Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique. Découvrir le professeur
Tu achètes 3 croissants, puis 6, puis 9 : le prix double, puis triple, exactement comme la quantité. Ça, c’est une situation de proportionnalité. Mais toutes les situations ne se comportent pas ainsi. Savoir les reconnaître, c’est éviter d’appliquer un calcul là où il n’a rien à faire.
Réponse directe — Situation de proportionnalité
Une situation de proportionnalité relie deux grandeurs telles que, pour passer de l’une à l’autre, on multiplie toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité. Sur un graphique, cela se voit à une seule chose : les points sont alignés sur une droite qui passe par l’origine (le point zéro).
Qu’est-ce qu’une situation de proportionnalité ?
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Ce nombre, c’est le coefficient de proportionnalité.
Prenons un exemple tout simple : le prix des croissants. Un croissant coûte 1,20 €.
| Nombre de croissants | 1 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (en €) | 1,20 | 3,60 | 6 | 12 |
Pour passer du nombre de croissants au prix, on multiplie toujours par 1,20 : c’est le coefficient. On dit que le prix est proportionnel au nombre de croissants. Pour aller plus loin sur ce nombre, va voir la page dédiée au coefficient de proportionnalité.
Deux conditions à retenir : il faut deux grandeurs qui varient ensemble, et le passage de l’une à l’autre doit se faire par une seule et même multiplication. Si le multiplicateur change d’une colonne à l’autre, ce n’est pas proportionnel.
Pourquoi un coefficient constant suffit
Pourquoi vérifier que le coefficient est toujours le même prouve-t-il vraiment qu’on a de la proportionnalité ? Regardons de près ce qui se passe.
Dans le tableau des croissants, chaque prix s’obtient de la même façon :
\(3 \times 1{,}20 = 3{,}60 \qquad 5 \times 1{,}20 = 6 \qquad 10 \times 1{,}20 = 12\)Le coefficient 1,20 relie chaque quantité à son prix, sans exception. C’est cette régularité qui donne les deux propriétés de la proportionnalité :
- Si tu doubles le nombre de croissants, le prix double aussi (2 croissants → 3 croissants, on passe de 2,40 € à 3,60 €… toujours ×1,20).
- Si tu additionnes deux quantités, les prix s’additionnent aussi : 3 croissants + 5 croissants coûtent 3,60 € + 6 € = 9,60 €, soit le prix de 8 croissants.
Cette régularité se traduit visuellement : quand on place les points sur un graphique, ils s’alignent sur une droite qui part de zéro. En effet, 0 croissant coûte 0 € : le point de départ est toujours l’origine.
La méthode complète pour reconnaître la proportionnalité
Le test en 3 questions, les pièges à éviter et 6 exercices corrigés, le tout en une fiche recto-verso à imprimer.
📄 Télécharger la fiche méthode (PDF)Prête à glisser dans le classeur pour réviser avant un contrôle.
La méthode : le test en 3 questions
Voici un test rapide et fiable. Selon ce que tu as sous les yeux (un tableau, un graphique ou une situation racontée), tu poses une seule des trois questions. Si la réponse est « oui », c’est proportionnel.
Question 1 — Tu as un tableau de valeurs ?
Calcule le coefficient sur chaque colonne (grandeur du bas divisée par grandeur du haut). S’ils sont tous égaux, c’est proportionnel. Cette technique s’appuie sur le tableau de proportionnalité.
Question 2 — Tu as un graphique ?
Regarde si les points sont alignés ET si la droite passe par l’origine (le point zéro). Les deux conditions doivent être vraies.
Question 3 — Tu as une situation racontée ?
Demande-toi : « si je double une grandeur, l’autre double-t-elle aussi ? ». Et surtout : « quand la première grandeur vaut zéro, la seconde vaut-elle zéro ? ». Si oui aux deux, c’est proportionnel.
Le réflexe du zéro. Un test qui ne trompe jamais : « à zéro, est-ce que ça vaut zéro ? ». Zéro croissant → 0 €. Zéro kilomètre → 0 litre d’essence. Mais un abonnement de salle de sport à 30 € : zéro séance coûte quand même 30 €… donc ce n’est pas proportionnel.
Exemples résolus
Exemple 1 — Un tableau simple. Une voiture roule à vitesse constante.
| Temps (h) | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| Distance (km) | 80 | 160 | 240 |
On teste le coefficient : \(\displaystyle\frac{80}{1} = 80\), \(\displaystyle\frac{160}{2} = 80\), \(\displaystyle\frac{240}{3} = 80\). Le coefficient est toujours 80. C’est proportionnel (la voiture avance de 80 km par heure).
