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Comment trouver le maximum d’une fonction quand ses variables ne sont pas libres, mais liées par une équation ? Les multiplicateurs de Lagrange transforment ce problème sous contrainte en un simple système d’équations. C’est l’outil central de l’optimisation contrainte, incontournable en prépa scientifique comme en ECG.
I. Le lagrangien en 30 secondes
Avant tout, une clarification indispensable, car le mot « lagrangien » recouvre deux notions très différentes.
Deux « lagrangiens » à ne pas confondre. En physique (mécanique analytique), le lagrangien est \(L = T- V\), différence entre énergie cinétique et énergie potentielle, et sert à écrire les équations d’Euler-Lagrange. En mathématiques et en économie, le lagrangien est une fonction auxiliaire qui sert à optimiser sous contrainte. Cette page traite uniquement le second sens : les multiplicateurs de Lagrange.
Le problème que l’on cherche à résoudre est le suivant : trouver les extremums d’une fonction \(f(x,y)\) non pas sur tout le plan, mais sur une courbe définie par une contrainte \(g(x,y) = 0\). On parle d’optimisation sous contrainte.
Définition — Le lagrangien
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions de classe \(\mathcal{C}^1\) sur un ouvert de \(\mathbb{R}^2\). On appelle lagrangien associé au problème « optimiser \(f\) sous la contrainte \(g(x,y) = 0\) » la fonction :
\(\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y)- \lambda\, g(x,y)\)
Le réel \(\lambda\) est appelé multiplicateur de Lagrange.
L’idée géniale de Lagrange est de traiter \(\lambda\) comme une troisième variable. On cherche alors les points critiques de \(\mathcal{L}\) par rapport à \(x\), \(y\) et \(\lambda\) : le problème contraint à deux variables devient un problème libre à trois variables. La dérivée par rapport à \(\lambda\) restitue automatiquement la contrainte.
Le théorème des extrema liés
Théorème — Condition nécessaire d’extremum lié ⋆
Soient \(f\) et \(g\) de classe \(\mathcal{C}^1\). Si \(f\) admet un extremum local sur l’ensemble \(\{g = 0\}\) en un point \(M_0 = (x_0, y_0)\) où \(\nabla g(M_0) \neq \vec{0}\), alors il existe un réel \(\lambda\) tel que :
\(\nabla f(M_0) = \lambda\, \nabla g(M_0)\)
Autrement dit, \(\nabla \mathcal{L}(x_0, y_0, \lambda) = \vec{0}\).
La condition \(\nabla g(M_0) \neq \vec{0}\) s’appelle la qualification de la contrainte. Elle est essentielle : sans elle, le théorème est faux. C’est le premier point que tout correcteur cherche dans une copie.
À retenir : chercher les extremums liés revient à résoudre le système \(\nabla \mathcal{L} = \vec{0}\), soit trois équations à trois inconnues \(x\), \(y\), \(\lambda\). Le multiplicateur \(\lambda\) n’est pas une vraie inconnue à interpréter : c’est un intermédiaire de calcul que l’on peut souvent éliminer.
Démonstration (idée géométrique). Au point \(M_0\), la contrainte \(\{g = 0\}\) est localement une courbe régulière (car \(\nabla g(M_0) \neq \vec 0\), on applique le théorème des fonctions implicites). On peut donc la paramétrer par un arc \(t \mapsto \gamma(t)\) de classe \(\mathcal{C}^1\) avec \(\gamma(0) = M_0\). La fonction \(\varphi(t) = f(\gamma(t))\) admet un extremum en \(t = 0\), donc \(\varphi^\prime(0) = 0\), c’est-à-dire \(\nabla f(M_0) \cdot \gamma^\prime(0) = 0\). Or \(g(\gamma(t)) = 0\) pour tout \(t\) donne en dérivant \(\nabla g(M_0) \cdot \gamma^\prime(0) = 0\). Les deux gradients sont donc orthogonaux au même vecteur tangent \(\gamma^\prime(0) \neq \vec 0\) : ils sont colinéaires. Il existe donc \(\lambda\) tel que \(\nabla f(M_0) = \lambda\, \nabla g(M_0)\). ∎
II. Quand utiliser cette méthode (et quand ne pas l’utiliser)
La méthode de Lagrange n’est pas toujours la plus rapide. Avant de dérouler le lagrangien, pose-toi une question : la contrainte peut-elle se paramétrer simplement ? Si oui, la substitution est souvent plus directe. Le tableau ci-dessous positionne Lagrange par rapport aux autres techniques d’optimisation.
