Rédigé et vérifié par un professeur diplômé de l’École Polytechnique, avec le niveau d’exigence attendu en classe préparatoire. Découvrir le professeur
Le théorème de Stokes affirme qu’intégrer une grandeur sur le bord d’un domaine revient à intégrer sa « variation » à l’intérieur. Dans le plan, il prend le nom de formule de Green-Riemann et relie une intégrale curviligne à une intégrale double ; dans l’espace, il relie la circulation d’un champ au flux de son rotationnel. C’est l’un des trois grands théorèmes du calcul intégral en dimension supérieure.
I. Définition et énoncés : de Green-Riemann à Stokes
Un même principe se décline sous plusieurs noms selon la dimension et le contexte. En cours de maths, tu rencontres la formule de Green-Riemann (dans le plan) ; en cours de physique, le théorème de Stokes (circulation-rotationnel) et le théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence). Ce sont trois visages du même résultat : l’intégrale sur un bord égale l’intégrale d’une dérivée à l’intérieur.
A. La formule de Green-Riemann
Théorème — Formule de Green-Riemann
Soit \(D\) un compact du plan dont le bord \(\partial D\) est une courbe fermée, \(C^1\) par morceaux, orientée dans le sens direct (le domaine reste à gauche quand on parcourt le bord). Soient \(P\) et \(Q\) deux fonctions de classe \(C^1\) sur un ouvert contenant \(D\). Alors :
\(\displaystyle \oint_{\partial D} \big(P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y\big) = \iint_{D} \left(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)
À gauche, une intégrale curviligne le long du contour ; à droite, une intégrale double sur la surface enfermée. Le membre de droite fait apparaître exactement la composante scalaire du rotationnel du champ \(\vec{V} = (P, Q)\) : Green-Riemann est le cas plan du théorème de Stokes.
B. Le théorème de Stokes (circulation-rotationnel)
Théorème — Stokes (forme vectorielle)
Soit \(S\) une surface régulière orientée de l’espace, de bord \(C = \partial S\) orienté de façon cohérente (règle de la main droite). Soit \(\vec{F}\) un champ de vecteurs de classe \(C^1\) au voisinage de \(S\). Alors :
\(\displaystyle \oint_{C} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{\ell} = \iint_{S} \big(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\big)\cdot \mathrm{d}\vec{S}\)
La circulation de \(\vec{F}\) le long du bord égale le flux de son rotationnel à travers la surface.
La notion de rotationnel, elle, se définit et s’interprète en détail sur la page dédiée à rotationnel et divergence. Ici, on l’utilise comme un outil déjà connu pour énoncer les théorèmes qui le mettent en jeu.
C. Attention : « théorème de Stokes » désigne deux choses
En mathématiques avancées (licence, agrégation), le « théorème de Stokes » désigne un énoncé général sur les formes différentielles qui contient à la fois Green-Riemann, la version vectorielle et le théorème de la divergence. En prépa et en physique, « théorème de Stokes » désigne presque toujours la relation circulation-rotationnel ci-dessus (parfois appelée théorème de Stokes-Ampère en électromagnétisme). Cette page adopte le point de vue du mathématicien, mais illustre les usages en physique.
II. Interprétation géométrique
Pourquoi une intégrale de bord serait-elle égale à une intégrale d’intérieur ? L’idée est un télescopage. Découpe le domaine en petites cellules. Sur chaque cellule, le membre de droite mesure la « rotation locale » du champ. Quand tu additionnes toutes les cellules voisines, les contributions des arêtes communes se compensent (parcourues une fois dans chaque sens) : il ne reste que le bord extérieur.
Dans le plan, cette compensation devient très visible : \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\) mesure la tendance du champ à « tourner » autour de chaque point. La somme de toutes ces micro-rotations sur \(D\) se ramène à la circulation nette le long du contour.
