Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
Deux grandeurs semblent « aller ensemble » : quand l’une augmente, l’autre suit. Mais comment quantifier cette impression ? Le coefficient de corrélation linéaire, noté \(r\), répond exactement à cette question : c’est un nombre compris entre \(-1\) et \(1\) qui mesure à quel point un nuage de points s’approche d’une droite. Dans cet article, tu vas construire ce coefficient à partir de la covariance, démontrer proprement l’encadrement \(-1 \leq r \leq 1\) grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz, apprendre à l’interpréter — et surtout comprendre pourquoi une corrélation forte ne prouve jamais un lien de cause à effet.
I. Définition : de la covariance au coefficient de corrélation
Le coefficient de corrélation ne sort pas de nulle part : il se construit à partir de deux ingrédients déjà connus, la variance et la covariance. Reprenons la chaîne logique dans l’ordre.
A. Une série statistique double
On observe simultanément deux caractères quantitatifs \(x\) et \(y\) sur une même population de \(n\) individus. On dispose donc de \(n\) couples de valeurs \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\). Représentés dans un repère, ces couples forment un nuage de points. Toute la question est : ce nuage a-t-il tendance à s’aligner ?
On note \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) les moyennes respectives, et \(s_x, s_y\) les écarts-types respectifs des deux séries :
B. La covariance, mesure de variation conjointe
Définition — Covariance
La covariance de la série double \((x_i, y_i)\) est le réel :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})\)
La covariance mesure comment \(x\) et \(y\) varient ensemble. Si les grandes valeurs de \(x\) s’accompagnent des grandes valeurs de \(y\), les produits \((x_i-\bar x)(y_i-\bar y)\) sont majoritairement positifs et la covariance est positive. Dans le cas contraire, elle est négative. En pratique, on utilise souvent la formule de König-Huygens, plus rapide à calculer :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y}\)Le défaut de la covariance : elle dépend des unités. Mesure une taille en mètres puis en centimètres, et la covariance est multipliée par 100. Impossible, dès lors, de comparer la « force » de deux liaisons à partir de la covariance seule. C’est précisément ce problème que le coefficient de corrélation vient résoudre en normalisant.
C. Définition du coefficient de corrélation
Définition — Coefficient de corrélation linéaire
Lorsque \(s_x\) > \(0\) et \(s_y\) > \(0\), le coefficient de corrélation linéaire (ou coefficient de Bravais-Pearson) de la série double est :
\(r = \displaystyle\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x\, s_y} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\,\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}}\)
Deux remarques essentielles. D’abord, le facteur \(\displaystyle\frac{1}{n}\) présent au numérateur et au dénominateur se simplifie : c’est pourquoi la seconde écriture, sans \(\displaystyle\frac1n\), est équivalente. Ensuite, en divisant la covariance par le produit des écarts-types, on obtient une quantité sans dimension : le coefficient \(r\) est insensible aux unités choisies. Deux liaisons deviennent enfin comparables.
Le nom complet — coefficient de Bravais-Pearson — rappelle qu’il s’agit ici de la corrélation linéaire. Il existe d’autres coefficients (Spearman sur les rangs, Kendall) mais \(r\) est le seul au programme du secondaire et le premier abordé dans le supérieur.
La fiche « Coefficient de corrélation » en 1 page
Définition, encadrement de Cauchy-Schwarz, méthode de calcul pas à pas et pièges à éviter — tout l’essentiel synthétisé.
📄 Télécharger la fiche PDFParfait pour réviser efficacement avant un DS ou un concours.
II. Propriétés fondamentales et démonstrations
Le coefficient de corrélation possède trois propriétés qui font toute sa valeur : il est borné, invariant par changement d’unité affine, et son extrémité caractérise l’alignement parfait. Démontrons-les.
A. L’encadrement −1 ⩽ r ⩽ 1
Théorème — Encadrement du coefficient de corrélation
Pour toute série double dont les deux écarts-types sont non nuls :
\(-1 \leq r \leq 1\)
Ce résultat repose entièrement sur l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs des écarts à la moyenne. C’est un exemple typique où une inégalité abstraite d’algèbre bilinéaire trouve une interprétation statistique concrète.
Rappel — Inégalité de Cauchy-Schwarz (version discrète)
Pour tous réels \(a_1, \ldots, a_n\) et \(b_1, \ldots, b_n\) :
\(\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\)
avec égalité si et seulement si les familles \((a_i)\) et \((b_i)\) sont proportionnelles.