| Situation | Méthode adaptée | Pourquoi |
|---|---|---|
| Aucune contrainte, fonction sur un ouvert | Optimisation libre (points critiques + hessienne) | On résout \(\nabla f = \vec 0\) directement |
| Contrainte facile à paramétrer (ex. \(y = h(x)\)) | Substitution / réduction à une variable | On remplace \(y\) dans \(f\), on étudie une fonction d’une variable |
| Contrainte implicite \(g(x,y)=0\) non paramétrable | Multiplicateurs de Lagrange | Évite d’exprimer une variable en fonction de l’autre |
| Contrainte symétrique (cercle, sphère, budget) | Multiplicateurs de Lagrange | Le système obtenu exploite la symétrie |
| Domaine fermé borné (compact) | Lagrange sur le bord + points critiques à l’intérieur | Le théorème des bornes garantit l’existence des extrema |
| Plusieurs contraintes \(g_1 = 0, g_2 = 0\) | Lagrange à plusieurs multiplicateurs | Un multiplicateur par contrainte |
Règle pratique : si tu peux isoler proprement une variable dans la contrainte, la substitution est souvent plus rapide et évite de discuter la qualification. Réserve Lagrange aux contraintes que tu ne veux ou ne peux pas paramétrer (cercles, ellipses, budgets, sphères).
Cette page traite les extremums liés. Pour les extremums libres, sans contrainte, va voir la méthode complète sur les extremums d’une fonction de plusieurs variables.
La méthode des multiplicateurs de Lagrange en recto-verso
Le protocole en 4 étapes, la qualification, le hessien bordé et les pièges de concours, résumés sur une fiche imprimable.
📄 Télécharger la fiche méthodeGratuit — à glisser dans tes révisions d’optimisation.
III. La méthode en 4 étapes
Voici le protocole que tu appliqueras systématiquement. Chaque étape correspond à une ligne que le correcteur veut voir.
Étape 1 — Mettre la contrainte sous la forme g = 0
Toute contrainte s’écrit sous la forme \(g(x,y) = 0\). Par exemple, une contrainte de budget \(2x + 3y = 12\) devient \(g(x,y) = 2x + 3y- 12\). Vérifie aussi que l’ensemble \(\{g = 0\}\) n’est pas vide.
Étape 2 — Écrire le lagrangien
On forme \(\mathcal{L}(x,y,\lambda) = f(x,y)- \lambda\, g(x,y)\). La convention française usuelle place le signe moins devant \(\lambda g\) ; peu importe le signe choisi, il n’affecte pas les points critiques trouvés.
Étape 3 — Résoudre le système des points critiques
On écrit \(\nabla \mathcal{L} = \vec{0}\), soit :
\(\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}- \lambda \displaystyle\frac{\partial g}{\partial x} = 0 \\[8pt] \displaystyle\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}- \lambda \displaystyle\frac{\partial g}{\partial y} = 0 \\[8pt] \displaystyle\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = -\,g(x,y) = 0 \end{array} \right.\)La troisième équation restitue la contrainte. Une astuce de résolution récurrente : diviser les deux premières équations membre à membre pour éliminer \(\lambda\).
Étape 4 — Déterminer la nature des points trouvés
Le théorème ne donne qu’une condition nécessaire. Les points obtenus sont des candidats. Pour conclure, trois voies :
- Argument de compacité : si \(\{g = 0\}\) est fermé borné (cercle, sphère), \(f\) continue y atteint son max et son min ; il suffit alors de comparer les valeurs de \(f\) aux points candidats.
- Étude directe : comparer \(f\) au voisinage, ou utiliser le comportement à l’infini.
- Critère du hessien bordé (voir section VI) pour trancher localement max/min.
IV. Un exemple entièrement rédigé (le modèle de copie)
Voici comment rédiger proprement, du début à la conclusion. À utiliser comme gabarit.
Énoncé : Deux nombres positifs ont pour somme 12. Quel est le produit maximal ? Autrement dit, maximiser \(f(x,y) = xy\) sous la contrainte \(x + y = 12\) avec \(x, y \geq 0\).
Étape 1. On pose \(g(x,y) = x + y- 12\). On vérifie \(\nabla g = (1,1) \neq \vec 0\) : la contrainte est qualifiée partout.
