
I. Qu’est-ce que la proportionnalité ?
Imagine que tu achètes des pommes au marché. À 3 € le kilo, 2 kilos coûtent 6 €, 3 kilos coûtent 9 €, 4 kilos coûtent 12 €. À chaque fois, tu multiplies le nombre de kilos par 3 pour obtenir le prix. On dit alors que le prix est proportionnel à la masse.
On appelle « grandeurs » les deux choses qui varient ensemble : ici, la masse de pommes et le prix. Elles sont proportionnelles parce qu’il existe un nombre fixe (le 3) qui permet de passer de l’une à l’autre, toujours de la même façon.
| Masse (en kg) | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 3 | 6 | 9 | 12 |
Observe bien : on passe toujours de la ligne du haut à la ligne du bas en multipliant par 3. C’est la signature de la proportionnalité. Voyons maintenant comment on nomme ce fameux nombre.
II. Le coefficient de proportionnalité
Le nombre par lequel on multiplie s’appelle le coefficient de proportionnalité. Dans l’exemple des pommes, il vaut 3 (chaque kilo coûte 3 €). On le trouve en divisant une valeur de la ligne du bas par la valeur correspondante de la ligne du haut : 9 ÷ 3 = 3.
À retenir : pour trouver le coefficient, on divise une valeur d’arrivée par la valeur de départ correspondante. Ici : \(\displaystyle\frac{12}{4} = 3\).
C’est un outil tellement central qu’on lui consacre une page entière. Pour apprendre à le calculer dans les deux sens de lecture d’un tableau, va voir le coefficient de proportionnalité.
La fiche de révision proportionnalité, prête à imprimer
Coefficient, tableau, produit en croix, règle de trois et pourcentages : tout le cours résumé sur une fiche claire.
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III. Reconnaître une situation de proportionnalité
Avant de calculer, il faut vérifier une chose : est-on vraiment en situation de proportionnalité ? Sinon, tous tes calculs seront faux. Deux tests simples permettent de le savoir.
- Dans un tableau : on passe de la ligne du haut à la ligne du bas toujours en multipliant par le même nombre.
- Sur un graphique : les points sont alignés et la droite passe par l’origine (le point de départ, en bas à gauche).
C’est le second point qui fait le plus d’erreurs : une droite peut être bien droite sans passer par l’origine, et dans ce cas il n’y a pas proportionnalité. Pour t’entraîner à repérer ces cas, consulte la page reconnaître une situation de proportionnalité.
IV. Les quatre outils de calcul
Une fois que tu es sûr d’être en proportionnalité, tu as quatre outils pour trouver une valeur manquante. Ils donnent tous le même résultat : tu choisis simplement le plus rapide selon la situation.
A. Le tableau de proportionnalité
On range les grandeurs sur deux lignes et on utilise le coefficient pour compléter les cases. C’est l’outil de base dès le CM2. Méthode complète sur la page le tableau de proportionnalité.
B. Le produit en croix
Dans un tableau à quatre cases dont une est inconnue, on multiplie en diagonale puis on divise. Très pratique quand le coefficient « tombe mal » (nombre décimal compliqué). Détails et démonstration sur le produit en croix.
C. La règle de trois
On revient d’abord à « pour 1 » (la valeur unitaire), puis on multiplie. C’est la méthode la plus intuitive dans la vie courante. Voir la règle de trois.
D. Les propriétés de linéarité
On additionne ou on multiplie les colonnes entre elles. Par exemple, si 2 kg coûtent 6 € et 3 kg coûtent 9 €, alors 5 kg coûtent 6 + 9 = 15 € (on additionne). Astucieux quand les nombres se combinent facilement.
| Outil | Idéal quand… | À partir de |
|---|---|---|
| Tableau + coefficient | le coefficient est simple (2, 3, 10…) | CM2 |
| Produit en croix | le coefficient « tombe mal » | 5ème |
| Règle de trois | on veut passer par la valeur pour 1 | CM2 |
| Linéarité | les colonnes s’additionnent facilement | 6ème |
Ces quatre outils t’accompagnent jusqu’au brevet. Mais attention : ils ne fonctionnent que si tu es vraiment en proportionnalité. Voyons les cas piégeux.
V. Quand la proportionnalité ne s’applique pas
C’est l’erreur la plus fréquente : appliquer un produit en croix ou une règle de trois à une situation qui ressemble à de la proportionnalité mais qui n’en est pas. Voici trois pièges classiques.