Démonstration. Posons pour tout indice \(i\) : \(a_i = x_i - \bar{x}\) et \(b_i = y_i - \bar{y}\). Alors :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i b_i, \qquad s_x^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} a_i^2, \qquad s_y^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} b_i^2\)L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne directement :
\(\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i b_i\right)^2 \leq \left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} a_i^2\right)\left(\displaystyle\sum_{i=1}^{n} b_i^2\right)\)En divisant les deux membres par \(n^2\), on obtient :
\(\big(\mathrm{cov}(x,y)\big)^2 \leq s_x^2 \, s_y^2\)Comme \(s_x\) > \(0\) et \(s_y\) > \(0\), on peut prendre la racine carrée :
\(\big|\mathrm{cov}(x,y)\big| \leq s_x \, s_y \quad\Longrightarrow\quad |r| = \displaystyle\frac{|\mathrm{cov}(x,y)|}{s_x s_y} \leq 1\)d’où \(-1 \leq r \leq 1\). ∎
B. Cas d’égalité : l’alignement parfait
Le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz éclaire la signification géométrique de \(r\).
Propriété — Caractérisation de |r| = 1
\(|r| = 1\) si et seulement si les points \((x_i, y_i)\) sont parfaitement alignés, c’est-à-dire s’il existe des réels \(\alpha \neq 0\) et \(\beta\) tels que \(y_i = \alpha x_i + \beta\) pour tout \(i\). Le signe de \(r\) est alors celui de la pente \(\alpha\).
Démonstration. L’égalité dans Cauchy-Schwarz équivaut à la proportionnalité des familles \((a_i)\) et \((b_i)\) : il existe \(\lambda \in \mathbb{R}\) tel que \(b_i = \lambda a_i\) pour tout \(i\) (les \(a_i\) n’étant pas tous nuls puisque \(s_x\) > \(0\)). Autrement dit \(y_i - \bar{y} = \lambda (x_i - \bar{x})\), soit \(y_i = \lambda x_i + (\bar{y} - \lambda \bar{x})\). Les points sont alignés sur une droite de pente \(\lambda\). Réciproquement, un tel alignement fournit l’égalité. Enfin \(\mathrm{cov}(x,y) = \lambda s_x^2\) est du signe de \(\lambda\), donc \(r\) aussi. ∎
C. Invariance par transformation affine
Propriété — Invariance affine
Soit \(u_i = a x_i + b\) et \(v_i = c y_i + d\) avec \(a \neq 0\) et \(c \neq 0\). Alors le coefficient de corrélation de \((u_i, v_i)\) vaut :
\(r_{u,v} = \mathrm{signe}(ac)\times r_{x,y}\)
En particulier, si \(a\) et \(c\) sont de même signe (par exemple deux changements d’unité positifs), \(r\) est inchangé.
C’est la propriété qui justifie l’appellation « sans dimension » : convertir des euros en dollars, des mètres en pieds, des degrés Celsius en Fahrenheit ne modifie pas la corrélation. La démonstration est immédiate : \(\mathrm{cov}(u,v) = ac\,\mathrm{cov}(x,y)\), \(s_u = |a| s_x\) et \(s_v = |c| s_y\), d’où \(r_{u,v} = \displaystyle\frac{ac}{|a||c|} r_{x,y}\).
Point de vue « produit scalaire » (utile en prépa). Notons \(X = (x_i - \bar{x})_i\) et \(Y = (y_i - \bar{y})_i\) deux vecteurs de \(\mathbb{R}^n\). Alors \(r = \displaystyle\frac{\langle X, Y\rangle}{\|X\|\,\|Y\|} = \cos\theta\), où \(\theta\) est l’angle entre \(X\) et \(Y\). L’encadrement \(-1 \leq r \leq 1\) n’est alors rien d’autre que \(-1 \leq \cos\theta \leq 1\), et \(|r|=1\) correspond à la colinéarité. Cette lecture géométrique rend chaque propriété évidente.
III. Méthode de calcul pas à pas
Une fois les propriétés en tête, le calcul effectif de \(r\) suit toujours la même routine. Voici la méthode fiable, avec les colonnes à dresser.
Méthode — Calculer un coefficient de corrélation
- Étape 1. Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\).