Étape 2. Le lagrangien est \(\mathcal{L}(x,y,\lambda) = xy- \lambda(x + y- 12)\).
Étape 3. Le système \(\nabla \mathcal{L} = \vec 0\) donne :
\(\left\{ \begin{array}{l} y- \lambda = 0 \\ x- \lambda = 0 \\ x + y- 12 = 0 \end{array} \right.\)
Les deux premières équations donnent \(x = y = \lambda\). En reportant dans la contrainte : \(2x = 12\), donc \(x = y = 6\).
Étape 4. Le segment \(\{x + y = 12,\ x,y \geq 0\}\) est un compact, \(f\) est continue : elle y atteint son maximum. Aux extrémités \((0,12)\) et \((12,0)\), \(f = 0\). Au seul candidat intérieur, \(f(6,6) = 36\).
Conclusion : le produit maximal vaut 36, atteint pour \(x = y = 6\).
Remarque cachée mais importante : on retrouve que la somme fixée, le produit est maximal quand les deux nombres sont égaux. La méthode de Lagrange redémontre ce résultat classique sans effort.
V. Interprétation géométrique : la tangence
Pourquoi les gradients sont-ils colinéaires à l’optimum ? La réponse est géométrique et vaut d’être vue une fois pour toutes.
En un point où \(f\) est maximale sur la contrainte, la courbe de niveau de \(f\) passant par ce point est tangente à la courbe de contrainte. Si elles se croisaient franchement, on pourrait se déplacer le long de la contrainte vers une courbe de niveau supérieure : le point ne serait pas optimal.
Or \(\nabla f\) est orthogonal aux courbes de niveau de \(f\), et \(\nabla g\) est orthogonal à la contrainte \(\{g = 0\}\). Deux courbes tangentes ont des normales colinéaires : d’où \(\nabla f = \lambda\, \nabla g\). Le multiplicateur \(\lambda\) mesure simplement le rapport des longueurs des deux gradients.
Sens de \(\lambda\) (bonus économie) : en optimisation économique, \(\lambda\) s’interprète comme le prix implicite de la contrainte, ou coût marginal : il indique de combien l’optimum de \(f\) varierait si on relâchait la contrainte d’une unité. C’est le « prix caché » de la ressource limitée.
VI. Cas particuliers et variantes
Le critère du hessien bordé
Quand l’argument de compacité ne s’applique pas, on tranche la nature locale d’un point candidat avec le hessien bordé. Pour une fonction de deux variables et une contrainte, on forme :
\(\overline{H} = \begin{vmatrix} 0 & g_x & g_y \\ g_x & \mathcal{L}_{xx} & \mathcal{L}_{xy} \\ g_y & \mathcal{L}_{yx} & \mathcal{L}_{yy} \end{vmatrix}\)où toutes les dérivées sont évaluées au point candidat. Le critère est le suivant :
- si \(\det \overline{H} \gt 0\), le point est un maximum local lié ;
- si \(\det \overline{H} < 0\), le point est un minimum local lié.
Attention au sens du signe, contre-intuitif : un déterminant positif du hessien bordé (2 variables, 1 contrainte) correspond à un maximum. C’est un piège classique en ECG2.
Plusieurs contraintes
Avec deux contraintes \(g_1(x,y,z) = 0\) et \(g_2(x,y,z) = 0\), on introduit un multiplicateur par contrainte :
\(\mathcal{L} = f- \lambda_1 g_1- \lambda_2 g_2\)La condition devient \(\nabla f = \lambda_1 \nabla g_1 + \lambda_2 \nabla g_2\) : le gradient de \(f\) est combinaison linéaire des gradients des contraintes. La qualification exige que les \(\nabla g_i\) soient linéairement indépendants au point étudié.
🔴 Prépa · Le cas ECG : maximisation d’utilité
En prépa ECG, Lagrange sert à maximiser une fonction d’utilité \(u(x,y)\) sous une contrainte de budget \(p x + q y = R\). Le point optimal égalise le taux marginal de substitution au rapport des prix. L’exercice 5 ci-dessous traite ce cas Cobb-Douglas.
VII. Exercices corrigés (★ à ★★★)
Six exercices de difficulté croissante, du calcul mécanique au raisonnement. Cherche d’abord, puis déplie la correction. Pour t’entraîner davantage, la page exercices d’extremums et d’optimisation propose 20 exercices supplémentaires avec PDF.
