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On te donne un tableau de proportionnalité et on te demande de trouver « le coefficient » ? C’est en réalité le nombre le plus utile du tableau : une fois que tu le connais, tu peux compléter n’importe quelle case en une seule multiplication. Voici comment le trouver à coup sûr, du CM2 à la 3ème.
Le coefficient de proportionnalité en bref
Le coefficient de proportionnalité est le nombre par lequel on multiplie chaque valeur d’une ligne du tableau pour obtenir la valeur correspondante de l’autre ligne. On le note souvent \(k\). Pour le trouver, on divise une valeur par la valeur correspondante de l’autre ligne : \(k = \displaystyle\frac{\text{valeur d'arrivée}}{\text{valeur de départ}}\).
Qu’est-ce que le coefficient de proportionnalité ?
Dans un tableau de proportionnalité, les deux lignes sont liées : on passe de la première à la deuxième en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre, c’est le coefficient de proportionnalité.
Prends un exemple simple. Un stylo coûte 2 €. Voici le tableau qui relie le nombre de stylos et le prix payé :
| Nombre de stylos | 1 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 2 | 6 | 10 |
Pour passer du nombre de stylos au prix, on multiplie toujours par 2 : \(1 \times 2 = 2\), \(3 \times 2 = 6\), \(5 \times 2 = 10\). Le coefficient de proportionnalité vaut donc \(k = 2\), et il a même un sens concret : c’est le prix d’un seul stylo.
À retenir : le coefficient de proportionnalité est souvent un nombre « qui parle ». Ici c’est le prix d’un stylo, ailleurs ce sera une vitesse, une masse par litre, un prix au kilo… Chercher ce que représente \(k\) t’aide à vérifier ton résultat.
Pourquoi il y a deux coefficients (et lequel choisir)
Voilà un point que presque personne n’explique clairement, et qui fait pourtant gagner beaucoup de temps : dans un même tableau, il y a en réalité deux coefficients de proportionnalité. Tout dépend du sens dans lequel tu lis le tableau.
Reprenons un tableau de croissants :
| Nombre de croissants | 3 | 5 |
|---|---|---|
| Prix (€) | 2,70 | 4,50 |
Si tu lis de haut en bas (du nombre vers le prix), le coefficient est :
\(k = \displaystyle\frac{2{,}70}{3} = 0{,}90\)C’est le prix d’un croissant. Tu multiplies un nombre de croissants par 0,90 pour trouver le prix.
Mais si tu lis de bas en haut (du prix vers le nombre), le coefficient devient :
\(k^\prime = \displaystyle\frac{3}{2{,}70} \approx 1{,}11\)C’est le nombre de croissants qu’on obtient pour 1 €. Ces deux coefficients ne sont pas les mêmes : ils sont inverses l’un de l’autre (\(0{,}90 \times 1{,}11 \approx 1\)).
La fiche-méthode « Coefficient de proportionnalité »
Les 3 étapes pour le trouver à coup sûr, les deux sens de lecture et les pièges à éviter — sur une seule page recto-verso à imprimer.
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Comment ne pas se tromper : demande-toi toujours « je pars de quelle ligne, j’arrive à quelle ligne ? ». Le coefficient est ligne d’arrivée ÷ ligne de départ. Choisis le sens qui correspond à ce qu’on te demande de calculer.
La méthode pour trouver le coefficient en 3 étapes
Que tu sois en 6ème ou en 3ème, la méthode est toujours la même.
- Repère une colonne complète. Choisis une colonne où les deux valeurs sont connues (une valeur en haut, une valeur en bas).
- Divise dans le bon sens. Calcule valeur d’arrivée ÷ valeur de départ. Si tu veux passer du haut vers le bas, c’est la valeur du bas divisée par celle du haut.
- Vérifie sur une autre colonne. Multiplie une autre valeur de la ligne de départ par ton coefficient : tu dois retomber sur la bonne valeur. Si ça ne marche pas, c’est que le tableau n’est pas proportionnel.
Formule
Pour passer d’une valeur \(a\) à la valeur correspondante \(b\) :
\(k = \displaystyle\frac{b}{a} \qquad \text{et donc} \qquad b = k \times a\)
Trois exemples résolus
Exemple 1 — Le prix au kilo. 4 kg de pommes coûtent 6 €. Quel est le coefficient de proportionnalité qui donne le prix à partir de la masse ?