À retenir : tous ces théorèmes disent la même chose. Une intégrale sur un bord de dimension \(k-1\) se ramène à une intégrale d’une dérivée sur un intérieur de dimension \(k\). C’est la généralisation directe du théorème fondamental de l’analyse \(\displaystyle \int_a^b f^\prime(t)\,\mathrm{d}t = f(b)- f(a)\), où le « bord » de \([a\,;b]\) n’est autre que les deux points \(a\) et \(b\).
Green-Riemann, Stokes et divergence : l’essentiel sur 1 page
Les trois grands théorèmes, leurs hypothèses et le réflexe « calcul d’aire » réunis dans une fiche claire à garder sous les yeux.
📄 Télécharger la fiche PDFParfaite pour réviser avant un DS ou une colle.
III. Les trois grands théorèmes en un tableau
La question « quels sont les grands théorèmes de l’analyse vectorielle ? » revient sans cesse. Voici la synthèse qui met tout le monde d’accord, du théorème fondamental à Green-Ostrogradski.
| Théorème | Cadre | Relie… | Formule |
|---|---|---|---|
| Fondamental de l’analyse | segment (1D) | valeurs aux bornes ↔ intégrale de la dérivée | \(\displaystyle \int_a^b f^\prime(t)\,\mathrm{d}t = f(b)-f(a)\) |
| Green-Riemann | domaine plan (2D) | intégrale curviligne sur \(\partial D\) ↔ intégrale double sur \(D\) | \(\displaystyle \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\) |
| Stokes (rotationnel) | surface dans l’espace | circulation sur \(\partial S\) ↔ flux du rotationnel sur \(S\) | \(\displaystyle \oint_{\partial S} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \iint_S \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S}\) |
| Green-Ostrogradski (flux-divergence) | volume (3D) | flux sur \(\partial V\) ↔ intégrale de la divergence sur \(V\) | \(\displaystyle \oiint_{\partial V} \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = \iiint_V \mathrm{div}\,\vec{F}\,\mathrm{d}V\) |
Le théorème de Green-Ostrogradski met en jeu la divergence et non le rotationnel : ne les confonds jamais (voir la section pièges). Passons maintenant à la preuve du plus « manipulable » d’entre eux, Green-Riemann.
IV. Démonstration de la formule de Green-Riemann
C’est ici que cette page se distingue des définitions encyclopédiques : la démonstration complète, écrite proprement. On la conduit d’abord sur un domaine simple, puis on recolle.
A. Cas d’un domaine élémentaire
Supposons \(D\) à la fois y-simple et x-simple. On traite d’abord le terme en \(P\). Écrivons \(D\) comme un domaine y-simple :
\(\displaystyle D = \{(x,y) \ : \ a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}\)avec \(\varphi_1, \varphi_2\) continues et \(\varphi_1 \leq \varphi_2\). Par le théorème de Fubini, en intégrant d’abord en \(y\) :
\(\displaystyle \iint_D \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_a^b \left(\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x\)L’intégrale intérieure est une primitive évidente :
\(\displaystyle \iint_D \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_a^b \Big[P\big(x,\varphi_2(x)\big)- P\big(x,\varphi_1(x)\big)\Big]\mathrm{d}x\)Calculons maintenant \(\displaystyle \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x\). Le bord parcouru dans le sens direct se compose de quatre morceaux : la courbe basse \(y = \varphi_1(x)\) parcourue de \(x=a\) à \(x=b\), le segment vertical droit, la courbe haute \(y=\varphi_2(x)\) parcourue de \(x=b\) à \(x=a\), puis le segment vertical gauche. Sur les segments verticaux, \(x\) est constant donc \(\mathrm{d}x = 0\) : ils ne contribuent pas. Il reste :
\(\displaystyle \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x = \int_a^b P\big(x,\varphi_1(x)\big)\mathrm{d}x + \int_b^a P\big(x,\varphi_2(x)\big)\mathrm{d}x\) \(\displaystyle \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x = \int_a^b \Big[P\big(x,\varphi_1(x)\big)- P\big(x,\varphi_2(x)\big)\Big]\mathrm{d}x = -\iint_D \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)On obtient donc \(\displaystyle \oint_{\partial D} P\,\mathrm{d}x = -\iint_D \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\). Le même raisonnement mené sur un découpage x-simple donne pour le terme en \(Q\) :
\(\displaystyle \oint_{\partial D} Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\)En additionnant les deux égalités, on obtient la formule annoncée. ∎
B. Du cas simple au cas général
Un domaine quelconque (couronne, domaine à plusieurs trous, contour non convexe) se découpe en un nombre fini de domaines élémentaires. On applique le résultat précédent sur chaque morceau et on somme. Les coupures internes introduites sont parcourues deux fois, en sens opposés : leurs contributions curvilignes se compensent exactement. Seul subsiste le bord extérieur, orienté dans le sens direct. C’est ce mécanisme de télescopage qui prolonge la formule à tout domaine régulier.
