La partie entière apparaît partout en première année : dans les sommes à encadrer, les limites délicates, les approximations décimales d’un réel, et jusque dans les pièges de calcul en Python. Derrière une idée intuitive — « l’entier juste en dessous » — se cache un objet dont la définition rigoureuse, l’existence et les propriétés sont exigibles en colle. Ce cours reprend tout depuis le niveau collège, puis monte au niveau MPSI/PCSI avec démonstrations complètes, exercices d’entraînement corrigés et conseils de rédaction.
Définition — Partie entière
Soit \(x\) un réel. La partie entière de \(x\), notée \(E(x)\) ou \(\lfloor x \rfloor\), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à \(x\) :
\(E(x) = \max\{\, n \in \mathbb{Z} \mid n \leq x \,\}\)
Au programme. Notion abordée dès le collège (partie entière d’un nombre décimal), puis formalisée en MPSI/PCSI dans le chapitre sur les nombres réels (existence, encadrement, approximations décimales). Extensions lycée 🔵 (Seconde, Terminale) et prépa 🟠 signalées dans le cours.
I. Définition et notations
Tout réel \(x\) est coincé entre deux entiers consécutifs. La partie entière est l’entier de gauche de cet encadrement. C’est l’unique entier \(n\) tel que \(n \leq x\) < \(n+1\).
On utilise \(E(x)\) ou \(\lfloor x\rfloor\). En informatique, floor(x) désigne cette même fonction. Précise la notation choisie et conserve-la dans toute la solution.
A. Au collège : la partie entière d’un nombre décimal
Pour un nombre positif ou nul, la partie entière est simplement le nombre « avant la virgule ». Pour \(x = 3{,}74\), on a \(E(x) = 3\) et la partie décimale vaut \(0{,}74\). C’est la lecture directe de l’écriture décimale : à gauche de la virgule, la partie entière ; à droite, la partie décimale. Tu retrouves ce découpage sur le tableau de numération.
Vocabulaire : pour un nombre décimal positif ou nul, la partie décimale coïncide avec la partie fractionnaire \(\{x\}=x-E(x)\). Pour un négatif, il faut repartir de cette définition : \(\{-2{,}3\}=0{,}7\), tandis que les chiffres après la virgule de son écriture usuelle représentent 0,3.
B. Partie entière d’un nombre négatif
C’est l’erreur la plus fréquente, et elle est systématiquement testée. La partie entière n’est pas « le nombre avant la virgule » quand \(x\) est négatif : elle descend vers l’entier du dessous.
Prenons \(x = -2{,}3\). Les entiers inférieurs ou égaux à \(-2{,}3\) sont \(\dots, -5, -4, -3\). Le plus grand est \(-3\). Donc :
\(E(-2{,}3) = -3 \quad \text{et non} \quad -2\)Vérification par l’encadrement : \(-3 \leq -2{,}3\) < \(-2\), c’est bien le bon intervalle.
II. L’encadrement fondamental et sa démonstration
Avant d’utiliser la partie entière, il faut savoir qu’elle existe pour tout réel et qu’elle est unique. C’est le théorème socle du chapitre.
Théorème — Existence, unicité et encadrement
Pour tout réel \(x\), il existe un unique entier \(n \in \mathbb{Z}\) tel que :
\(n \leq x\) < \(n+1\)
Cet entier est \(E(x)\). Autrement dit, \(E(x) \leq x\) < \(E(x)+1\), ce qui équivaut à \(x-1\) < \(E(x) \leq x\).
Démonstration ⋆ (exigible). Soit \(x \in \mathbb{R}\). Considérons l’ensemble \(A = \{\, k \in \mathbb{Z} \mid k \leq x \,\}\).
- \(A\) est non vide. Par la propriété d’Archimède, il existe un entier naturel \(p\) tel que \(p\) > \(-x\), donc \(-p\) < \(x\) : l’entier \(-p\) appartient à \(A\).
- \(A\) est majoré. Toujours par Archimède, il existe un entier \(q\) tel que \(q\) > \(x\) ; tout élément de \(A\) est alors strictement inférieur à \(q\).
Une partie non vide et majorée de \(\mathbb{Z}\) admet un plus grand élément : notons-le \(n\). Par construction \(n \leq x\). Et comme \(n\) est le maximum, \(n+1 \notin A\), c’est-à-dire \(n+1\) > \(x\), soit \(x\) < \(n+1\). On a donc \(n \leq x\) < \(n+1\).