- Étape 2. Dresser un tableau avec les colonnes \(x_i^2\), \(y_i^2\) et \(x_i y_i\), puis calculer leurs sommes.
- Étape 3. Calculer la covariance et les variances par König-Huygens :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y}\), \(s_x^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum x_i^2 - \bar{x}^2\), \(s_y^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum y_i^2 - \bar{y}^2\). - Étape 4. Appliquer \(r = \displaystyle\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x s_y}\) et vérifier que le résultat est bien dans \([-1\,;1]\).
- Étape 5. Conclure sur la force et le sens de la liaison (voir §IV).
Exemple rédigé. On étudie le lien entre le nombre d’heures de révision \(x\) et la note obtenue \(y\) pour \(n=5\) élèves :
\((2,8),\ (3,11),\ (5,14),\ (6,15),\ (9,18)\)
Étape 1. \(\bar{x} = \displaystyle\frac{2+3+5+6+9}{5} = 5\) et \(\bar{y} = \displaystyle\frac{8+11+14+15+18}{5} = 13,2\).
Étape 2–3. On calcule \(\sum x_i y_i = 16+33+70+90+162 = 371\), \(\sum x_i^2 = 4+9+25+36+81 = 155\), \(\sum y_i^2 = 64+121+196+225+324 = 930\).
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{371}{5} - 5\times 13,2 = 74,2 - 66 = 8,2\)
\(s_x^2 = \displaystyle\frac{155}{5} - 25 = 6\), donc \(s_x = \sqrt{6}\approx 2,449\).
\(s_y^2 = \displaystyle\frac{930}{5} - 13,2^2 = 186 - 174,24 = 11,76\), donc \(s_y \approx 3,429\).
Étape 4. \(r = \displaystyle\frac{8,2}{2,449 \times 3,429} \approx \displaystyle\frac{8,2}{8,40} \approx 0,976\).
Conclusion : \(r \approx 0,98\), très proche de \(1\) : la liaison est fortement positive, un ajustement affine est parfaitement justifié.
Pour aller de ce coefficient à l’équation de la droite d’ajustement, il faut passer à la méthode des moindres carrés : le coefficient de corrélation dit si l’ajustement affine est légitime, la régression donne quelle droite tracer.
A. Au tableur et à la calculatrice
En pratique, on ne calcule \(r\) à la main que sur de petites séries. Sur tableur, la fonction COEFFICIENT.CORRELATION(plage_x ; plage_y) (ou PEARSON) renvoie directement \(r\). Sur calculatrice, le mode statistique à deux variables affiche \(r\) après saisie des couples. Attention toutefois : certaines calculatrices affichent \(r\), d’autres \(r^2\) (le coefficient de détermination) — vérifie toujours ce que ta machine calcule.
IV. Interpréter la valeur : force et sens de la liaison
Un coefficient calculé ne vaut rien sans interprétation. C’est ici que se concentrent les questions d’examen — et les pièges. Deux informations sont à lire : le signe et la valeur absolue.
Le signe indique le sens de la liaison : \(r\) > \(0\) signifie que \(y\) tend à croître avec \(x\) (corrélation positive), \(r\) < \(0\) qu’elle tend à décroître (corrélation négative). La valeur absolue \(|r|\) mesure la force : plus elle est proche de \(1\), plus le nuage est près d’une droite.
| Valeur de \(|r|\) | Force de la liaison linéaire | Décision d’ajustement affine |
|---|---|---|
| \(|r| = 1\) | Liaison affine parfaite | Points exactement alignés |
| \(0,9 \leq |r| < 1\) | Très forte | Ajustement affine très pertinent |
| \(0,7 \leq |r| < 0,9\) | Forte | Ajustement affine acceptable |
| \(0,5 \leq |r| < 0,7\) | Moyenne | Ajustement discutable |
| \(|r| < 0,5\) | Faible | Ajustement affine peu justifié |
| \(r = 0\) | Aucune liaison linéaire | Pas d’ajustement affine |
Ces seuils ne sont pas sacrés. Les bornes \(0,7\), \(0,9\)… sont des repères indicatifs, pas une loi mathématique. En physique expérimentale on exige souvent \(|r|\) > \(0,99\) ; en sciences humaines, \(|r| = 0,4\) peut déjà être remarquable. Le seuil dépend du domaine : cite-les comme des ordres de grandeur, jamais comme un verdict absolu.