Exemple 2 — Un tableau qui piège. On mesure l’âge d’un enfant et sa taille.
| Âge (ans) | 2 | 4 | 8 |
|---|---|---|---|
| Taille (cm) | 85 | 100 | 130 |
On teste : \(\displaystyle\frac{85}{2} = 42{,}5\) mais \(\displaystyle\frac{100}{4} = 25\). Les coefficients sont différents : ce n’est pas proportionnel. Un enfant de 8 ans ne mesure heureusement pas 4 fois la taille d’un enfant de 2 ans !
Exemple 3 — Une situation racontée. « Pour peindre 3 murs identiques, il faut 6 pots. Combien pour 5 murs ? » Ici, chaque mur demande le même nombre de pots : 0 mur → 0 pot, et doubler le nombre de murs double le nombre de pots. C’est proportionnel. On peut donc utiliser le produit en croix ou la règle de trois en toute sécurité.
Quand ce n’est PAS de la proportionnalité
C’est le point que presque personne n’explique : beaucoup de situations ressemblent à de la proportionnalité sans en être. Les reconnaître t’évite d’appliquer un produit en croix qui donnera un résultat faux.
L’aire d’un carré. Un carré de côté 2 cm a une aire de 4 cm². Un carré de côté 4 cm a une aire de 16 cm². Le côté a doublé, mais l’aire a été multipliée par 4, pas par 2. L’aire n’est pas proportionnelle au côté.
Les tarifs par paliers. Un taxi facture 4 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre. Pour 0 km, tu paies déjà 4 € : le zéro ne donne pas zéro. Le prix n’est pas proportionnel à la distance, à cause de ce montant fixe de départ.
Sur un graphique, ces situations trahissent leur nature : les points peuvent être alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine. C’est le contre-exemple le plus important à connaître.
Tableau, graphique ou calcul : quel test choisir ?
Selon ce que l’énoncé te donne, un test est plus rapide que les autres. Voici comment choisir.
| Ce que tu as | Comment tester | C’est proportionnel si… |
|---|---|---|
| Un tableau de valeurs | Coefficient sur chaque colonne | tous les coefficients sont égaux |
| Un graphique | Regard visuel | points alignés ET droite passant par l’origine |
| Une situation racontée | Test du double et test du zéro | doubler l’un double l’autre, et zéro donne zéro |
Les trois tests disent la même chose de trois manières. Le test du coefficient est le plus sûr avec des nombres ; le test graphique est le plus rapide à l’œil ; le test du zéro est celui qui démasque le mieux les faux amis (abonnements, prise en charge, aire).
Exercices corrigés
Exercice 1 — Le bon coefficient ★
Ce tableau donne le nombre de bonbons et leur prix. La situation est-elle proportionnelle ?
| Bonbons | 4 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 2 | 5 | 10 |
Voir la correction de l’exercice 1
On calcule le coefficient sur chaque colonne :
\(\displaystyle\frac{2}{4} = 0{,}5 \qquad \displaystyle\frac{5}{10} = 0{,}5 \qquad \displaystyle\frac{10}{20} = 0{,}5\)Tous les coefficients valent 0,5. La situation est proportionnelle : chaque bonbon coûte 0,50 €.
Exercice 2 — Le tableau menteur ★
Ce tableau donne l’âge d’un arbre et sa hauteur. Est-ce proportionnel ?
| Âge (ans) | 5 | 10 | 20 |
|---|---|---|---|
| Hauteur (m) | 3 | 5 | 8 |
Voir la correction de l’exercice 2
On teste : \(\displaystyle\frac{3}{5} = 0{,}6\) et \(\displaystyle\frac{5}{10} = 0{,}5\).
Les coefficients sont différents (0,6 puis 0,5). Ce n’est pas proportionnel : un arbre ne grandit pas régulièrement, il pousse plus vite quand il est jeune.
Exercice 3 — Lire un graphique ★★
Sur un graphique, les points d’une facture d’électricité sont bien alignés, mais la droite coupe l’axe vertical à 12 € (pour 0 kWh consommé). La consommation et le prix sont-ils proportionnels ? Justifie.
Voir la correction de l’exercice 3
Les points sont alignés, mais la droite ne passe pas par l’origine : pour 0 kWh, on paie déjà 12 € (l’abonnement).
Or il faut les deux conditions : alignés ET passant par zéro. Ici la deuxième manque.
Ce n’est pas proportionnel. Le prix dépend de la consommation, mais avec un montant fixe de départ.
Exercice 4 — Raisonner sans tableau ★★
Marie dit : « Le périmètre d’un carré est proportionnel à son côté, mais son aire ne l’est pas. » A-t-elle raison ? Explique avec un exemple.
