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Un prix qui passe de 80 € à 100 €, une population qui perd 3 %, un salaire augmenté deux années de suite : dans tous ces cas, une seule question compte, « de combien ça a évolué, en pourcentage ? ». Le taux d’évolution est l’outil qui répond à cette question, et il te suivra de la Seconde jusqu’aux indices boursiers en prépa. Voici la méthode complète, en 4 étapes, avec les pièges qui coûtent des points au bac.
Réponse directe — Taux d’évolution
Le taux d’évolution d’une grandeur qui passe d’une valeur initiale \(V_i\) à une valeur finale \(V_f\) est le nombre :
\(t = \displaystyle\frac{V_f- V_i}{V_i}\)
On le multiplie par 100 pour l’exprimer en pourcentage. Il est positif pour une hausse, négatif pour une baisse.
I. La formule du taux d’évolution
Tout repose sur une seule idée : on ne compare pas la variation à n’importe quoi, on la compare à la valeur de départ. C’est ce qui distingue une variation absolue (« +20 € ») d’une variation relative (« +25 % »).
Formule et coefficient multiplicateur
Pour une grandeur qui passe de \(V_i\) à \(V_f\) :
- Taux d’évolution : \(t = \displaystyle\frac{V_f- V_i}{V_i}\)
- Coefficient multiplicateur : \(CM = 1 + t\) (avec \(t\) en écriture décimale)
- Relation clé : \(V_f = CM \times V_i = (1 + t)\, V_i\)
Le passage par le coefficient multiplicateur est l’astuce la plus rentable du chapitre : il transforme une évolution en une simple multiplication, ce qui rend toutes les manipulations (retour en arrière, évolutions en chaîne) immédiates. Une hausse de 25 % correspond à \(CM = 1{,}25\) ; une baisse de 30 % correspond à \(CM = 0{,}70\).
II. Pourquoi on divise par la valeur initiale
C’est le point que beaucoup d’élèves appliquent sans comprendre, et c’est justement là que se joue le sens du chapitre.
Imagine deux magasins. Le premier augmente un article de 80 € à 100 € : +20 €. Le second augmente un article de 400 € à 420 € : +20 € aussi. La variation absolue est identique, pourtant personne ne dirait que ces deux hausses « se ressemblent ». La première représente un quart du prix, la seconde à peine un vingtième.
Diviser par la valeur initiale revient à répondre à la question : « la variation, ça fait quelle proportion du point de départ ? ». C’est exactement le raisonnement de la proportionnalité : on ramène tout à une base commune, ici la valeur de départ prise pour référence. Pour le premier magasin, \(t = \displaystyle\frac{20}{80} = 0{,}25\), soit +25 %. Pour le second, \(t = \displaystyle\frac{20}{400} = 0{,}05\), soit +5 %. Même euro de plus, évolution relative quatre fois moindre. La division par \(V_i\) n’est pas une convention arbitraire : c’est ce qui rend deux évolutions comparables entre elles, quels que soient les ordres de grandeur.
La fiche-méthode « Taux d’évolution » en PDF
La formule, le coefficient multiplicateur et les évolutions successives résumés en recto-verso, prêts à réviser avant le contrôle.
📄 Télécharger la fiche gratuiteLe mémo qui t’évite les pièges classiques du bac.
III. La méthode pas à pas en 4 étapes
Voici le protocole à dérouler à chaque fois, y compris le jour du contrôle.
- Repérer les deux valeurs. Identifie clairement la valeur initiale \(V_i\) (le « avant ») et la valeur finale \(V_f\) (le « après »). L’erreur la plus fréquente vient d’une inversion de ces deux nombres.
- Calculer la variation. Effectue \(V_f- V_i\). Un résultat négatif signale une baisse, c’est normal, ne le passe pas en positif.
- Diviser par la valeur initiale. Calcule \(t = \displaystyle\frac{V_f- V_i}{V_i}\). Tu obtiens le taux en écriture décimale.
- Exprimer en pourcentage. Multiplie par 100 et ajoute le symbole %. Vérifie le signe : hausse = positif, baisse = négatif.
Astuce de contrôle : une évolution en pourcentage supérieure à 100 % est parfaitement possible (un prix qui triple, c’est +200 %). En revanche, une baisse ne peut jamais dépasser −100 % : on ne peut pas perdre plus que tout.
IV. Exemples résolus, du simple au subtil
On commence par un cas direct, puis on monte progressivement vers les situations qui piègent.