Unicité. Si \(m\) et \(n\) vérifient tous deux l’encadrement, alors \(n \leq x\) < \(m+1\) donne \(n\) < \(m+1\) donc \(n \leq m\) (entiers), et par symétrie \(m \leq n\). Ainsi \(m = n\). ∎
A. La partie fractionnaire
Définition — Partie fractionnaire
Pour tout réel \(x\), la partie fractionnaire de \(x\) est \(\{x\} = x- E(x)\). L’encadrement fondamental donne immédiatement :
\(0 \leq \{x\}\) < \(1\)
La partie fractionnaire est donc toujours dans \([0\,;1[\), même pour un négatif. Exemple : \(\{-2{,}3\} = -2{,}3- (-3) = 0{,}7\). On voit ici pourquoi « partie fractionnaire » et « ce qui est après la virgule » ne coïncident pas pour les réels négatifs.
Partie entière : les repères sur deux pages
Les définitions utiles, une méthode expliquée et des exemples vérifiés, dans un document imprimable.
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III. Propriétés de la partie entière
Ces propriétés sont les outils de calcul au quotidien. Chacune se démontre en une ligne grâce à l’encadrement fondamental — c’est exactement ce qu’un correcteur attend.
Propriétés fondamentales
- (P1) Point fixe des entiers : \(E(x) = x \iff x \in \mathbb{Z}\).
- (P2) Translation entière : pour tout \(n \in \mathbb{Z}\), \(E(x+n) = E(x) + n\).
- (P3) Croissance : si \(x \leq y\) alors \(E(x) \leq E(y)\).
- (P4) Encadrement d’une somme : \(E(x)+E(y)\leq E(x+y)\)
et \(E(x+y)\leq E(x)+E(y)+1\).
Démonstration de (P2). Partons de \(E(x) \leq x\) < \(E(x)+1\). En ajoutant l’entier \(n\) : \(E(x)+n \leq x+n\) < \(E(x)+n+1\). L’entier \(E(x)+n\) vérifie donc l’encadrement caractéristique de \(E(x+n)\). Par unicité, \(E(x+n) = E(x)+n\). ∎
Démonstration de (P4). Posons \(k=E(x)+E(y)\). En additionnant les encadrements de \(x\) et \(y\), on obtient \(k\leq x+y\) < \(k+2\). Comme \(k\) est entier, \(E(x+y)\) vaut \(k\) ou \(k+1\). Cela donne les deux inégalités.
(P1) et (P3). Si \(E(x)=x\), alors \(x\) est entier ; la réciproque suit de la définition. Si \(x\leq y\), l’entier \(E(x)\) est inférieur ou égal à \(y\) : il est donc inférieur ou égal au plus grand de ces entiers, \(E(y)\).
Erreur classique : croire que \(E(x+y) = E(x)+E(y)\). C’est faux dès que les parties fractionnaires « débordent ». Contre-exemple : \(E(0{,}6 + 0{,}7) = E(1{,}3) = 1\), alors que \(E(0{,}6) + E(0{,}7) = 0 + 0 = 0\). De même \(E(-x) \neq -E(x)\) en général.
Retiens aussi la relation utile \(E(-x) = -E(x)- 1\) lorsque \(x \notin \mathbb{Z}\), et \(E(-x) = -E(x)\) lorsque \(x \in \mathbb{Z}\).
IV. La fonction partie entière : courbe en escalier
On passe maintenant du nombre \(E(x)\) à la fonction \(x \mapsto E(x)\) définie sur \(\mathbb{R}\). Sa représentation graphique est l’exemple canonique de fonction « en escalier ».
Sur chaque intervalle \([n\,;n+1[\) avec \(n \in \mathbb{Z}\), la fonction est constante égale à \(n\). Elle fait ensuite un saut de \(1\) à chaque entier. C’est une fonction croissante (au sens large) sur \(\mathbb{R}\).
A. Continuité et limites
La fonction partie entière est continue en tout point non entier (elle y est localement constante), mais discontinue en chaque entier. En un entier \(n\) :
\(\lim_{x\to n^-}E(x)=n-1\)\(\lim_{x\to n^+}E(x)=n=E(n)\)Elle est donc continue à droite en chaque entier, mais pas à gauche : le saut y est de hauteur \(1\). C’est un exemple à connaître par cœur dans le chapitre sur la continuité des fonctions, et un classique d’étude de discontinuité de première espèce.