C. Idée de la preuve du théorème de Stokes
La version surfacique se ramène à Green-Riemann par paramétrage. Si \(\vec{r}(u,v)\) paramètre la surface \(S\) sur un domaine plan \(D\) des paramètres \((u,v)\), alors le bord de \(S\) correspond au bord de \(D\). On tire en arrière la circulation et le flux, la matrice jacobienne du paramétrage jouant le rôle du changement de variables, et l’on retombe précisément sur une formule de Green-Riemann dans le plan des paramètres. En prépa, cette preuve générale est admise ; on retient l’énoncé et son domaine de validité.
Cette montée en généralité est exactement le type de raisonnement qu’un correcteur récompense : savoir d’où vient une formule vaut autant que savoir l’appliquer. Si tu veux gagner cette rigueur avant tes concours, un accompagnement sur-mesure fait la différence.
V. Méthode : quand et comment appliquer ces théorèmes
La difficulté n’est pas la formule, mais de savoir dans quel sens l’utiliser : simplifie-t-on une intégrale curviligne pénible en une double, ou l’inverse ?
Étape 1 — Identifier l’objet demandé. Une intégrale curviligne \(\oint P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y\) sur une courbe fermée ? Green-Riemann la transforme en intégrale double. Une intégrale double difficile ? On peut parfois la ramener au bord.
Étape 2 — Vérifier les hypothèses. Courbe fermée, \(C^1\) par morceaux ; champ de classe \(C^1\) sur tout le domaine intérieur (attention aux points singuliers, ex. \((0,0)\) pour un champ en \(1/r\)).
Étape 3 — Orienter le bord dans le sens direct. Sens trigonométrique pour le contour extérieur ; sens horaire pour un trou intérieur.
Étape 4 — Calculer. Former \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\), puis évaluer l’intégrale double, souvent après passage en coordonnées polaires.
Réflexe area : pour calculer une aire \(\mathcal{A}(D)\) à partir du seul contour, utilise \(\displaystyle \mathcal{A}(D) = \displaystyle\frac{1}{2}\oint_{\partial D}\big(x\,\mathrm{d}y- y\,\mathrm{d}x\big)\). Ici \(P = -\displaystyle\frac{y}{2}\), \(Q = \displaystyle\frac{x}{2}\) donnent \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = 1\), et l’intégrale double vaut l’aire.
Pour aller plus loin sur l’évaluation effective des intégrales doubles obtenues, appuie-toi sur la page ramener une intégrale double à une intégrale curviligne et son théorème de Fubini.
VI. Exemples résolus
Exercice 1 — Aire d’une ellipse par le contour ★
Calculer l’aire de l’ellipse pleine \(D\) de bord \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2} + \displaystyle\frac{y^2}{b^2} = 1\) (avec \(a, b\) > \(0\)) à l’aide de la formule de l’aire.
Voir la correction de l’exercice 1
On paramètre le bord dans le sens direct : \(x(t) = a\cos t\), \(y(t) = b\sin t\), \(t \in [0\,;2\pi]\). Donc \(\mathrm{d}x = -a\sin t\,\mathrm{d}t\) et \(\mathrm{d}y = b\cos t\,\mathrm{d}t\).
