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Prends une feuille de papier A4 et plie-la en deux dans le sens de la longueur : tu obtiens exactement le même format, en plus petit. Ce n’est pas un hasard — c’est parce que le rapport entre la longueur et la largeur d’une feuille A4 vaut précisément \(\sqrt{2}\). Ce nombre discret gouverne aussi la diagonale d’un carré, il a déclenché une crise chez les mathématiciens grecs, et il a la particularité troublante de ne jamais pouvoir s’écrire comme une fraction. Dans cet article, tu vas comprendre ce qu’est la racine carrée de 2, connaître sa valeur, et surtout démontrer qu’elle est irrationnelle — une des preuves les plus célèbres et les plus élégantes de toutes les mathématiques.
I. Qu’est-ce que la racine carrée de 2 ?
La racine carrée de 2 est l’unique nombre positif dont le carré vaut 2. On la note \(\sqrt{2}\). Sa valeur approchée est \(1{,}414\), mais aucune écriture décimale finie ne donne sa valeur exacte : c’est un nombre irrationnel. Géométriquement, \(\sqrt{2}\) est la longueur de la diagonale d’un carré de côté 1.
Définition — Racine carrée de 2
La racine carrée de 2, notée \(\sqrt{2}\), est le nombre positif dont le carré est égal à 2 :
\(\sqrt{2} \geq 0 \quad \text{et} \quad (\sqrt{2})^2 = 2\)
Cette définition contient deux informations à ne jamais séparer : \(\sqrt{2}\) est positif, et son carré vaut 2. C’est exactement le même principe que pour n’importe quelle racine carrée : on cherche le nombre positif qui, mis au carré, redonne le nombre de départ.
A. La valeur approchée de √2
Puisque \(1^2 = 1\) et \(2^2 = 4\), le nombre \(\sqrt{2}\) est compris entre 1 et 2. En affinant, on obtient les premières décimales :
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots\)Ces décimales ne se répètent jamais et ne s’arrêtent jamais. On peut les calculer à la main avec des techniques comme la méthode de Héron, détaillée dans la page calculer une racine carrée sans calculatrice. Retiens simplement la valeur pratique : \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\).
B. √2, la diagonale du carré
Voici l’origine géométrique de ce nombre. Prends un carré de côté 1. Sa diagonale coupe le carré en deux triangles rectangles. D’après le théorème de Pythagore, en notant \(d\) la diagonale :
\(d^2 = 1^2 + 1^2 = 2\)Comme \(d\) est une longueur, donc positive, on obtient \(d = \sqrt{2}\). La racine carrée de 2 n’est donc pas une abstraction : c’est une longueur que tu peux tracer à la règle.
C. Le carré de √2
Une question revient souvent : combien vaut \(\sqrt{2}\) au carré ? La réponse découle directement de la définition.
À retenir : élever une racine carrée au carré « annule » la racine.
\((\sqrt{2})^2 = 2\). À ne pas confondre avec \(2\sqrt{2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = \sqrt{8}\).
II. Pourquoi √2 est un nombre irrationnel
Un nombre irrationnel est un nombre réel qui ne peut pas s’écrire comme une fraction de deux entiers. La racine carrée de 2 est irrationnelle : il n’existe aucun couple d’entiers \(p\) et \(q\) tel que \(\sqrt{2} = \displaystyle\frac{p}{q}\). Autrement dit, son écriture décimale est infinie et sans motif répété.
A. Rationnel, irrationnel : de quoi parle-t-on ?
Un nombre rationnel est un quotient de deux entiers, comme \(\displaystyle\frac{3}{4}\) ou \(0{,}25 = \displaystyle\frac{1}{4}\). Un nombre irrationnel n’admet aucune écriture de ce type : il appartient à \(\mathbb{R}\) mais pas à l’ensemble des rationnels. Pour bien situer ces familles de nombres, va voir le cours sur les ensembles de nombres.
La grande surprise historique, c’est justement que \(\sqrt{2}\) soit irrationnel. Les Grecs pensaient que toute longueur pouvait s’exprimer comme un rapport de deux entiers. Découvrir qu’une longueur aussi simple que la diagonale d’un carré échappe à cette règle a provoqué une véritable crise.
La fiche de cours « Racine carrée de 2 » en 1 page
Valeur, propriétés et la démonstration complète de l’irrationalité, prêtes à réviser avant un contrôle.
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B. La démonstration par l’absurde
Voici la preuve incontournable, à connaître au lycée et exigible en prépa. Elle utilise un raisonnement par l’absurde : on suppose le contraire de ce qu’on veut prouver, et on aboutit à une contradiction. Si tu veux revoir la structure de ce type de raisonnement, consulte la fiche rédiger une démonstration en maths.