Exercice 1 — Distance minimale à une droite ★
Déterminer le minimum de \(f(x,y) = x^2 + y^2\) sous la contrainte \(x + y = 1\).
Voir la correction de l’exercice 1
On pose \(g(x,y) = x + y- 1\), avec \(\nabla g = (1,1) \neq \vec 0\). Lagrangien : \(\mathcal{L} = x^2 + y^2- \lambda(x + y- 1)\).
Système : \(2x- \lambda = 0\), \(2y- \lambda = 0\), \(x + y = 1\). Les deux premières donnent \(x = y\), d’où \(x = y = \displaystyle\frac{1}{2}\).
La contrainte est une droite (non bornée), mais \(f(x,y) \to +\infty\) quand \((x,y)\) s’éloigne : \(f\) admet donc un minimum, atteint au seul candidat.
Minimum : \(f\left(\displaystyle\frac12,\displaystyle\frac12\right) = \displaystyle\frac{1}{2}\) (carré de la distance de l’origine à la droite).
Exercice 2 — Extremums sur un cercle ★
Trouver le maximum et le minimum de \(f(x,y) = x + 2y\) sur le cercle \(x^2 + y^2 = 5\).
Voir la correction de l’exercice 2
\(g(x,y) = x^2 + y^2- 5\), \(\nabla g = (2x, 2y)\), qui ne s’annule qu’en \((0,0) \notin \{g=0\}\) : contrainte qualifiée.
Système : \(1- 2\lambda x = 0\), \(2- 2\lambda y = 0\), \(x^2 + y^2 = 5\). Donc \(x = \displaystyle\frac{1}{2\lambda}\) et \(y = \displaystyle\frac{1}{\lambda}\) (avec \(\lambda \neq 0\)).
En reportant : \(\displaystyle\frac{1}{4\lambda^2} + \displaystyle\frac{1}{\lambda^2} = 5\), soit \(\displaystyle\frac{5}{4\lambda^2} = 5\), d’où \(\lambda^2 = \displaystyle\frac{1}{4}\) et \(\lambda = \pm \displaystyle\frac{1}{2}\).
Pour \(\lambda = \displaystyle\frac12\) : \((x,y) = (1,2)\), \(f = 5\). Pour \(\lambda = -\displaystyle\frac12\) : \((x,y) = (-1,-2)\), \(f = -5\).
Le cercle est compact, \(f\) continue : elle atteint ses bornes. Maximum \(= 5\) en \((1,2)\), minimum \(= -5\) en \((-1,-2)\).
Exercice 3 — Produit sur un cercle ★★
Déterminer les extremums de \(f(x,y) = xy\) sous la contrainte \(x^2 + y^2 = 8\).
Voir la correction de l’exercice 3
\(\mathcal{L} = xy- \lambda(x^2 + y^2- 8)\). Système : \(y- 2\lambda x = 0\), \(x- 2\lambda y = 0\), \(x^2 + y^2 = 8\).
Des deux premières : \(y = 2\lambda x\) et \(x = 2\lambda y = 4\lambda^2 x\). Si \(x \neq 0\), alors \(4\lambda^2 = 1\), soit \(\lambda = \pm \displaystyle\frac12\).
Cas \(\lambda = \displaystyle\frac12\) : \(y = x\), donc \(2x^2 = 8\), \(x = \pm 2\). Points \((2,2)\) et \((-2,-2)\), avec \(f = 4\).
Cas \(\lambda = -\displaystyle\frac12\) : \(y = -x\), points \((2,-2)\) et \((-2,2)\), avec \(f = -4\).
Le cercle est compact : maximum \(= 4\), minimum \(= -4\).
Exercice 4 — Maximisation d’utilité (type ECG) ★★
Un consommateur maximise l’utilité \(u(x,y) = xy\) sous la contrainte de budget \(2x + 3y = 12\), avec \(x, y \geq 0\). Déterminer le panier optimal.
Voir la correction de l’exercice 4
\(g(x,y) = 2x + 3y- 12\), \(\nabla g = (2,3) \neq \vec 0\). Lagrangien : \(\mathcal{L} = xy- \lambda(2x + 3y- 12)\).
Système : \(y- 2\lambda = 0\), \(x- 3\lambda = 0\), \(2x + 3y = 12\). Donc \(y = 2\lambda\) et \(x = 3\lambda\).