🔵 Exemple 1 — Une hausse simple. Un abonnement passe de 12 € à 15 € par mois. Variation : \(15- 12 = 3\). Taux : \(t = \displaystyle\frac{3}{12} = 0{,}25\), soit +25 %. Le coefficient multiplicateur vaut \(1{,}25\).
🔵 Exemple 2 — Une baisse. Une population de village passe de 2 500 à 2 350 habitants. Variation : \(2350- 2500 = -150\). Taux : \(t = \displaystyle\frac{-150}{2500} = -0{,}06\), soit −6 %. Coefficient : \(0{,}94\).
🟠 Exemple 3 — Retrouver la valeur initiale (taux réciproque). Après une hausse de 20 %, un loyer atteint 720 €. Quel était le loyer avant ? Ici \(V_f = 720\) et \(CM = 1{,}20\). On remonte : \(V_i = \displaystyle\frac{V_f}{CM} = \displaystyle\frac{720}{1{,}20} = 600\) €. Le loyer initial était de 600 €. Attention, il serait faux de « retirer 20 % de 720 » (voir la section pièges).
🟠 Exemple 4 — Deux évolutions à la suite. Une action monte de 10 % puis baisse de 10 %. Coefficient global : \(CM = 1{,}10 \times 0{,}90 = 0{,}99\). L’évolution globale vaut donc \(t = 0{,}99- 1 = -0{,}01\), soit −1 %. On n’est pas revenu au point de départ : les taux ne s’additionnent pas, les coefficients se multiplient.
Ces exemples couvrent le cœur du programme de Seconde. Avant de passer aux limites de la méthode, garde en tête que le coefficient multiplicateur est ta clé universelle : il transforme chaque évolution en une multiplication qu’on peut enchaîner, inverser ou moyenner.
V. Évolutions successives, taux global et taux réciproque
C’est le bloc que la plupart des fiches concurrentes survolent, alors qu’il concentre les questions les plus fréquentes au bac de Première.
Enchaîner plusieurs évolutions
Pour des évolutions successives de coefficients \(CM_1, CM_2, \dots, CM_n\), le coefficient multiplicateur global est leur produit :
\(CM_{\text{global}} = CM_1 \times CM_2 \times \cdots \times CM_n\)
Le taux global s’en déduit par \(t_{\text{global}} = CM_{\text{global}}- 1\).
Taux réciproque. Si une grandeur évolue au coefficient \(CM\), le coefficient qui « annule » cette évolution (le retour à la valeur de départ) est \(CM_{\text{réc}} = \displaystyle\frac{1}{CM}\). Exemple : après une hausse de 25 % (\(CM = 1{,}25\)), pour revenir au point de départ il faut baisser au coefficient \(\displaystyle\frac{1}{1{,}25} = 0{,}8\), soit une baisse de 20 %, et non 25 %.
🔴 Taux moyen et indices base 100 (vers la prépa)
En prépa (ECG notamment) et en Première spécialité maths, on cherche souvent le taux moyen : le taux constant qui, appliqué \(n\) fois, produit la même évolution globale. Il ne s’obtient pas par une moyenne arithmétique des taux, mais par une moyenne géométrique des coefficients :
\(CM_{\text{moyen}} = \left( CM_{\text{global}} \right)^{\displaystyle\frac{1}{n}}\)Par exemple, un chiffre d’affaires multiplié par \(1{,}44\) en 2 ans a évolué en moyenne au coefficient \(\sqrt{1{,}44} = 1{,}2\) par an, soit un taux moyen de +20 % par an. Ce résultat prolonge naturellement les suites géométriques étudiées ensuite. Les indices base 100 reposent sur la même logique : on fixe l’année de référence à 100, et chaque indice se lit directement comme un pourcentage cumulé depuis cette base. C’est un outil central pour les étudiants qui poursuivent en prépa HEC.
VI. Les cas où la méthode piège
Le taux d’évolution s’applique presque partout, à condition d’éviter deux confusions classiques.
On n’additionne jamais les taux successifs. Une hausse de 30 % suivie d’une hausse de 20 % ne donne pas +50 %, mais \(1{,}30 \times 1{,}20 = 1{,}56\), soit +56 %. L’écart vient du fait que la seconde hausse s’applique à une base déjà augmentée.