Voir la correction de l’exercice 4
Le périmètre. Côté 2 cm → périmètre 8 cm ; côté 4 cm → périmètre 16 cm. Le coefficient est toujours 4 (périmètre = 4 × côté). C’est proportionnel.
L’aire. Côté 2 cm → aire 4 cm² ; côté 4 cm → aire 16 cm². Le côté a doublé mais l’aire a été multipliée par 4. Ce n’est pas proportionnel.
Marie a donc entièrement raison.
Exercice 5 — Le test du zéro ★★
Pour chaque situation, dis si elle est proportionnelle en utilisant le réflexe du zéro : (a) le prix de l’essence selon le nombre de litres ; (b) le prix d’un billet de train « 25 € de réservation + 0,10 € par km ».
Voir la correction de l’exercice 5
(a) Essence. 0 litre → 0 € à payer. Doubler les litres double le prix. C’est proportionnel.
(b) Billet de train. 0 km → tu paies quand même 25 € de réservation. Le zéro ne donne pas zéro. Ce n’est pas proportionnel à cause du montant fixe.
Exercice 6 — Justifier proprement ★★★
Un fromager vend son comté 24 € le kilo. Complète : pour 0,5 kg on paie … €, pour 2 kg on paie … €. Puis explique en une phrase pourquoi la situation est proportionnelle.
Voir la correction de l’exercice 6
Pour 0,5 kg : \(0{,}5 \times 24 = 12\) €. Pour 2 kg : \(2 \times 24 = 48\) €.
Justification. Le prix s’obtient toujours en multipliant la masse par le même nombre, 24 (le prix au kilo). De plus, 0 kg coûte 0 €. Le prix est donc proportionnel à la masse, de coefficient 24.
Les erreurs classiques
❌ Copie fautive : « Les points sont alignés donc c’est proportionnel. »
Diagnostic : l’élève oublie la deuxième condition. Une droite peut être bien alignée sans passer par l’origine.
✅ Correction : il faut alignés ET passant par le zéro. Sans le passage par l’origine, ce n’est pas proportionnel.
❌ Copie fautive : « Je teste un seul coefficient, il tombe juste, donc c’est proportionnel. »
Diagnostic : une seule colonne ne prouve rien. Il faut que le coefficient soit le même partout.
✅ Correction : teste au moins deux colonnes différentes. Si un seul coefficient diffère, ce n’est pas proportionnel.
❌ Copie fautive : « Plus il y a de X, plus il y a de Y, donc c’est proportionnel. »
Diagnostic : « ça augmente ensemble » ne suffit pas. La taille augmente avec l’âge, pourtant ce n’est pas proportionnel.
✅ Correction : il faut que ça augmente exactement dans les mêmes proportions, avec le test du double et du zéro.
Questions fréquentes
C'est quoi une situation de proportionnalité, avec un exemple ?
C’est une situation où deux grandeurs sont reliées par une seule multiplication. Exemple : le prix de pommes à 3 € le kilo. 2 kg coûtent 6 €, 4 kg coûtent 12 €. On multiplie toujours par 3 : le prix est proportionnel à la masse.
Comment reconnaître une situation de proportionnalité en CM1 ou CM2 ?
Le plus simple à cet âge : vérifier que si une quantité double, l’autre double aussi, et que zéro donne zéro. On peut aussi remplir un petit tableau et vérifier qu’on multiplie toujours par le même nombre pour passer d’une ligne à l’autre.
Comment reconnaître une situation de proportionnalité sur un graphique ?
Deux conditions à vérifier en même temps : les points doivent être alignés (sur une droite) ET cette droite doit passer par l’origine, c’est-à-dire par le point zéro. Si la droite est alignée mais coupe l’axe vertical plus haut que zéro, ce n’est pas proportionnel.
Quelle différence entre une situation proportionnelle et une situation qui augmente ?
Beaucoup de situations augmentent sans être proportionnelles. La taille augmente avec l’âge, mais pas dans les mêmes proportions. Pour la proportionnalité, il faut le même coefficient partout et le passage par zéro. « Ça augmente » ne suffit jamais comme preuve.
Comment justifier qu'une situation est proportionnelle sur une copie ?
Écris que l’on passe d’une grandeur à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, donne ce coefficient, et vérifie-le sur au moins deux valeurs. Tu peux ajouter que zéro donne zéro. C’est cette phrase, avec le coefficient calculé, qui rapporte les points.
Pour aller plus loin
Tu sais maintenant repérer une situation de proportionnalité, la justifier et éviter les faux amis. Pour continuer :