En reportant : \(2(3\lambda) + 3(2\lambda) = 12\), soit \(12\lambda = 12\), \(\lambda = 1\). D’où \(x = 3\), \(y = 2\).
Sur le segment de budget (compact), \(u\) s’annule aux extrémités et vaut \(u(3,2) = 6\) au candidat. Panier optimal : \((x,y) = (3,2)\), utilité maximale \(= 6\).
Interprétation : \(\lambda = 1\) est l’utilité marginale d’un euro de budget supplémentaire.
Exercice 5 — Trois variables symétriques ★★★
Maximiser \(f(x,y,z) = xyz\) pour \(x, y, z \geq 0\) sous la contrainte \(x + y + z = 3\).
Voir la correction de l’exercice 5
\(\mathcal{L} = xyz- \lambda(x + y + z- 3)\). Système : \(yz = \lambda\), \(xz = \lambda\), \(xy = \lambda\), \(x + y + z = 3\).
À l’intérieur (aucune variable nulle, sinon \(f = 0\)), on a \(yz = xz \Rightarrow x = y\) et \(xz = xy \Rightarrow y = z\). Donc \(x = y = z\), et la contrainte donne \(x = y = z = 1\).
L’ensemble \(\{x+y+z=3,\ x,y,z \geq 0\}\) est un triangle compact ; \(f = 0\) sur le bord (une variable nulle). Le maximum est donc au point intérieur : \(f(1,1,1) = 1\).
On retrouve l’inégalité arithmético-géométrique : à somme fixée, le produit est maximal quand les variables sont égales.
Exercice 6 — Distance à une hyperbole (raisonnement) ★★★
Existe-t-il un point de l’hyperbole \(xy = 1\) le plus proche de l’origine ? Le plus éloigné ? Justifier rigoureusement, puis conclure avec Lagrange.
Voir la correction de l’exercice 6
On minimise \(f(x,y) = x^2 + y^2\) sous \(g(x,y) = xy- 1 = 0\). La contrainte n’est pas bornée : l’argument de compacité ne s’applique pas. C’est le cœur de l’exercice.
Existence : comme \(f(x,y) \to +\infty\) quand \(\|(x,y)\| \to +\infty\) sur l’hyperbole, \(f\) admet un minimum, mais pas de maximum (on peut s’éloigner indéfiniment sur les branches).
Lagrange : \(\nabla g = (y, x)\), non nul sur \(\{xy=1\}\). Système : \(2x- \lambda y = 0\), \(2y- \lambda x = 0\), \(xy = 1\).
Multiplions la première par \(x\), la seconde par \(y\) : \(2x^2 = \lambda xy = \lambda\) et \(2y^2 = \lambda\). Donc \(x^2 = y^2\), soit \(y = \pm x\). Comme \(xy = 1\) et donc positif, on a \(y = x\), d’où \(x^2 = 1\) : points \((1,1)\) et \((-1,-1)\).
Conclusion : distance minimale à l’origine \(= \sqrt{2}\), atteinte en \((1,1)\) et \((-1,-1)\) ; pas de point le plus éloigné.
VIII. Les pièges classiques
Trois erreurs reviennent dans presque toutes les copies. Les identifier, c’est gagner des points sans effort de calcul.
Piège n°1 — Oublier de vérifier la qualification. Le théorème exige \(\nabla g \neq \vec 0\) sur la contrainte. Une copie qui écrit directement \(\nabla f = \lambda \nabla g\) sans une ligne du type « \(\nabla g = (2x, 2y)\) ne s’annule pas sur le cercle » perd des points, même avec le bon résultat.
Voici la deuxième erreur, la plus coûteuse, illustrée sur une copie fautive.
Piège n°2 — Confondre point critique et extremum.
❌ Copie fautive : « Je trouve le point \((6,6)\) avec Lagrange. Donc le maximum vaut \(36\). »
Diagnostic : le théorème donne une condition nécessaire. Le point \((6,6)\) est un candidat : rien ne prouve encore que c’est un maximum, ni même un extremum. Sur d’autres problèmes, un candidat peut être un point-selle lié.
✅ Correction : ajouter systématiquement l’étape 4 — argument de compacité, comparaison des valeurs ou hessien bordé — avant d’écrire le mot « maximum ».