Théorème — Irrationalité de √2 (démonstration au programme)
Le nombre \(\sqrt{2}\) est irrationnel : il ne peut pas s’écrire sous la forme d’un quotient de deux entiers.
Démonstration. Supposons, par l’absurde, que \(\sqrt{2}\) soit rationnel. On peut alors l’écrire sous forme de fraction irréductible :
\(\sqrt{2} = \displaystyle\frac{p}{q}\) avec \(p\) et \(q\) entiers, \(q \neq 0\), et \(p, q\) sans diviseur commun autre que 1.
Étape 1 — On élève au carré. En élevant l’égalité au carré :
\(2 = \displaystyle\frac{p^2}{q^2} \quad \text{d'où} \quad p^2 = 2q^2\)Étape 2 — p est pair. L’égalité \(p^2 = 2q^2\) montre que \(p^2\) est un nombre pair. Or, le carré d’un entier impair est toujours impair (c’est un résultat démontré dans le cours sur le carré d’un nombre). Donc \(p\) est nécessairement pair. On peut écrire \(p = 2k\) avec \(k\) entier.
Étape 3 — q est pair aussi. Remplaçons \(p\) par \(2k\) :
\((2k)^2 = 2q^2 \quad \Longrightarrow \quad 4k^2 = 2q^2 \quad \Longrightarrow \quad q^2 = 2k^2\)De la même manière, \(q^2\) est pair, donc \(q\) est pair.
Étape 4 — La contradiction. Nous venons de montrer que \(p\) et \(q\) sont tous les deux pairs. Ils ont donc 2 comme diviseur commun. Mais nous avions choisi la fraction \(\displaystyle\frac{p}{q}\) irréductible : c’est une contradiction.
L’hypothèse « \(\sqrt{2}\) est rationnel » est donc fausse. Conclusion : \(\sqrt{2}\) est irrationnel. ∎
La clé de la preuve : le seul argument vraiment utilisé est « un carré pair vient d’un nombre pair ». Tout le reste n’est que du calcul. C’est cette simplicité qui rend la démonstration si célèbre.
III. 🟠 Généralisation : √3, √5 et les autres
La même méthode fonctionne pour de nombreux autres nombres. On peut démontrer que \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\), \(\sqrt{6}\), \(\sqrt{7}\) sont tous irrationnels. La règle générale est spectaculairement simple : la racine carrée d’un entier est irrationnelle sauf si cet entier est un carré parfait.
Résultat général 🟠 (extension prépa)
Soit \(n\) un entier positif. Alors \(\sqrt{n}\) est rationnel si et seulement si \(n\) est un carré parfait. Dans tous les autres cas, \(\sqrt{n}\) est irrationnel.
C’est pour cela que \(\sqrt{4} = 2\) et \(\sqrt{9} = 3\) sont rationnels : 4 et 9 sont des carrés parfaits. En revanche, 2, 3, 5 n’en sont pas, donc leurs racines sont irrationnelles.
A. 🔴 L’idée de la preuve générale
Pour un nombre premier \(p\), la preuve est identique à celle de \(\sqrt{2}\) : on suppose \(\sqrt{p} = \displaystyle\frac{a}{b}\) irréductible, on obtient \(a^2 = p\, b^2\), et on utilise le fait que \(p\) divise \(a^2\) donc \(p\) divise \(a\). Cet argument repose sur les propriétés des nombres premiers et sur l’unicité de la décomposition en facteurs premiers (théorème fondamental de l’arithmétique). C’est un classique des premières semaines de prépa.
Attention à ne pas surgénéraliser : le résultat « \(\sqrt{n}\) irrationnel sauf carré parfait » vaut pour les entiers \(n\). Il ne dit rien sur des nombres comme \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) ou \(\pi\), dont l’irrationalité se démontre autrement (et est bien plus difficile pour \(\pi\)).
IV. Une découverte qui a bouleversé les Grecs
La racine carrée de 2 n’est pas seulement un objet mathématique : c’est le personnage central d’une des plus vieilles crises intellectuelles de l’histoire. Pour l’école de Pythagore, au VIᵉ siècle avant J.-C., « tout est nombre » signifiait que toute grandeur pouvait s’exprimer comme un rapport de deux entiers.
La diagonale du carré a brisé cette croyance. En découvrant que \(\sqrt{2}\) n’est le rapport d’aucun couple d’entiers, les Pythagoriciens ont mis au jour l’existence de grandeurs « incommensurables ». La légende raconte que la révélation de ce secret aurait coûté la vie à celui qui l’a divulgué. Vraie ou non, cette histoire dit une chose importante : un simple nombre peut forcer à repenser toute une vision des mathématiques.