- L’aire d’un carré. Un carré de côté 2 cm a une aire de 4 cm². Si on double le côté (4 cm), l’aire ne double pas : elle devient 16 cm² (4 × 4). L’aire n’est pas proportionnelle au côté.
- L’âge. Ton grand frère a 6 ans de plus que toi. Ce n’est pas proportionnel : quand tu avais 2 ans il en avait 8, mais 8 n’est pas un multiple fixe de 2. On ajoute toujours 6, on ne multiplie pas.
- Les tarifs par paliers. Un abonnement peut coûter 10 € pour le premier mois puis 5 € les suivants. Le prix n’est pas proportionnel au nombre de mois.
Le réflexe qui sauve : avant tout calcul, demande-toi « est-ce que je multiplie toujours par le même nombre ? ». Si la réponse est « non, j’ajoute une valeur fixe » ou « ça dépend », ce n’est pas de la proportionnalité.
Retenir ces contre-exemples te protège de la moitié des erreurs de contrôle. Passons maintenant à l’application la plus utile de la proportionnalité : les pourcentages.
VI. Proportionnalité et pourcentages
Un pourcentage, c’est une proportion « sur 100 ». Dire « 20 % des élèves » signifie « 20 élèves sur 100 ». Calculer un pourcentage revient donc à faire de la proportionnalité avec 100 comme repère.
Exemple : une classe de 25 élèves, dont 20 % font de l’espagnol. Combien d’élèves font de l’espagnol ?
On cherche 20 % de 25, c’est-à-dire \(\displaystyle\frac{20}{100} \times 25 = 5\). Il y a donc 5 élèves en espagnol.
Les pourcentages servent partout : soldes, augmentations, réductions, statistiques. Pour maîtriser tous les cas de figure, va voir calculer un pourcentage, puis augmentation et diminution en % et le calcul d’une réduction.
VII. La proportionnalité inverse
Il existe une cousine de la proportionnalité : la proportionnalité inverse. Ici, quand une grandeur augmente, l’autre diminue, mais le produit des deux reste constant.
Exemple : 6 ouvriers construisent un mur en 4 heures. Combien de temps pour 12 ouvriers ?
Deux fois plus d’ouvriers, donc deux fois moins de temps : 12 ouvriers mettront 2 heures. On vérifie : 6 × 4 = 24 et 12 × 2 = 24. Le produit reste bien le même.
Attention à ne pas confondre : dans une proportionnalité directe, on multiplie par le même nombre ; dans une proportionnalité inverse, c’est le produit qui reste constant. Si tu appliquais un produit en croix classique ici, tu te tromperais.
VIII. Le symbole ∝ et le vocabulaire
En mathématiques, on note parfois la proportionnalité avec le symbole ∝ : « prix ∝ masse » se lit « le prix est proportionnel à la masse ». Tu le croiseras surtout au lycée ; au collège, on écrit le plus souvent la phrase en toutes lettres.
Voici le petit vocabulaire à connaître pour ne jamais être perdu :
- Grandeurs proportionnelles : deux grandeurs reliées par un coefficient fixe.
- Coefficient de proportionnalité : le nombre par lequel on multiplie.
- Quatrième proportionnelle : la valeur manquante qu’on cherche dans un tableau à quatre cases.
- Grandeurs inversement proportionnelles : deux grandeurs dont le produit reste constant.
Ce vocabulaire ne s’apprend pas d’un coup : il se construit année après année. Voyons comment.
IX. La proportionnalité niveau par niveau (CM1 → 3ème)
La proportionnalité est l’un des rares chapitres qu’on retrouve chaque année, du CM1 à la 3ème, en montant à chaque fois d’un cran. Voici ce que tu ajoutes à chaque niveau. Repère où tu en es dans cette progression.
| Niveau | Ce qui apparaît | Pas encore au programme |
|---|---|---|
| CM1 | Premières situations, on multiplie et on additionne les valeurs | Le mot « coefficient » |
| CM2 | Tableau, règle de trois par passage à l’unité | Le produit en croix |
| 6ème | Tableau nommé, coefficient explicite, premiers pourcentages | Le produit en croix |
| 5ème | Échelles, pourcentages simples, propriétés de linéarité | Le produit en croix |
| 4ème | Produit en croix, augmentations et diminutions en %, vitesse et grandeurs composées | La fonction linéaire |
| 3ème | Ratio, fonction linéaire, proportionnalité en géométrie (Thalès) | Les évolutions successives |
Pour t’entraîner sur ton niveau précis, choisis ta classe :
- Proportionnalité CM1 et CM2
- Proportionnalité 6ème et 5ème
- Proportionnalité 4ème et 3ème (spécial brevet)
- Le ratio en maths, la version 3ème de la proportionnalité
Tu retrouveras aussi la proportionnalité en géométrie, notamment avec les échelles en 5ème et l’agrandissement-réduction en 3ème.