Encadrement roi pour les limites. L’inégalité \(x-1\) < \(E(x) \leq x\) permet d’obtenir \(\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{E(x)}{x} = 1\) par le théorème d’encadrement (dit « des gendarmes »). Dès qu’une limite contient une partie entière, reviens à cet encadrement.
V. Partie entière et division euclidienne
La partie entière est le pont entre les réels et l’arithmétique des entiers. Pour deux entiers \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^*\), le quotient de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est exactement :
\(q = E\!\left( \displaystyle\frac{a}{b} \right)\)Justification. La division euclidienne s’écrit \(a = bq + r\) avec \(0 \leq r\) < \(b\). En divisant par \(b\) > \(0\) : \(q \leq \displaystyle\frac{a}{b}\) < \(q+1\). Par unicité de l’encadrement, \(q = E\!\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)\). Le reste se récupère par \(r = a- b\,E\!\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)\).
Exemple : \(17 = 5 \times 3 + 2\), et de fait \(E\!\left(\displaystyle\frac{17}{5}\right) = E(3{,}4) = 3\). Cette identité est le moteur des algorithmes de conversion de base et du calcul du quotient en Python (voir plus bas).
VI. Approximations décimales d’un réel
La partie entière fournit la meilleure approximation entière par défaut d’un réel. En la combinant avec les puissances de 10, on obtient les approximations décimales à \(10^{-n}\) près — un résultat central du chapitre sur les réels en MPSI.
Approximations décimales à \(10^{-n}\) près
Soit \(x \in \mathbb{R}\) et \(n \in \mathbb{N}\). On pose \(d_n = \displaystyle\frac{E(10^n x)}{10^n}\). Alors \(d_n\) est un nombre décimal et :
\(d_n \leq x\) < \(d_n + 10^{-n}\)
\(d_n\) est l’approximation décimale par défaut de \(x\) à \(10^{-n}\) près ; \(d_n + 10^{-n}\) est celle par excès.
Preuve. L’encadrement fondamental appliqué à \(10^n x\) donne \(E(10^n x) \leq 10^n x\) < \(E(10^n x)+1\). On divise par \(10^n\) > \(0\) et le résultat tombe. La suite \((d_n)\) converge vers \(x\) : c’est le lien avec le développement décimal illimité d’un réel, détaillé sur la page nombre décimal ou non.
Cette construction prolonge en toute rigueur la notion d’arrondi et de troncature vue au collège : tronquer \(x\) à \(n\) décimales (pour \(x \geq 0\)), c’est exactement calculer \(d_n\).
VII. Partie entière, troncature, arrondi : ne pas confondre
Trois opérations voisines, souvent mélangées. Le tableau suivant les sépare une fois pour toutes.
| Opération | Définition | Sur \(3{,}7\) | Sur \(-3{,}7\) |
|---|---|---|---|
| Partie entière \(E(x)\) | Plus grand entier \(\leq x\) (arrondi vers \(-\infty\)) | \(3\) | \(-4\) |
| Troncature à l’unité | Suppression de la partie décimale (arrondi vers \(0\)) | \(3\) | \(-3\) |
| Arrondi à l’unité | Entier le plus proche | \(4\) | \(-4\) |
Point clé : pour un réel positif, partie entière et troncature coïncident. Pour un négatif, elles diffèrent toujours (sauf entier). L’arrondi, lui, se calcule élégamment par \(\text{arrondi}(x) = E\!\left(x + \displaystyle\frac{1}{2}\right)\) pour \(x\) non demi-entier.
Ne pas confondre avec la « partie entière d’une fraction rationnelle ». En algèbre, la partie entière d’une fraction rationnelle \(\displaystyle\frac{P}{Q}\) désigne le quotient polynomial de la division euclidienne de \(P\) par \(Q\) : c’est un polynôme, pas un entier. Même nom, objet totalement différent.
A. La partie entière en Python
En informatique, trois fonctions donnent trois résultats différents sur les négatifs — source d’un bug classique en prépa.
math.floor(x): la vraie partie entière \(E(x)\).math.floor(-3.7)renvoie \(-4\).int(x): la troncature vers \(0\).int(-3.7)renvoie \(-3\). Ce n’est PAS la partie entière des négatifs.a // b: pour des entiersaetb > 0, c’est \(E(a/b)\).-7 // 2renvoie −4. Pour des flottants, la représentation approchée peut intervenir.