Le clin d’œil moderne : le format A4 est construit exactement pour que le rapport longueur/largeur soit \(\sqrt{2}\). C’est ce qui permet de plier une feuille en deux sans changer ses proportions — et donc d’imprimer, de photocopier et de réduire sans déformation. Le nombre qui a affolé les Grecs est aujourd’hui dans ton imprimante.
V. Exercices corrigés
Passons à la pratique. Ces exercices vont du calcul direct au raisonnement, dans l’esprit de ce qui est attendu en Seconde et en début de prépa. Essaie-les avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Encadrer √2 ★
Sans calculatrice, trouve deux entiers consécutifs entre lesquels se trouve \(\sqrt{2}\). Justifie.
Voir la correction de l’exercice 1
On cherche deux carrés parfaits qui encadrent 2. On a \(1 = 1^2\) et \(4 = 2^2\), donc \(1\) < \(2\) < \(4\).
La fonction racine carrée conserve l’ordre (elle est croissante), donc \(\sqrt{1}\) < \(\sqrt{2}\) < \(\sqrt{4}\).
Conclusion : \(1\) < \(\sqrt{2}\) < \(2\). Le nombre \(\sqrt{2}\) est bien compris entre 1 et 2.
Exercice 2 — Calculs avec √2 ★
Calcule sans calculatrice : (a) \((\sqrt{2})^2\) ; (b) \(3\sqrt{2} \times \sqrt{2}\) ; (c) \((2\sqrt{2})^2\).
Voir la correction de l’exercice 2
(a) Par définition, \((\sqrt{2})^2 = 2\).
(b) \(3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times (\sqrt{2})^2 = 3 \times 2 = 6\).
(c) \((2\sqrt{2})^2 = 2^2 \times (\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8\).
Résultats : \(2\), \(6\) et \(8\).
Exercice 3 — Rationnel ou irrationnel ? ★★
Parmi ces nombres, lesquels sont rationnels et lesquels sont irrationnels ? Justifie brièvement. (a) \(\sqrt{9}\) ; (b) \(\sqrt{2}\) ; (c) \(\sqrt{2} \times \sqrt{2}\) ; (d) \(\sqrt{50}\).
Voir la correction de l’exercice 3
(a) \(\sqrt{9} = 3\) : rationnel (9 est un carré parfait).
(b) \(\sqrt{2}\) : irrationnel (2 n’est pas un carré parfait).
(c) \(\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\) : rationnel. Attention, le produit de deux irrationnels peut être rationnel !
(d) \(\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}\) : irrationnel, car c’est un entier non nul multiplié par \(\sqrt{2}\) qui est irrationnel.
Exercice 4 — Reproduire la démonstration ★★★
En t’inspirant de la preuve pour \(\sqrt{2}\), démontre par l’absurde que \(\sqrt{3}\) est irrationnel. On admettra que si \(3\) divise \(p^2\), alors \(3\) divise \(p\).
Voir la correction de l’exercice 4
Supposons par l’absurde que \(\sqrt{3} = \displaystyle\frac{p}{q}\) avec \(\displaystyle\frac{p}{q}\) irréductible et \(q \neq 0\).
En élevant au carré : \(3 = \displaystyle\frac{p^2}{q^2}\), donc \(p^2 = 3q^2\).
Ainsi \(3\) divise \(p^2\), donc (résultat admis) \(3\) divise \(p\). Écrivons \(p = 3k\).
Alors \(9k^2 = 3q^2\), soit \(q^2 = 3k^2\). Donc \(3\) divise \(q^2\), donc \(3\) divise \(q\).
\(p\) et \(q\) sont tous deux divisibles par 3 : cela contredit l’irréductibilité de la fraction.
Conclusion : \(\sqrt{3}\) est irrationnel. ∎
Exercice 5 — Le format A4 ★★
Une feuille A4 a pour dimensions 21 cm sur 29,7 cm environ. Vérifie que le rapport longueur/largeur est très proche de \(\sqrt{2}\).
Voir la correction de l’exercice 5
On calcule le rapport : \(\displaystyle\frac{29{,}7}{21} \approx 1{,}414\).
Or \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Les deux valeurs coïncident.
Conclusion : le rapport des dimensions d’une feuille A4 vaut bien \(\sqrt{2}\). C’est cette propriété qui permet de plier la feuille en deux en conservant exactement les mêmes proportions.
Pour t’entraîner davantage, retrouve une série complète dans les 20 exercices corrigés sur les racines carrées en Seconde.