Piège n°3 — Traiter \(\lambda\) comme une inconnue à part entière. \(\lambda\) est un intermédiaire de calcul. On ne cherche pas sa valeur pour elle-même : on l’élimine entre les équations. Ne pas non plus perdre les solutions où l’on a divisé par \(\lambda\) : il faut toujours discuter le cas \(\lambda = 0\) (qui impose \(\nabla f = \vec 0\)).
IX. Rédaction au concours : ce que le correcteur attend
Sur un sujet de concours (X, Mines, Centrale, ou HEC pour l’ECG), la méthode compte autant que le résultat. Voici le plan de rédaction attendu.
Le squelette d’une rédaction irréprochable :
- Poser \(f\) et \(g\), préciser leur classe \(\mathcal{C}^1\) (voire \(\mathcal{C}^2\) si hessien bordé).
- Justifier l’existence des extrema avant de les chercher : « \(\{g=0\}\) est compact, \(f\) continue, donc atteint ses bornes » — c’est la phrase qui rapporte le plus de points.
- Vérifier la qualification \(\nabla g \neq \vec 0\).
- Résoudre \(\nabla \mathcal{L} = \vec 0\) proprement, en discutant les cas (\(\lambda = 0\), divisions).
- Conclure sur la nature en comparant les valeurs de \(f\) aux candidats.
Les formulations qui coûtent des points : « donc c’est le maximum » sans justification d’existence ; oublier de citer \(\nabla g \neq \vec 0\) ; perdre des solutions en divisant par une quantité potentiellement nulle. Un correcteur exigeant sanctionne l’existence non justifiée même quand le calcul est juste.
Ce chapitre est au programme de seconde année en prépa scientifique (extrema liés) et en ECG (optimisation sous contrainte, hessien bordé). Pour les extrema libres qui précèdent, revois les extremums d’une fonction de plusieurs variables et le gradient dont \(\nabla \mathcal{L} = \vec 0\) est une variante.
X. Questions fréquentes
Pourquoi introduire un multiplicateur lambda plutôt que substituer ?
Parce que la contrainte n’est pas toujours facile à paramétrer. Sur un cercle ou une sphère, isoler une variable introduit des racines et des cas de signe pénibles. Le lagrangien évite cela : il transforme un problème à deux variables liées en un problème à trois variables libres, dont le système est souvent symétrique et plus simple à résoudre.
Quelle est la différence entre les multiplicateurs de Lagrange et l’optimisation libre ?
L’optimisation libre cherche les extremums sur un ouvert, sans restriction : on résout \(\nabla f = \vec 0\) puis on étudie la hessienne. L’optimisation sous contrainte impose de rester sur une courbe \(\{g = 0\}\) : on résout alors \(\nabla f = \lambda \nabla g\). Les extremums liés diffèrent en général des extremums libres — un maximum lié n’est presque jamais un point où \(\nabla f\) s’annule.
Que représente concrètement le multiplicateur lambda ?
Géométriquement, \(\lambda\) est le rapport de colinéarité entre \(\nabla f\) et \(\nabla g\) à l’optimum. En économie, il s’interprète comme un prix implicite : il mesure la variation de la valeur optimale de \(f\) si l’on relâche la contrainte d’une unité. En mathématiques pures, c’est surtout un intermédiaire de calcul que l’on élimine.
Comment savoir si un point trouvé est un maximum ou un minimum ?
Trois voies. La plus simple : si la contrainte est un ensemble compact (cercle, sphère, segment), \(f\) continue y atteint son max et son min, il suffit de comparer les valeurs aux candidats. Sinon, on utilise le comportement à l’infini, ou le critère du hessien bordé pour la nature locale.
Le lagrangien de l’optimisation est-il le même qu’en physique ?
Non, ce sont deux objets distincts qui portent le même nom en hommage à Lagrange. En physique, le lagrangien \(L = T- V\) sert à écrire les équations du mouvement (Euler-Lagrange). En optimisation, le lagrangien \(\mathcal{L} = f- \lambda g\) sert à trouver des extrema sous contrainte. Cette page traite uniquement le second.
XI. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant l’optimisation sous contrainte. Pour consolider et élargir :
- Tableau de variation d’une fonction
- Diagonalisation d’une Matrice : Cours et Méthodes
- Développements limités des fonctions usuelles
- Équation Différentielle d’Ordre 2 (Prépa) : Cours
Tu prépares les concours et tu veux sécuriser ces points d’optimisation ? Découvre l’accompagnement Excellence Maths adapté à ta voie.