\(\displaystyle \mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2}\oint_{\partial D}(x\,\mathrm{d}y- y\,\mathrm{d}x) = \displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}\big(a\cos t\cdot b\cos t- b\sin t\cdot(-a\sin t)\big)\mathrm{d}t\) \(\displaystyle \mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2}\int_0^{2\pi} ab\,(\cos^2 t + \sin^2 t)\,\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}t = \displaystyle\frac{ab}{2}\cdot 2\pi\)\(\mathcal{A} = \pi ab\). On retrouve bien \(\pi R^2\) pour un cercle (\(a=b=R\)).
Exercice 2 — Circulation sur un triangle ★★
Calculer \(\displaystyle I = \oint_{C}\big(xy\,\mathrm{d}x + x^2\,\mathrm{d}y\big)\) où \(C\) est le bord, orienté dans le sens direct, du triangle de sommets \((0,0)\), \((1,0)\) et \((1,1)\).
Voir la correction de l’exercice 2
Ici \(P = xy\) et \(Q = x^2\), de classe \(C^1\). On calcule :
\(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = 2x- x = x\)Le domaine est \(D = \{(x,y) : 0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}\). Par Green-Riemann :
\(\displaystyle I = \iint_D x\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^1\left(\int_0^{x} x\,\mathrm{d}y\right)\mathrm{d}x = \int_0^1 x\cdot x\,\mathrm{d}x = \int_0^1 x^2\,\mathrm{d}x\)\(I = \displaystyle\frac{1}{3}\). Le calcul direct des trois côtés donnerait le même résultat, mais avec bien plus de travail.
Exercice 3 — Champ de rotationnel nul (raisonnement) ★★
Soit \(\vec{V} = (P, Q)\) un champ de classe \(C^1\) sur un ouvert convexe \(U\) du plan, vérifiant \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\) partout. Montrer que la circulation de \(\vec V\) le long de toute courbe fermée \(C^1\) par morceaux tracée dans \(U\) est nulle.
Voir la correction de l’exercice 3
Soit \(\gamma\) une courbe fermée simple, sens direct, bord d’un domaine \(D \subset U\) (possible car \(U\) est convexe, donc \(D\) reste dans \(U\)). Green-Riemann donne :
\(\displaystyle \oint_{\gamma} P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\right)\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \iint_D 0\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = 0\)La condition \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\) signifie exactement que la forme différentielle est fermée ; sur un ouvert convexe (donc étoilé), le lemme de Poincaré assure qu’elle est exacte, c’est-à-dire de la forme \(\mathrm{d}f\). La circulation vaut alors \(f(\text{fin})- f(\text{début}) = 0\) pour un chemin fermé. La nullité de la circulation traduit l’existence d’un potentiel.
Attention : sur un ouvert non simplement connexe (ex. plan privé de l’origine), fermée n’implique plus exacte, et la circulation peut être non nulle.
Exercice 4 — Stokes et indépendance de la surface ★★★
Soit \(\vec{F}(x,y,z) = (-y,\ x,\ z)\) et \(C\) le cercle \(x^2+y^2 = 1\) situé dans le plan \(z=0\), orienté dans le sens direct. Calculer la circulation \(\displaystyle \oint_C \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell}\) par le théorème de Stokes, et expliquer pourquoi le résultat ne dépend pas de la surface choisie s’appuyant sur \(C\).
Voir la correction de l’exercice 4
Calculons le rotationnel :
\(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = \left(\displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial y}- \displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial z},\ \displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial z}- \displaystyle\frac{\partial F_z}{\partial x},\ \displaystyle\frac{\partial F_y}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\) \(\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec{F} = (0-0,\ 0-0,\ 1-(-1)) = (0,0,2)\)Choisissons la surface la plus simple : le disque \(S\) de rayon \(1\) dans le plan \(z=0\), de normale \(\vec{n} = (0,0,1)\) (cohérente avec l’orientation de \(C\)). Le flux vaut :
\(\displaystyle \oint_C \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = \iint_S (0,0,2)\cdot(0,0,1)\,\mathrm{d}S = \iint_S 2\,\mathrm{d}S = 2\times \pi\times 1^2\)\(\displaystyle \oint_C \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{\ell} = 2\pi\).