Confondre int() et math.floor() fausse tout calcul d’encadrement sur un réel négatif. Ce piège fait partie des erreurs Python classiques en prépa.
VIII. La partie entière supérieure
Symétrique de la partie entière, la partie entière supérieure (ou ceiling) arrondit vers le haut.
Définition — Partie entière supérieure
Pour \(x \in \mathbb{R}\), \(\lceil x \rceil\) est le plus petit entier supérieur ou égal à \(x\) : \(\lceil x \rceil = \min\{\, n \in \mathbb{Z} \mid n \geq x \,\}\), caractérisé par \(x \leq \lceil x \rceil\) < \(x+1\).
On relie les deux par \(\lceil x \rceil = -E(-x)\). De plus \(\lceil x \rceil = E(x)\) si \(x \in \mathbb{Z}\), et \(\lceil x \rceil = E(x) + 1\) sinon. Exemple : \(\lceil 3{,}2 \rceil = 4\) et \(\lceil -3{,}2 \rceil = -3\).
IX. Exercices corrigés
Du calcul de base aux sommes de type concours. Cherche sérieusement avant d’ouvrir chaque correction : la technique s’acquiert au brouillon, pas à la lecture.
Exercice 1 — Calculs directs ★
Calculer \(E(2{,}5)\), \(E(-2{,}5)\), \(E(7)\), \(E(-0{,}1)\) et \(E\!\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right)\).
Voir la correction de l’exercice 1
On cherche à chaque fois l’entier immédiatement à gauche.
\(E(2{,}5) = 2\) ; \(E(-2{,}5) = -3\) (l’entier du dessous !) ; \(E(7) = 7\) (entier, point fixe) ; \(E(-0{,}1) = -1\).
Pour la fraction : \(\displaystyle\frac{2}{5} = 0{,}4\), donc \(E\!\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right) = 0\).
L’erreur à éviter : répondre \(-2\) pour \(E(-2{,}5)\). La partie entière descend, elle ne tronque pas. La bonne réponse est \(-3\).
Exercice 2 — Résoudre une équation ★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(E(x) = 3\).
Voir la correction de l’exercice 2
Par définition, \(E(x) = 3\) signifie exactement \(3 \leq x\) < \(4\).
L’ensemble solution est l’intervalle \(S = [3\,;4[\).
Résoudre \(E(u(x))=n\) revient à résoudre \(n\leq u(x)\) < \(n+1\), avec \(n\) entier. Pour \(u(x)=x\), la solution est \([n;n+1[\). Pour une expression générale, la forme de l’ensemble dépend de \(u\) : par exemple \(E(x^2)=0\) donne \(-1\) < \(x\) < \(1\).
Exercice 3 — Équation avec partie entière ★★
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(E(2x- 1) = 4\).
Voir la correction de l’exercice 3
L’équation équivaut à \(4 \leq 2x- 1\) < \(5\).
On ajoute \(1\) : \(5 \leq 2x\) < \(6\). On divise par \(2\) : \(2{,}5 \leq x\) < \(3\).
Donc \(S = [2{,}5\,;3[\).
L’erreur à éviter : vouloir « sortir » le \(2\) de la partie entière. L’égalité \(E(2x-1)=2E(x)-1\) est fausse en général (par exemple pour \(x=0{,}75\)) : la partie entière n’est pas linéaire. On revient toujours à l’encadrement.
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Exercice 4 — Une identité de symétrie ★★
Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) non entier, \(E(x) + E(-x) = -1\), et que \(E(x) + E(-x) = 0\) si \(x \in \mathbb{Z}\).
Voir la correction de l’exercice 4
Cas \(x \in \mathbb{Z}\). Alors \(-x \in \mathbb{Z}\), donc \(E(x) = x\) et \(E(-x) = -x\) : la somme vaut \(0\).
Cas \(x \notin \mathbb{Z}\). Posons \(n = E(x)\), de sorte que \(n\) < \(x\) < \(n+1\) (inégalités strictes car \(x\) n’est pas entier).
En multipliant par \(-1\) (ce qui inverse les inégalités) : \(-n-1\) < \(-x\) < \(-n\).
Cet encadrement montre que \(-n-1 \leq -x\) < \(-n\), donc \(E(-x) = -n-1\).
Ainsi \(E(x) + E(-x) = n + (-n-1) = \mathbf{-1}\).
Exercice 5 — Une somme à calculer ★★★
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\), calculer \(S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} E\!\left(\displaystyle\frac{k}{2}\right)\).