X. Exemples d’application
Exemple 1 — Recette. Une recette pour 4 personnes demande 200 g de farine. Combien pour 6 personnes ?
Passons par 1 personne : 200 ÷ 4 = 50 g par personne. Pour 6 personnes : 50 × 6 = 300 g.
Exemple 2 — Vitesse. Une voiture parcourt 90 km en 1 heure à vitesse constante. Quelle distance en 20 minutes ?
20 minutes, c’est le tiers d’une heure. On divise donc la distance par 3 : 90 ÷ 3 = 30 km.
Exemple 3 — Produit en croix. 7 stylos coûtent 8,40 €. Combien coûtent 5 stylos ?
On dresse un tableau et on croise : \(\displaystyle\frac{8{,}40 \times 5}{7} = \displaystyle\frac{42}{7} = 6\). Les 5 stylos coûtent 6 €.
Pour aller plus loin, une série complète d’énoncés progressifs t’attend sur les exercices de proportionnalité corrigés.
XI. Les erreurs classiques
❌ Copie fautive : « Le côté d’un carré passe de 3 cm à 6 cm, donc l’aire passe de 9 cm² à 18 cm². »
Diagnostic : l’élève applique la proportionnalité à l’aire, mais l’aire n’est pas proportionnelle au côté.
✅ Correction : l’aire d’un carré de côté 6 cm vaut 6 × 6 = 36 cm², pas 18.
❌ Copie fautive : « Une baisse de 20 % puis une hausse de 20 %, ça revient au prix de départ. »
Diagnostic : on ne peut pas additionner ni annuler des pourcentages qui s’appliquent à des valeurs différentes.
✅ Correction : 100 € → −20 % = 80 € → +20 % = 96 €. On ne revient pas à 100 €.
❌ Copie fautive : appliquer un produit en croix à un problème d’ouvriers (12 ouvriers → 8 heures).
Diagnostic : c’est une proportionnalité inverse, pas directe.
✅ Correction : deux fois plus d’ouvriers = deux fois moins de temps. On divise, on ne multiplie pas.
XII. Questions fréquentes
C'est quoi la proportionnalité en maths ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Par exemple, si 1 kg de pommes coûte 3 €, le prix est proportionnel à la masse : 2 kg coûtent 6 €, 3 kg coûtent 9 €.
Comment reconnaître une situation de proportionnalité ?
Deux vérifications : dans un tableau, on multiplie toujours par le même nombre pour passer d’une ligne à l’autre ; sur un graphique, les points sont alignés et la droite passe par l’origine. Si la droite ne passe pas par l’origine, ce n’est pas de la proportionnalité.
Quelle est la différence entre proportionnalité directe et proportionnalité inverse ?
Dans la proportionnalité directe, quand une grandeur double, l’autre double aussi (on multiplie par le même nombre). Dans la proportionnalité inverse, quand une grandeur double, l’autre est divisée par deux : c’est le produit des deux qui reste constant, comme pour le nombre d’ouvriers et le temps de travail.
À quoi sert la proportionnalité dans la vie de tous les jours ?
Elle sert à calculer un prix au marché, adapter une recette, convertir des unités, lire une carte à l’échelle, calculer une remise ou une vitesse. C’est l’un des outils mathématiques les plus utilisés au quotidien.
En quelle classe apprend-on le produit en croix ?
Le produit en croix se formalise en 4ème. Avant, du CM2 à la 5ème, on utilise plutôt le tableau, le coefficient et la règle de trois par passage à l’unité, qui donnent le même résultat de façon plus intuitive.
Peut-on toujours utiliser un produit en croix ?
Non. Le produit en croix ne fonctionne que si on est vraiment en situation de proportionnalité directe. Il faut d’abord vérifier que l’on multiplie toujours par le même nombre. Pour l’aire d’un carré, l’âge ou un tarif par paliers, il ne s’applique pas.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant les bases de la proportionnalité. Pour continuer à progresser :
- 12 exercices de proportionnalité corrigés en 5ème (avec PDF)
- Proportionnalité en 3ème : 12 exercices corrigés pour préparer le brevet
- 12 Exercices de Pourcentages en 6ème Corrigés (PDF)
- Homothétie : le cours complet de 3ème
Tu veux progresser plus vite en maths ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour le collège.