On divise le prix par la masse : \(k = \displaystyle\frac{6}{4} = 1{,}5\). Le coefficient vaut 1,5 : c’est le prix d’un kilo (1,50 €/kg).
Exemple 2 — Compléter une case. Une recette utilise 200 g de farine pour 4 personnes. Combien pour 6 personnes ?
Coefficient (personnes → farine) : \(k = \displaystyle\frac{200}{4} = 50\) (50 g par personne). Pour 6 personnes : \(6 \times 50 = 300\) g de farine.
Exemple 3 — Lire le coefficient sur un graphique. Sur un graphique de proportionnalité, la droite passe par l’origine. Il suffit de choisir un point de la droite et de faire \(k = \displaystyle\frac{y}{x}\).
Pour le point \((4\,;10)\), on obtient \(k = \displaystyle\frac{10}{4} = 2{,}5\). Attention : cette lecture ne marche que si la droite passe bien par l’origine.
Quand il n’y a pas de coefficient de proportionnalité
Un piège très courant : on cherche un coefficient… alors que la situation n’est pas proportionnelle du tout. Dans ce cas, il n’existe aucun coefficient qui marche pour toutes les colonnes.
Regarde ce tableau qui donne l’âge d’un enfant et sa taille :
| Âge (ans) | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|
| Taille (cm) | 85 | 100 | 130 |
Testons : \(\displaystyle\frac{85}{2} = 42{,}5\) mais \(\displaystyle\frac{100}{4} = 25\). Les résultats sont différents, donc il n’y a pas de coefficient de proportionnalité. Un enfant de 8 ans ne mesure pas 4 fois la taille qu’il avait à 2 ans, heureusement !
Le bon réflexe : avant de « trouver le coefficient », vérifie toujours que le tableau est proportionnel. Calcule le quotient sur deux colonnes différentes : s’il n’est pas le même, arrête-toi, il n’y a pas de coefficient. Pour approfondir, vois comment reconnaître une situation de proportionnalité.
Coefficient, produit en croix ou règle de trois ?
Le coefficient de proportionnalité n’est pas la seule méthode pour travailler avec la proportionnalité. Voici comment choisir le bon outil selon la situation.
| Méthode | Quand l’utiliser | Quand l’éviter |
|---|---|---|
| Coefficient de proportionnalité | Compléter plusieurs cases d’un tableau, ou vérifier qu’un tableau est proportionnel | Si tu n’as qu’une seule valeur à trouver |
| Produit en croix | Trouver une seule valeur manquante (la quatrième proportionnelle) | Si les nombres se prêtent bien à un calcul mental |
| Règle de trois | Passer par la valeur pour « 1 », de tête ou avec de petits nombres | Si le passage à l’unité tombe sur des décimaux compliqués |
En résumé : dès que tu dois remplir plusieurs cases ou vérifier la proportionnalité, le coefficient est l’outil le plus efficace. Pour une seule case manquante, le produit en croix est souvent plus rapide.
Exercices corrigés
Exercice 1 — Trouver le coefficient ★
Un tableau donne : 5 cahiers coûtent 7,50 €. Trouve le coefficient de proportionnalité qui donne le prix à partir du nombre de cahiers.
Voir la correction de l’exercice 1
On divise le prix par le nombre de cahiers :
\(k = \displaystyle\frac{7{,}50}{5} = 1{,}50\)Le coefficient vaut 1,50 : c’est le prix d’un cahier (1,50 €).
Exercice 2 — Compléter une case ★
Une voiture roule à vitesse constante et parcourt 90 km en 1 heure. Quel coefficient permet de passer du temps (en heures) à la distance ? Quelle distance parcourt-elle en 3 heures ?
Voir la correction de l’exercice 2
Coefficient (temps → distance) :
\(k = \displaystyle\frac{90}{1} = 90\)C’est la vitesse : 90 km par heure. Pour 3 heures :
\(3 \times 90 = 270\)La voiture parcourt 270 km en 3 heures.
Exercice 3 — Lire le coefficient sur un graphique ★★
Sur un graphique de proportionnalité, la droite passe par l’origine et par le point de coordonnées \((3\,;12)\). Quel est le coefficient de proportionnalité ?
Voir la correction de l’exercice 3
La droite passe bien par l’origine, on peut donc utiliser un point :
\(k = \displaystyle\frac{12}{3} = 4\)Le coefficient de proportionnalité vaut 4.
Exercice 4 — Y a-t-il un coefficient ? ★★
Voici un tableau. Est-il proportionnel ? Si oui, donne le coefficient.