A. Le coefficient de détermination r²
La quantité \(r^2\), appelée coefficient de détermination, est encore plus parlante : elle représente la proportion de la variance de \(y\) expliquée par la liaison linéaire avec \(x\). Un \(r = 0,7\) donne \(r^2 = 0,49\) : la droite n’« explique » que 49 % de la dispersion. C’est pourquoi un coefficient de corrélation « moyen » de \(0,7\) est en réalité moins impressionnant qu’il n’y paraît.
V. Corrélation n’est pas causalité (ni indépendance)
C’est le point le plus important de tout ce chapitre, et celui que la plupart des ressources traitent trop vite. Deux confusions classiques doivent être définitivement écartées.
A. Corrélation ⇏ causalité
Erreur reine : conclure « \(x\) cause \(y\) » parce que \(|r|\) est grand. Un coefficient élevé signale seulement que \(x\) et \(y\) varient ensemble, jamais que l’un produit l’autre.
Trois scénarios expliquent une corrélation forte sans lien causal direct :
- La cause commune (variable de confusion). Le nombre de ventes de crèmes glacées et le nombre de noyades sont fortement corrélés sur l’année. Aucun ne cause l’autre : c’est la chaleur estivale, cause commune, qui gonfle les deux.
- La causalité inversée. On observe une corrélation entre « aller chez le médecin » et « être malade », mais ce n’est pas le médecin qui rend malade.
- La coïncidence pure (corrélation fallacieuse). Sur de longues séries temporelles, on trouve des \(|r|\) > \(0,9\) entre des grandeurs sans aucun rapport (consommation de fromage et nombre de doctorats, par exemple). Le hasard suffit à produire de fausses corrélations si l’on cherche assez.
Établir une causalité exige une démarche expérimentale (randomisation, contrôle des variables confondantes) que le seul calcul de \(r\) ne fournira jamais. La distinction entre corrélation et causalité prépare directement la logique de l’ajustement, développée dans la page régression linéaire et moindres carrés.
B. r = 0 ne signifie pas « indépendance » 🔵
Pour aller plus loin (post-bac). Une corrélation nulle signifie « pas de liaison linéaire » — mais une liaison forte, non linéaire, peut parfaitement coexister avec \(r = 0\).
Contre-exemple. Prends les cinq points \((-2,4),\ (-1,1),\ (0,0),\ (1,1),\ (2,4)\), parfaitement sur la parabole \(y = x^2\). Ici \(\bar{x} = 0\) et :
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{5}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y} = \displaystyle\frac{1}{5}\big((-2)(4)+(-1)(1)+0+ (1)(1)+(2)(4)\big) = \displaystyle\frac{-8-1+0+1+8}{5} = 0\)
Donc \(r = 0\), alors que \(y\) est entièrement déterminé par \(x\) ! Le coefficient de corrélation est aveugle à la dépendance quadratique. Moralité : \(r = 0\) n’autorise jamais à conclure à l’indépendance, seulement à l’absence de tendance linéaire.
VI. Exercices corrigés
Quatre exercices de difficulté croissante : un calcul direct, deux raisonnements sur les propriétés, un problème de synthèse. Cherche avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Calcul direct de r ★
On relève, pour \(n=4\) villes, la température moyenne \(x\) (en °C) et la consommation d’électricité \(y\) (en unités arbitraires) : \((5,20),\ (10,17),\ (15,12),\ (20,7)\). Calculer le coefficient de corrélation et interpréter.
Voir la correction de l’exercice 1
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{5+10+15+20}{4} = 12,5\) et \(\bar{y} = \displaystyle\frac{20+17+12+7}{4} = 14\).
\(\sum x_i y_i = 100+170+180+140 = 590\), \(\sum x_i^2 = 25+100+225+400 = 750\), \(\sum y_i^2 = 400+289+144+49 = 882\).
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{590}{4} - 12,5\times 14 = 147,5 - 175 = -27,5\)\(s_x^2 = \displaystyle\frac{750}{4} - 12,5^2 = 187,5 - 156,25 = 31,25\), \(s_x \approx 5,590\).
\(s_y^2 = \displaystyle\frac{882}{4} - 196 = 220,5 - 196 = 24,5\), \(s_y \approx 4,950\).