VI. Erreurs fréquentes et pièges classiques
La racine carrée de 2 piège les élèves toujours aux mêmes endroits. Voici les trois erreurs à connaître pour ne plus les commettre.
Erreur n°1 — Croire que √2 vaut exactement 1,414.
❌ Écrire « \(\sqrt{2} = 1{,}414\) ».
Diagnostic : 1,414 n’est qu’une valeur approchée. Comme \(\sqrt{2}\) est irrationnel, aucun décimal fini n’est égal à \(\sqrt{2}\).
✅ Écrire « \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) » avec le symbole d’approximation.
Erreur n°2 — Séparer la racine d’une somme.
❌ Écrire « \(\sqrt{2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2\) ».
Diagnostic : la racine ne se distribue jamais sur une somme : \(\sqrt{a+b} \neq \sqrt{a} + \sqrt{b}\). Ici cela donnerait 2, ce qui est faux.
✅ La racine se distribue seulement sur un produit : \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\).
Erreur n°3 — Confondre « irrationnel » et « impossible à calculer ».
❌ Penser que \(\sqrt{2}\) n’a pas de valeur précise.
Diagnostic : \(\sqrt{2}\) est un nombre parfaitement défini, avec une position exacte sur la droite graduée. Il est simplement impossible de l’écrire comme une fraction ou un décimal fini.
VII. Questions fréquentes
Quelle est la valeur exacte de la racine carrée de 2 ?
La valeur exacte de la racine carrée de 2 s’écrit simplement \(\sqrt{2}\). Elle vaut environ \(1{,}41421356\), mais aucune écriture décimale ou fractionnaire finie ne donne sa valeur exacte, car \(\sqrt{2}\) est un nombre irrationnel. La seule notation exacte est donc le symbole racine lui-même.
Pourquoi la racine carrée de 2 est-elle irrationnelle ?
Parce qu’on peut démontrer par l’absurde qu’aucune fraction irréductible \(\displaystyle\frac{p}{q}\) ne peut être égale à \(\sqrt{2}\). En supposant le contraire, on aboutit à ce que \(p\) et \(q\) soient tous deux pairs, ce qui contredit l’hypothèse de fraction irréductible. La supposition est donc fausse : \(\sqrt{2}\) ne s’écrit pas comme un quotient d’entiers.
Peut-on écrire la racine carrée de 2 sous forme de fraction ?
Non, c’est impossible, et c’est justement la définition d’un nombre irrationnel. Des fractions comme \(\displaystyle\frac{7}{5} = 1{,}4\) ou \(\displaystyle\frac{99}{70} \approx 1{,}4142\) en donnent de bonnes approximations, mais aucune n’est exactement égale à \(\sqrt{2}\).
Quelle est la différence entre la racine carrée de 2 et la racine carrée de 4 ?
La racine carrée de 4 vaut exactement 2, car 4 est un carré parfait (\(2^2 = 4\)) : c’est un nombre rationnel. La racine carrée de 2 est irrationnelle, car 2 n’est pas un carré parfait. C’est toute la différence : \(\sqrt{n}\) est un entier si et seulement si \(n\) est un carré parfait.
Combien vaut 2 fois la racine carrée de 2 ?
Le nombre \(2\sqrt{2}\) vaut environ \(2 \times 1{,}414 \approx 2{,}828\). On peut aussi l’écrire sous forme d’une seule racine : \(2\sqrt{2} = \sqrt{4} \times \sqrt{2} = \sqrt{8}\). Ce nombre reste irrationnel.
Comment écrire le symbole racine √ au clavier ?
Sur Windows, tape \(\sqrt{\ }\) avec le code Alt + 251 (pavé numérique). Sur Mac, utilise Option + V. Dans un logiciel de maths ou en LaTeX, on écrit \sqrt{2}. Sur smartphone, le symbole est souvent accessible dans le clavier des symboles mathématiques.
VIII. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant ce qu’est la racine carrée de 2, pourquoi elle est irrationnelle et comment le démontrer. Pour continuer à progresser sur les radicaux et les notions voisines :
- Fonction irrationnelle : domaine, équations et inéquations
- Équations et Inéquations : Cours, Méthodes et Exercices Corrigés
- Les puissances : définition, règles et calcul
- Suites définies par récurrence : cours, calcul et représentation graphique
La démonstration de l’irrationalité de \(\sqrt{2}\) est l’une des premières que tu rencontreras en classe préparatoire, où elle sert de modèle au raisonnement par l’absurde et aux propriétés d’arithmétique. Si tu vises une prépa scientifique, c’est exactement le type de rigueur que nous travaillons avec nos élèves.