Une baisse suivie d’une hausse du même taux ne revient pas au départ. On l’a vu à l’exemple 4 : c’est mathématiquement impossible, car \((1+t)(1-t) = 1- t^2\) < 1 dès que \(t\) est non nul.
Test à faire avant de calculer : demande-toi toujours « le taux s’applique à quelle valeur ? ». Un pourcentage n’a de sens que rapporté à sa base. « −20 % » sur 720 € et « −20 % » sur 600 € ne donnent pas le même montant retiré.
VII. Taux d’évolution ou coefficient multiplicateur ?
Ces deux notions décrivent la même évolution, mais ne s’utilisent pas dans les mêmes situations. Ce tableau t’aide à choisir le bon outil selon la question posée.
| Critère | Taux d’évolution \(t\) | Coefficient multiplicateur \(CM\) |
|---|---|---|
| Ce qu’il exprime | La variation relative, en % | Par combien on multiplie la valeur |
| Formule | \(t = \displaystyle\frac{V_f- V_i}{V_i}\) | \(CM = 1 + t\) |
| Meilleur pour… | Communiquer, comparer, interpréter une évolution | Calculer une valeur finale, enchaîner des évolutions |
| Évolutions successives | Interdit d’additionner | Il suffit de multiplier |
| Retour en arrière | Peu pratique | Diviser par \(CM\) |
En résumé : le taux d’évolution est le langage de la communication (« +5 % cette année »), le coefficient multiplicateur est l’outil du calcul. Dès qu’un exercice enchaîne plusieurs évolutions ou demande de remonter le temps, passe systématiquement par le coefficient multiplicateur. Pour la mécanique de calcul d’une hausse ou d’une baisse ponctuelle, la page augmentation et diminution complète cette méthode.
VIII. Exercices d’application corrigés
Passe à la pratique : essaie chaque exercice avant d’ouvrir la correction. Les deux derniers sont d’un niveau prépa/Première.
Exercice 1 — Une hausse de prix ★
Le prix d’un billet de train passe de 40 € à 46 €. Calcule le taux d’évolution en pourcentage.
Voir la correction de l’exercice 1
Valeur initiale \(V_i = 40\), valeur finale \(V_f = 46\).
\(t = \displaystyle\frac{46- 40}{40} = \displaystyle\frac{6}{40} = 0{,}15\)Le prix a augmenté de +15 %.
Exercice 2 — Une baisse d’audience ★
Une émission passe de 3 200 000 à 2 720 000 téléspectateurs. Quel est son taux d’évolution ?
Voir la correction de l’exercice 2
L’audience a baissé de −15 %. Le signe négatif indique bien une diminution.
Exercice 3 — Retrouver le prix initial ★★
Après une remise de 20 %, un manteau est affiché à 96 €. Quel était son prix avant la remise ?
Voir la correction de l’exercice 3
Une baisse de 20 % correspond à \(CM = 0{,}80\). On a donc \(V_f = 0{,}80 \times V_i\).
\(V_i = \displaystyle\frac{V_f}{CM} = \displaystyle\frac{96}{0{,}80} = 120\)Le prix initial était de 120 €. Erreur à éviter : ajouter 20 % à 96 (ce qui donnerait 115,20 €) est faux, car 20 % de 96 n’est pas 20 % de 120.
Exercice 4 — Évolutions successives ★★
Un loyer augmente de 5 % une année, puis de 8 % l’année suivante. Quel est le taux d’évolution global sur les deux ans ?
Voir la correction de l’exercice 4
On multiplie les coefficients, on n’additionne pas les taux.
\(CM_{\text{global}} = 1{,}05 \times 1{,}08 = 1{,}134\) \(t_{\text{global}} = 1{,}134- 1 = 0{,}134\)Le loyer a augmenté de +13,4 %, et non +13 % : l’écart venant de l’effet de composition.
🔴 Exercice 5 — Taux moyen annuel ★★★
Le chiffre d’affaires d’une entreprise passe de 250 000 € à 360 000 € en 3 ans. Détermine le taux d’évolution annuel moyen, arrondi à 0,1 %.
Voir la correction de l’exercice 5
Coefficient global sur 3 ans :
\(CM_{\text{global}} = \displaystyle\frac{360\,000}{250\,000} = 1{,}44\)Taux moyen annuel via la moyenne géométrique :
\(CM_{\text{moyen}} = 1{,}44^{\displaystyle\frac{1}{3}} \approx 1{,}1292\) \(t_{\text{moyen}} \approx 0{,}1292\)Le taux annuel moyen est d’environ +12,9 % par an. Vérification : \(1{,}1292^3 \approx 1{,}44\) ∎.