\(r = \displaystyle\frac{-27,5}{5,590 \times 4,950} \approx \displaystyle\frac{-27,5}{27,67} \approx -0,994\)Interprétation : \(r \approx -0,99\), liaison négative très forte : plus il fait chaud, moins on consomme d’électricité (chauffage). Un ajustement affine décroissant est parfaitement justifié.
Exercice 2 — Invariance par changement d’unité ★★
On dispose d’une série \((x_i, y_i)\) de coefficient \(r = 0,8\). On convertit \(x\) de mètres en centimètres (\(u_i = 100 x_i\)) et \(y\) en son opposé (\(v_i = -y_i\)). Sans recalculer, donner le nouveau coefficient de corrélation de \((u_i, v_i)\). Justifier.
Voir la correction de l’exercice 2
On applique la propriété d’invariance affine avec \(u_i = a x_i + b\) où \(a = 100\) > \(0\), et \(v_i = c y_i + d\) où \(c = -1\) < \(0\).
\(r_{u,v} = \mathrm{signe}(ac)\times r_{x,y} = \mathrm{signe}(100 \times (-1)) \times 0,8 = (-1)\times 0,8 = -0,8\)Réponse : \(r_{u,v} = -0,8\). Le changement d’unité positif sur \(x\) ne change rien ; le passage à l’opposé sur \(y\) inverse le signe mais conserve la force de la liaison.
Exercice 3 — r = 0 sans indépendance ★★
Soit les quatre points \((-3,9),\ (-1,1),\ (1,1),\ (3,9)\). Montrer que \(r = 0\), puis expliquer en une phrase pourquoi cela ne signifie pas que \(y\) est « sans lien » avec \(x\).
Voir la correction de l’exercice 3
\(\bar{x} = \displaystyle\frac{-3-1+1+3}{4} = 0\).
\(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{4}\sum x_i y_i - \bar{x}\bar{y} = \displaystyle\frac{1}{4}\big((-3)(9)+(-1)(1)+(1)(1)+(3)(9)\big) - 0\) \(= \displaystyle\frac{-27 - 1 + 1 + 27}{4} = \displaystyle\frac{0}{4} = 0\)Comme \(\mathrm{cov}(x,y) = 0\) et \(s_x, s_y\) > \(0\), on a \(r = 0\).
Interprétation : pourtant \(y = x^2\) exactement, donc \(y\) est entièrement déterminé par \(x\). Le coefficient nul traduit seulement l’absence de tendance linéaire (par symétrie autour de l’axe vertical), pas l’absence de lien.
Exercice 4 — Alignement et cas d’égalité ★★★
On suppose que pour une série double, tous les points vérifient \(y_i = 3 x_i - 2\). Sans calcul numérique lourd, démontrer que \(r = 1\) en revenant à la définition de la covariance et des écarts-types.
Voir la correction de l’exercice 4
De \(y_i = 3x_i - 2\), on tire par linéarité de la moyenne : \(\bar{y} = 3\bar{x} - 2\).
Donc pour tout \(i\) : \(y_i - \bar{y} = (3x_i - 2) - (3\bar{x} - 2) = 3(x_i - \bar{x})\).
Covariance : \(\mathrm{cov}(x,y) = \displaystyle\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})\cdot 3(x_i - \bar{x}) = 3\cdot\displaystyle\frac{1}{n}\sum(x_i-\bar{x})^2 = 3 s_x^2\).
Écart-type de y : \(s_y^2 = \displaystyle\frac{1}{n}\sum \big(3(x_i-\bar{x})\big)^2 = 9 s_x^2\), donc \(s_y = 3 s_x\) (car \(s_x\) > \(0\)).
\(r = \displaystyle\frac{\mathrm{cov}(x,y)}{s_x s_y} = \displaystyle\frac{3 s_x^2}{s_x \times 3 s_x} = \displaystyle\frac{3 s_x^2}{3 s_x^2} = 1\)Conclusion : \(r = 1\). On retrouve le cas d’égalité de Cauchy-Schwarz : pente \(3\) > \(0\) donc \(r = +1\). Si la pente avait été négative, on aurait obtenu \(r = -1\). ∎
VII. Erreurs fréquentes et pièges classiques
Voici les fautes qui coûtent le plus de points, avec leur diagnostic.
❌ « \(r\) est grand, donc \(x\) cause \(y\). »
Diagnostic : confusion corrélation / causalité. Une corrélation forte est compatible avec une cause commune, une causalité inversée ou une pure coïncidence.
