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Trois croissants coûtent 2,40 €. Combien vas-tu payer pour cinq croissants ? La règle de trois est l’outil parfait pour répondre à ce genre de question. C’est l’une des méthodes de calcul les plus utiles de tout le collège… et de la vie de tous les jours.
La règle de trois, en une phrase
La règle de trois est une méthode qui permet de trouver une quatrième valeur dans une situation de proportionnalité. On calcule d’abord la valeur pour une seule unité (une division), puis on multiplie par la quantité recherchée. Elle ne fonctionne que si les deux grandeurs sont proportionnelles.
La règle de trois, c’est quoi exactement ?
La règle de trois porte bien son nom : tu connais trois nombres, et tu en cherches un quatrième. C’est ce quatrième nombre qu’on appelle la quatrième proportionnelle.
Reprenons nos croissants. Tu connais trois informations :
- le nombre de croissants de départ : 3 ;
- le prix correspondant : 2,40 € ;
- le nombre de croissants que tu veux acheter : 5.
Le nombre que tu cherches, c’est le prix des 5 croissants. La règle de trois va te le donner.
Le mot-clé à retenir : « une seule unité ». La règle de trois consiste toujours à revenir à la valeur pour 1 (ici : le prix d’un seul croissant), puis à multiplier. C’est pour ça qu’on l’appelle aussi le passage à l’unité.
Pourquoi ça marche ?
La règle de trois fonctionne parce qu’on est en situation de proportionnalité : si on prend 2 fois plus de croissants, on paie 2 fois plus cher. Le prix « suit » exactement le nombre de croissants.
Vérifions sur notre exemple. Le prix d’un croissant est le même quel que soit le nombre acheté :
\(2{,}40 \div 3 = 0{,}80\) € pour 1 croissant.
Une fois qu’on connaît ce prix unitaire, tout devient facile : 5 croissants coûtent \(0{,}80 \times 5 = 4\) €. Et on peut vérifier : 3 croissants font bien \(0{,}80 \times 3 = 2{,}40\) € ✓. Le prix par croissant reste constant : c’est la signature d’une situation de proportionnalité.
C’est ce prix unitaire qui joue le rôle de coefficient de proportionnalité : on passe d’une ligne à l’autre en multipliant toujours par le même nombre.
La fiche méthode « Règle de trois » en PDF
Les 3 étapes, les exemples types et les pièges à éviter, réunis sur un recto-verso à imprimer.
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La méthode pas à pas en 3 étapes
Voici la marche à suivre, valable pour toutes les règles de trois du collège.
- Range tes informations. Écris clairement la grandeur connue et la valeur qui lui correspond, puis la nouvelle quantité dont tu cherches la valeur.
- Reviens à 1 (le passage à l’unité). Divise pour trouver la valeur pour une seule unité.
- Multiplie. Multiplie cette valeur par la quantité recherchée.
Exemple guidé : Une voiture parcourt 240 km avec 12 litres d’essence. Combien de litres pour 100 km ?
Étape 1 — On connaît : 240 km → 12 litres. On cherche : 100 km → ? litres.
Étape 2 (passage à l’unité) — Pour 1 km : \(12 \div 240 = 0{,}05\) litre.
Étape 3 (multiplication) — Pour 100 km : \(0{,}05 \times 100 = 5\) litres.
Réponse : il faut 5 litres pour parcourir 100 km.
Exemples résolus, du plus simple au plus malin
Trois situations classiques pour bien ancrer la méthode. Suis à chaque fois les 3 étapes.
Exemple 1 — Une recette. Une recette pour 4 personnes demande 200 g de farine. Quelle quantité pour 6 personnes ?
Pour 1 personne : \(200 \div 4 = 50\) g. Pour 6 personnes : \(50 \times 6 = 300\) g.
Réponse : 300 g de farine.
Exemple 2 — Un pourcentage. Un pull affiché à 60 € bénéficie d’une remise de 25 %. Combien fait la remise en euros ?
Ici, 100 % correspond à 60 €. Pour 1 % : \(60 \div 100 = 0{,}60\) €. Pour 25 % : \(0{,}60 \times 25 = 15\) €.
Réponse : la remise est de 15 €. La règle de trois marche aussi très bien avec les pourcentages !