Voir la correction de l’exercice 5
Si \(k = 2j\) (pair), \(E\!\left(\displaystyle\frac{k}{2}\right) = j\). Si \(k = 2j+1\) (impair), \(E\!\left(\displaystyle\frac{k}{2}\right) = j\) aussi.
Traitons les deux parités selon \(n\). Une formule compacte est \(E\!\left(\displaystyle\frac{k}{2}\right) = \displaystyle\frac{k- r_k}{2}\) où \(r_k \in \{0,1\}\) est le reste de \(k\) modulo \(2\). Alors :
\(S_n=\displaystyle\frac12\left(\sum_{k=1}^n k-\sum_{k=1}^n r_k\right)\).
En utilisant la somme des entiers :
\(S_n=\displaystyle\frac12\left(\displaystyle\frac{n(n+1)}2-\left\lceil\displaystyle\frac n2\right\rceil\right)\)car il y a \(\lceil n/2 \rceil\) entiers impairs entre \(1\) et \(n\).
Vérification pour \(n = 4\) : \(0+1+1+2 = 4\). La formule donne \(\displaystyle\frac{1}{2}\left(10- 2\right) = 4\) ✓.
Exercice 6 — Une limite ★★★
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{E(x)}{x}\).
Voir la correction de l’exercice 6
On part de l’encadrement fondamental \(x- 1\) < \(E(x) \leq x\).
Pour \(x\) > \(0\), on divise par \(x\) : \(\displaystyle\frac{x-1}{x}\) < \(\displaystyle\frac{E(x)}{x} \leq 1\), soit \(1- \displaystyle\frac{1}{x}\) < \(\displaystyle\frac{E(x)}{x} \leq 1\).
Comme \(1- \displaystyle\frac{1}{x} \to 1\) quand \(x \to +\infty\), le théorème d’encadrement donne :
\(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \displaystyle\frac{E(x)}{x} = \mathbf{1}\)Exercice 7 — Une identité à démontrer ★★★
Montrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(E\!\left(\displaystyle\frac{E(nx)}{n}\right) = E(x)\).
Voir la correction de l’exercice 7
Posons \(m = E(x)\), donc \(m \leq x\) < \(m+1\). On multiplie par \(n\) > \(0\) : \(nm \leq nx\) < \(nm + n\).
Comme \(nm\) est entier et \(nm \leq nx\), la croissance (P3) et le point fixe (P1) donnent \(nm \leq E(nx)\). Par ailleurs \(E(nx) \leq nx\) < \(nm+n\), et \(E(nx)\) entier \(\Longrightarrow E(nx) \leq nm + n- 1\).
On a donc \(nm \leq E(nx) \leq nm + n- 1\). En divisant par \(n\) : \(m \leq \displaystyle\frac{E(nx)}{n} \leq m + \displaystyle\frac{n-1}{n}\) < \(m+1\).
L’encadrement \(m \leq \displaystyle\frac{E(nx)}{n}\) < \(m+1\) caractérise \(E\!\left(\displaystyle\frac{E(nx)}{n}\right) = m = E(x)\). ∎
Exercice 8 — Identité de Hermite ★★★★
Démontrer l’identité de Hermite : pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(n \in \mathbb{N}^*\),
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} E\!\left(x + \displaystyle\frac{k}{n}\right) = E(nx)\).
Voir la correction de l’exercice 8
On introduit la fonction \(f(x) = \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} E\!\left(x + \displaystyle\frac{k}{n}\right)- E(nx)\) et on montre que \(f\) est identiquement nulle.
Étape 1 — périodicité. Calculons \(f\!\left(x + \displaystyle\frac{1}{n}\right)\). La somme devient \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} E\!\left(x + \displaystyle\frac{k+1}{n}\right) = \sum_{j=1}^{n} E\!\left(x + \displaystyle\frac{j}{n}\right)\) par changement d’indice \(j = k+1\).
La somme initiale perd le terme \(E(x)\) et reçoit \(E(x+1)\). Elle augmente donc de \(E(x+1)-E(x)=1\), d’après la translation (P2).
De même \(E\!\left(n\left(x+\displaystyle\frac{1}{n}\right)\right) = E(nx + 1) = E(nx) + 1\). Les deux termes gagnent \(+1\), donc \(f\!\left(x+\displaystyle\frac{1}{n}\right) = f(x)\) : \(f\) est \(\displaystyle\frac{1}{n}\)-périodique.