✅ Correction : conclure uniquement à une liaison statistique, jamais à un mécanisme causal, sans protocole expérimental.
❌ « \(r = 0\), donc \(x\) et \(y\) sont indépendants. »
Diagnostic : \(r\) ne détecte que le linéaire. Une dépendance parabolique donne \(r = 0\) (cf. §V.B).
✅ Correction : dire « pas de liaison linéaire », et tracer le nuage pour repérer une éventuelle structure courbe.
❌ Obtenir \(r = 1,3\) ou \(r = -2\) et ne pas réagir.
Diagnostic : erreur de calcul (souvent un oubli de carré ou un signe). Le théorème d’encadrement garantit \(-1 \leq r \leq 1\).
✅ Correction : une valeur hors de \([-1\,;1]\) est impossible : reprends la covariance et les écarts-types.
❌ Confondre \(r\) et \(r^2\).
Diagnostic : \(r = 0,7\) « paraît » fort, mais \(r^2 = 0,49\) : seulement 49 % de la variance expliquée.
✅ Correction : pour juger la qualité d’un ajustement, raisonne aussi avec le coefficient de détermination \(r^2\).
VIII. Questions fréquentes
À quoi sert le coefficient de corrélation ?
Il mesure, par un unique nombre compris entre \(-1\) et \(1\), l’intensité et le sens de la liaison linéaire entre deux séries statistiques. Il permet de décider si un ajustement affine (une droite) est pertinent avant même de calculer cette droite. Son signe donne le sens de la relation, sa valeur absolue la force.
Comment interpréter la valeur du coefficient de corrélation ?
On lit deux choses. Le signe : \(r\) > \(0\) pour une liaison croissante, \(r\) < \(0\) pour une liaison décroissante. La valeur absolue : proche de \(1\), la liaison linéaire est forte ; proche de \(0\), elle est faible ou inexistante. En repère indicatif, \(|r|\) > \(0,9\) est très fort, \(|r|\) < \(0,5\) est faible — mais ces seuils dépendent du domaine étudié.
Quelle différence entre coefficient de corrélation et de détermination ?
Le coefficient de corrélation \(r\) est compris entre \(-1\) et \(1\) et porte l’information du signe (sens de la liaison). Le coefficient de détermination \(r^2\) est compris entre \(0\) et \(1\) : il représente la proportion de la variance de \(y\) expliquée par la relation linéaire avec \(x\). Par exemple \(r = -0,8\) donne \(r^2 = 0,64\) : 64 % de la dispersion est expliquée.
Une corrélation forte prouve-t-elle un lien de cause à effet ?
Non, jamais. Corrélation n’est pas causalité. Une valeur élevée de \(|r|\) peut provenir d’une variable cachée commune, d’une causalité inversée ou d’une pure coïncidence. Établir une causalité exige une démarche expérimentale (contrôle des variables, randomisation), qu’aucun calcul de coefficient ne remplace.
Un coefficient de corrélation nul signifie-t-il l’indépendance ?
Non. \(r = 0\) signifie seulement qu’il n’y a pas de tendance linéaire. Deux variables peuvent être liées par une relation non linéaire (parabolique, périodique…) tout en ayant \(r = 0\). L’exemple des points sur \(y = x^2\) symétriques autour de l’axe des ordonnées donne \(r = 0\) malgré une dépendance totale.
Pourquoi le coefficient de corrélation est-il toujours entre −1 et 1 ?
Cela découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs des écarts à la moyenne : elle donne \(\big(\mathrm{cov}(x,y)\big)^2 \leq s_x^2 s_y^2\), soit \(|r| \leq 1\). Géométriquement, \(r\) est le cosinus de l’angle entre ces deux vecteurs, et un cosinus est toujours entre \(-1\) et \(1\). L’égalité \(|r|=1\) correspond à l’alignement parfait des points.
IX. Pour aller plus loin
Tu sais maintenant construire, calculer, démontrer et interpréter le coefficient de corrélation. Pour prolonger vers le probabiliste, la moyenne pondérée devient l’espérance et la covariance empirique sa version aléatoire :
- Espérance (1ère) : Cours, Propriétés et Exercices
- Variable Aléatoire : Cours Complet du Lycée à la Prépa
Tu veux gagner en rigueur et en méthode sur les statistiques et l’analyse de données ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la prépa et le supérieur.