Exemple 3 — Une conversion. Pour 3 euros, on obtient 3,30 dollars. Combien de dollars pour 20 euros ?
Pour 1 euro : \(3{,}30 \div 3 = 1{,}10\) dollar. Pour 20 euros : \(1{,}10 \times 20 = 22\) dollars.
Réponse : 22 dollars.
Tu remarques que la structure est toujours la même : diviser pour revenir à 1, puis multiplier. C’est là toute la force de la méthode : une seule mécanique pour des situations très variées.
Quand la règle de trois ne s’applique pas
Attention, c’est le piège le plus important de tout le chapitre. La règle de trois ne fonctionne que si la situation est proportionnelle. Si ce n’est pas le cas, elle donne un résultat faux.
Contre-exemple 1 — l’âge. Si un enfant a 4 ans quand son frère a 8 ans, faut-il conclure que l’enfant aura 10 ans quand son frère aura 20 ans ? Non ! L’écart d’âge reste toujours de 4 ans (l’enfant aura 16 ans). L’âge n’est pas proportionnel.
Contre-exemple 2 — l’aire d’un carré. Un carré de côté 2 cm a une aire de 4 cm². Un carré de côté 4 cm n’a pas une aire de 8 cm², mais de 16 cm². Doubler le côté ne double pas l’aire.
Le réflexe à prendre : avant d’appliquer une règle de trois, pose-toi la question « si je multiplie par 2, est-ce que l’autre grandeur est aussi multipliée par 2 ? ». Si la réponse est oui, tu peux y aller. Sinon, la règle de trois est interdite.
Pour t’entraîner à repérer ces cas, va voir la page reconnaître une situation de proportionnalité.
Règle de trois ou produit en croix : quelle différence ?
Voilà LA question que tout le monde se pose, et qui fait même débat entre professeurs. La bonne nouvelle : la réponse est simple.
La règle de trois et le produit en croix servent au même but : trouver une quatrième valeur dans une situation proportionnelle. Ce sont deux façons de faire le même calcul. La différence est dans le chemin :
- la règle de trois passe par l’unité (une division, puis une multiplication) ;
- le produit en croix calcule directement le résultat en multipliant en diagonale, puis en divisant.
| Critère | Règle de trois | Produit en croix |
|---|---|---|
| Idée principale | Revenir à la valeur pour 1 | Multiplier en diagonale puis diviser |
| Nombre d’opérations | 2 (÷ puis ×) | 2 (× puis ÷) |
| Quand c’est le plus pratique | Quand la valeur pour 1 est « ronde » et parlante | Quand les nombres ne se divisent pas bien |
| Où on l’apprend | Dès le CM, avec des mots simples | À partir de la 5ème |
| Situation obligatoire | Proportionnalité | Proportionnalité |
Le mot du prof : beaucoup de gens disent « faire une règle de trois » pour parler du produit en croix. Ce n’est pas grave : au fond, c’est le même calcul déguisé. Choisis la méthode avec laquelle tu es le plus à l’aise. Pour t’entraîner à choisir, un tableau de proportionnalité est souvent le meilleur point de départ.
Exercices d’application corrigés
À toi de jouer. Essaie de résoudre chaque exercice seul avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Les cahiers ★
4 cahiers identiques coûtent 6 €. Combien coûtent 10 cahiers ?
Voir la correction de l’exercice 1
Prix d’un cahier : \(6 \div 4 = 1{,}50\) €.
Prix de 10 cahiers : \(1{,}50 \times 10 = 15\) €.
10 cahiers coûtent 15 €.
Exercice 2 — La distance ★
Un cycliste parcourt 30 km en 2 heures, à vitesse constante. Quelle distance parcourt-il en 5 heures ?
Voir la correction de l’exercice 2
Distance en 1 heure : \(30 \div 2 = 15\) km.
Distance en 5 heures : \(15 \times 5 = 75\) km.
Il parcourt 75 km en 5 heures.
Exercice 3 — La peinture ★★
Avec 5 litres de peinture, on couvre 30 m² de mur. Combien de litres faut-il pour peindre 42 m² ?
Voir la correction de l’exercice 3
Peinture pour 1 m² : \(5 \div 30 \approx 0{,}1667\) litre.