Étape 2 — nullité sur une période. Il suffit de montrer \(f(x) = 0\) pour \(x \in \left[0\,;\displaystyle\frac{1}{n}\right[\). Sur cet intervalle, pour \(0 \leq k \leq n-1\), on a \(0 \leq x + \displaystyle\frac{k}{n}\) < \(\displaystyle\frac{k+1}{n} \leq 1\), donc \(E\!\left(x + \displaystyle\frac{k}{n}\right) = 0\). La somme est nulle.
De plus \(0 \leq nx\) < \(1\) donne \(E(nx) = 0\). Donc \(f(x) = 0\) sur \(\left[0\,;\displaystyle\frac{1}{n}\right[\).
Conclusion. \(f\) est \(\displaystyle\frac{1}{n}\)-périodique et nulle sur une période, donc nulle partout. L’identité de Hermite est démontrée. ∎
X. Rédaction : ce que le correcteur attend
Sur la partie entière, les points se gagnent et se perdent sur la rigueur, pas sur l’astuce. Voici les réflexes de rédaction qui font la différence en colle et aux concours.
Les trois gestes gagnants :
- Revenir à l’encadrement caractéristique. Pour prouver qu’un entier \(m\) vaut \(E(a)\), montre les deux informations : \(m \leq a\) (il est en dessous) ET \(m\) est le plus grand (donc \(a\) < \(m+1\)). Une seule des deux ne suffit jamais.
- Invoquer l’unicité. La phrase « par unicité de l’entier vérifiant l’encadrement, on conclut \(E(a) = m\) » exprime l’argument décisif ; une formulation équivalente convient.
- Distinguer les parités / le signe. Dès qu’un négatif ou une parité apparaît, sépare explicitement les cas. Un correcteur sanctionne un raisonnement qui « oublie » le cas \(x \in \mathbb{Z}\).
Copie fautive commentée.
❌ « Comme \(E(nx) \leq nx\), on a \(\displaystyle\frac{E(nx)}{n} \leq x\) donc \(E\!\left(\displaystyle\frac{E(nx)}{n}\right) = E(x)\). »
Diagnostic : l’étudiant a montré une seule inégalité (\(\leq x\)) et conclu directement. Il manque la minoration qui garantit que l’entier obtenu est bien le plus grand.
✅ Correction : encadrer \(\displaystyle\frac{E(nx)}{n}\) des deux côtés par \(m\) et \(m+1\) (exclu), puis invoquer l’unicité (cf. exercice 7).
XI. Questions fréquentes
Quelle est la partie entière de 2 cinquièmes ?
La fraction \(\displaystyle\frac{2}{5}\) vaut \(0{,}4\). L’entier immédiatement en dessous est \(0\), donc \(E\!\left(\displaystyle\frac{2}{5}\right) = 0\). De façon générale, toute fraction strictement comprise entre \(0\) et \(1\) a une partie entière nulle.
Quelle différence entre partie entière et troncature ?
La troncature supprime la partie décimale (arrondi vers \(0\)) ; la partie entière prend le plus grand entier inférieur ou égal (arrondi vers \(-\infty\)). Elles coïncident pour un réel positif, mais diffèrent pour un négatif non entier : \(E(-3{,}7) = -4\) alors que la troncature donne \(-3\).
Comment résoudre une équation avec une partie entière ?
Résoudre \(E(u(x))=n\) revient à résoudre \(n\leq u(x)\) < \(n+1\), avec \(n\) entier. Pour \(u(x)=x\), la solution est \([n;n+1[\). Pour une expression générale, la forme de l’ensemble dépend de \(u\) : par exemple \(E(x^2)=0\) donne \(-1\) < \(x\) < \(1\).
La fonction partie entière est-elle continue ?
Elle est continue en tout point non entier (elle y est localement constante) mais discontinue en chaque entier, où elle fait un saut de hauteur \(1\). Elle est continue à droite partout, mais pas à gauche aux entiers.
Quelle est la partie entière d’un nombre négatif ?
On descend vers l’entier du dessous. Par exemple \(E(-2{,}3) = -3\) (et non \(-2\)), car \(-3 \leq -2{,}3\) < \(-2\). C’est l’erreur n°1 des copies : ne jamais « couper après la virgule » pour un négatif.
XII. Pour aller plus loin
Tu maîtrises la partie entière, son encadrement et ses applications. Pour consolider le chapitre des nombres réels, poursuis avec :