Ligne du haut : 2 ; 5 ; 10. Ligne du bas : 8 ; 20 ; 40.
Voir la correction de l’exercice 4
On teste le quotient sur chaque colonne :
\(\displaystyle\frac{8}{2} = 4 \quad ; \quad \displaystyle\frac{20}{5} = 4 \quad ; \quad \displaystyle\frac{40}{10} = 4\)On trouve toujours 4. Le tableau est proportionnel, et son coefficient de proportionnalité est 4.
Exercice 5 — Les deux coefficients ★★★
8 litres d’essence coûtent 14 €. Trouve le coefficient qui donne le prix à partir du volume, puis celui qui donne le volume à partir du prix. Que remarques-tu ?
Voir la correction de l’exercice 5
Volume → prix :
\(k = \displaystyle\frac{14}{8} = 1{,}75\)C’est le prix d’un litre (1,75 €/L). Prix → volume :
\(k^\prime = \displaystyle\frac{8}{14} \approx 0{,}57\)C’est le nombre de litres pour 1 €. On remarque que les deux coefficients sont inverses l’un de l’autre : \(1{,}75 \times 0{,}57 \approx 1\).
Les erreurs classiques
Copie fautive : « Pour 3 croissants à 2,70 €, le coefficient est \(\displaystyle\frac{3}{2{,}70} = 1{,}11\) donc 1 croissant coûte 1,11 €. »
Diagnostic : l’élève a divisé dans le mauvais sens. Il cherchait le prix d’un croissant, il devait donc faire prix ÷ nombre, pas l’inverse.
Correction : \(k = \displaystyle\frac{2{,}70}{3} = 0{,}90\). Un croissant coûte 0,90 €.
Copie fautive : « Le tableau âge/taille donne 42,5 sur la première colonne, donc le coefficient est 42,5. »
Diagnostic : l’élève a calculé un quotient sur une seule colonne sans vérifier les autres. Or ce tableau n’est pas proportionnel.
Correction : il faut tester au moins deux colonnes. Ici \(\displaystyle\frac{85}{2} \neq \displaystyle\frac{100}{4}\), donc il n’y a pas de coefficient de proportionnalité.
Copie fautive : « La droite du graphique donne le point \((3\,;12)\), mais elle ne passe pas par l’origine ; le coefficient est quand même \(\displaystyle\frac{12}{3} = 4\). »
Diagnostic : lire \(\displaystyle\frac{y}{x}\) n’est valable que si la droite passe par l’origine. Sinon, ce n’est pas une situation de proportionnalité.
Correction : vérifie d’abord que la droite passe par le point \((0\,;0)\). Sinon, aucun coefficient de proportionnalité n’existe.
Questions fréquentes
C’est quoi le coefficient de proportionnalité en une phrase ?
C’est le nombre par lequel on multiplie chaque valeur d’une ligne d’un tableau de proportionnalité pour obtenir la valeur correspondante de l’autre ligne.
Comment trouver le coefficient dans un tableau ?
On choisit une colonne complète, puis on divise la valeur d’arrivée par la valeur de départ. Par exemple, si 4 kg coûtent 6 €, le coefficient qui donne le prix est \(\displaystyle\frac{6}{4} = 1{,}5\). On vérifie ensuite sur une autre colonne.
Le coefficient peut-il être une fraction ou un nombre décimal ?
Oui, tout à fait. Un coefficient peut valoir 2, mais aussi 0,90, 1,5 ou une fraction comme \(\displaystyle\frac{8}{14}\). Ce n’est pas forcément un nombre entier.
Quelle différence entre coefficient de proportionnalité et coefficient multiplicateur ?
Le coefficient de proportionnalité relie deux grandeurs différentes (par exemple un volume et un prix). Le coefficient multiplicateur, lui, sert à calculer une évolution en pourcentage d’une même grandeur (par exemple un prix qui augmente de 10 % : on multiplie par 1,1). Les deux sont des nombres qui multiplient, mais ils ne répondent pas à la même question.
Comment trouver le coefficient sur un graphique ?
Il faut d’abord vérifier que la droite passe par l’origine (le point de coordonnées zéro-zéro). Ensuite, on choisit un point de la droite et on calcule \(\displaystyle\frac{y}{x}\). Si la droite ne passe pas par l’origine, il n’y a pas de coefficient de proportionnalité.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant trouver et vérifier un coefficient de proportionnalité, et choisir la bonne méthode selon la situation. Pour continuer :