Pour éviter les arrondis, on peut aussi raisonner : pour 1 m² il faut \(\displaystyle\frac{5}{30}\) litre, donc pour 42 m² : \(\displaystyle\frac{5}{30} \times 42 = 7\) litres.
Il faut 7 litres de peinture.
Exercice 4 — Le piège du raisonnement ★★★
Léa affirme : « Il faut 2 heures à 1 peintre pour peindre une pièce. Donc avec 2 peintres, il faudra 4 heures. » A-t-elle raison ? Justifie ta réponse.
Voir la correction de l’exercice 4
Non, Léa a tout faux. Plus il y a de peintres, moins ça prend de temps : les deux grandeurs varient en sens contraire. Ce n’est pas une situation de proportionnalité directe.
Ici, avec 2 peintres qui travaillent ensemble, le travail va deux fois plus vite : il faudra \(2 \div 2 = 1\) heure, et non 4 heures.
Conclusion : la règle de trois « classique » ne s’applique pas ici. C’est un cas de proportionnalité inverse : avant d’appliquer une méthode, il faut toujours vérifier de quel type de situation il s’agit.
Les erreurs classiques à éviter
Voici les fautes que je vois le plus souvent en corrigeant les copies.
Erreur 1 : appliquer la règle sans vérifier la proportionnalité.
❌ Copie fautive : « Un bébé pèse 3 kg à la naissance, donc à 2 mois il pèsera 6 kg et à 10 mois, 30 kg. »
Diagnostic : la croissance n’est pas proportionnelle au temps.
✅ Correction : avant tout calcul, on vérifie que doubler l’un double bien l’autre. Ici ce n’est pas le cas → règle de trois interdite.
Erreur 2 : inverser la division.
❌ Copie fautive : pour 4 stylos à 6 €, on écrit « prix d’un stylo = \(4 \div 6\) ».
Diagnostic : on divise le nombre de stylos par le prix, au lieu de diviser le prix par le nombre de stylos.
✅ Correction : prix d’un stylo = \(6 \div 4 = 1{,}50\) €. On divise toujours la grandeur qu’on cherche par le nombre correspondant.
Erreur 3 : oublier l’unité dans la réponse.
❌ Copie fautive : « Réponse : 15 ».
Diagnostic : 15 quoi ? Des euros, des litres, des km ?
✅ Correction : une réponse complète se termine toujours par une phrase et une unité : « Les 10 cahiers coûtent 15 € ».
Questions fréquentes
Quelle est la différence entre la règle de trois et le produit en croix ?
Les deux servent à trouver une quatrième valeur dans une situation proportionnelle : c’est le même calcul, présenté autrement. La règle de trois passe par la valeur pour 1 (une division puis une multiplication). Le produit en croix multiplie en diagonale puis divise. Choisis la méthode où tu te sens le plus à l’aise.
Comment faire une règle de trois facilement ?
Range d’abord tes données, puis suis trois étapes : 1) trouve la valeur pour une seule unité en divisant ; 2) multiplie cette valeur par la quantité recherchée ; 3) écris la réponse avec l’unité. Astuce : dis toujours « pour 1, puis pour la quantité que je cherche ».
Peut-on toujours utiliser la règle de trois ?
Non. La règle de trois ne marche que dans une situation de proportionnalité, c’est-à-dire quand multiplier une grandeur par 2 multiplie l’autre par 2. L’âge, l’aire d’un carré ou le temps de travail de plusieurs personnes ne sont pas proportionnels : dans ces cas, la règle de trois donne un résultat faux.
À quel niveau apprend-on la règle de trois ?
On la découvre dès le CM avec le passage à l’unité, sans employer le mot savant. Elle est ensuite utilisée tout au long du collège, notamment en 5ème et 4ème avec les pourcentages, les vitesses et les conversions, puis au lycée dans de nombreux calculs.
La règle de trois marche-t-elle avec les pourcentages ?
Oui, très bien. On dit simplement que 100 % correspond à la valeur totale. On revient alors à 1 % (en divisant par 100), puis on multiplie par le pourcentage voulu. C’est exactement le même principe que pour les croissants ou la peinture.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la règle de trois. Pour continuer à progresser en proportionnalité :