🔴 Exercice 6 — Raisonnement sur un indice ★★★
Un indice de prix vaut 100 en 2020 et 112 en 2024. Un article coûtait 45 € en 2020. Combien coûte-t-il en 2024, et peut-on dire que le taux moyen annuel est de +3 % ?
Voir la correction de l’exercice 6
L’indice 112 signifie \(CM_{\text{global}} = 1{,}12\) sur 4 ans (par rapport à la base 100).
Prix en 2024 : \(45 \times 1{,}12 = 50{,}40\) €.
Le raisonnement « +12 % en 4 ans = +3 % par an » est faux : il additionne les taux. Le taux moyen exact vaut :
\(t_{\text{moyen}} = 1{,}12^{\displaystyle\frac{1}{4}}- 1 \approx 0{,}0287\)Soit environ +2,9 % par an, légèrement en dessous de 3 %.
IX. Les erreurs classiques
Ces trois erreurs sont celles qui reviennent le plus souvent dans les copies.
❌ Copie fautive : « Le prix passe de 50 € à 60 €, donc le taux est \(\displaystyle\frac{60-50}{60} = 16{,}7\,\%\). »
Diagnostic : l’élève a divisé par la valeur finale au lieu de la valeur initiale.
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{60-50}{50} = \displaystyle\frac{10}{50} = 0{,}20\), soit +20 %. On divise toujours par le point de départ.
❌ Copie fautive : « +10 % puis +10 %, donc +20 % au total. »
Diagnostic : les taux successifs ont été additionnés.
✅ Correction : \(1{,}10 \times 1{,}10 = 1{,}21\), soit +21 %. Les coefficients se multiplient.
❌ Copie fautive : « Après +25 %, pour revenir au prix de départ, il faut baisser de 25 %. »
Diagnostic : le taux réciproque a été pris égal au taux initial.
✅ Correction : \(\displaystyle\frac{1}{1{,}25} = 0{,}80\), soit une baisse de 20 %.
X. Questions fréquentes
Comment calculer un taux d'évolution en pourcentage ?
On applique la formule \(t = \displaystyle\frac{V_f- V_i}{V_i}\), où \(V_i\) est la valeur de départ et \(V_f\) la valeur d’arrivée, puis on multiplie le résultat par 100. Un résultat positif indique une hausse, un résultat négatif une baisse.
Quelle est la différence entre taux d'évolution et coefficient multiplicateur ?
Le taux d’évolution exprime la variation relative en pourcentage ; le coefficient multiplicateur est le nombre par lequel on multiplie la valeur initiale pour obtenir la valeur finale. Ils sont liés par \(CM = 1 + t\). Le taux sert à communiquer une évolution, le coefficient sert à la calculer, surtout pour enchaîner plusieurs évolutions.
Peut-on additionner deux taux d'évolution successifs ?
Non. Pour enchaîner des évolutions, on multiplie les coefficients multiplicateurs. Une hausse de 30 % suivie d’une hausse de 20 % donne \(1{,}30 \times 1{,}20 = 1{,}56\), soit +56 % et non +50 %.
Comment retrouver la valeur initiale après une évolution ?
On divise la valeur finale par le coefficient multiplicateur : \(V_i = \displaystyle\frac{V_f}{CM}\). Par exemple, après une hausse de 20 %, une valeur finale de 720 € correspond à une valeur initiale de \(\displaystyle\frac{720}{1{,}20} = 600\) €.
Qu'est-ce qu'un taux d'évolution moyen ?
C’est le taux constant qui, répété \(n\) fois, produit la même évolution globale. On l’obtient par la moyenne géométrique des coefficients : \(CM_{\text{moyen}} = \left(CM_{\text{global}}\right)^{1/n}\), puis \(t_{\text{moyen}} = CM_{\text{moyen}}- 1\). C’est une notion approfondie en Première et en prépa.
Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul d’un taux d’évolution, du cas simple aux évolutions successives. Pour consolider et prolonger :
- Taux de variation : définition, calcul et exemples simples
- Calcul du Taux de Variation (Seconde) : Méthode
- Calculatrice du taux de variation (calculateur en ligne)
- Moyenne pondérée : définition, formule et calcul
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