Indépendance de la surface : si \(S_1\) et \(S_2\) s’appuient sur le même bord \(C\), leurs flux du rotationnel sont égaux, car \(\mathrm{div}(\overrightarrow{\mathrm{rot}}\,\vec F) = 0\) : par le théorème de Green-Ostrogradski appliqué au volume enfermé entre \(S_1\) et \(S_2\), la différence des flux est nulle. C’est exactement ce qui rend le théorème de Stokes si puissant en physique.
Exercice 5 — Circulation sur un disque ★★
Calculer \(\displaystyle J = \oint_{C}\big(e^{x}- y^3\big)\mathrm{d}x + \big(\cos y + x^3\big)\mathrm{d}y\) où \(C\) est le bord du disque \(x^2+y^2\leq R^2\) orienté dans le sens direct.
Voir la correction de l’exercice 5
On pose \(P = e^x- y^3\) et \(Q = \cos y + x^3\). Les termes en \(e^x\) et \(\cos y\) disparaissent en dérivant dans la bonne variable :
\(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}- \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2- (-3y^2) = 3(x^2+y^2)\)Par Green-Riemann puis passage en polaires (\(x=r\cos\theta\), \(y=r\sin\theta\), jacobien \(r\)) :
\(\displaystyle J = \iint_D 3(x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^{R} r^2\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = 3\cdot 2\pi\cdot \displaystyle\frac{R^4}{4}\)\(J = \displaystyle\frac{3\pi R^4}{2}\). Sans Green-Riemann, l’intégrale curviligne directe serait quasi inextricable.
Envie de t’entraîner davantage ? La page dédiée regroupe une série complète : exercices corrigés d’intégrales doubles et triples.
VII. Pièges classiques
Erreur n°1 — Oublier ou inverser l’orientation du bord.
❌ Copie fautive : « \(\oint_C x\,\mathrm{d}y- y\,\mathrm{d}x = -2\pi R^2\) » pour un cercle.
Diagnostic : la courbe a été parcourue dans le sens horaire (indirect) alors que le domaine doit rester à gauche. Green-Riemann exige le sens direct. Inverser l’orientation change le signe de toute intégrale curviligne.
✅ Correction : sens direct (trigonométrique) pour le contour extérieur, d’où \(+2\pi R^2\). Pour un domaine à trou, le bord intérieur se parcourt en sens horaire.
Erreur n°2 — Confondre Stokes (rotationnel) et Green-Ostrogradski (divergence).
Le théorème de Stokes relie une circulation au flux du rotationnel à travers une surface. Le théorème de Green-Ostrogradski (flux-divergence) relie un flux fermé à l’intégrale de la divergence dans un volume. Repère toujours : un bord qui est une courbe → Stokes ; un bord qui est une surface fermée → Green-Ostrogradski.
Erreur n°3 — Appliquer la formule avec une singularité à l’intérieur.
Green-Riemann exige \(P, Q\) de classe \(C^1\) sur tout \(D\). Pour le champ tourbillon \(\vec V = \left(\displaystyle\frac{-y}{x^2+y^2}, \displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}\right)\), on a \(\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x} = \displaystyle\frac{\partial P}{\partial y}\) partout où le champ est défini, mais \((0,0)\) est exclu. Sur un cercle entourant l’origine, la circulation vaut \(2\pi\), pas \(0\) : le trou interdit le passage direct à l’intégrale double.
VIII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur une application de Green-Riemann ou de Stokes, la note se gagne dans la justification des hypothèses avant d’invoquer le théorème, pas dans le calcul final. Le plan attendu :
- annoncer le théorème par son nom et vérifier que la courbe est fermée et \(C^1\) par morceaux ;
- justifier la régularité \(C^1\) du champ sur tout le domaine (mentionner explicitement l’absence de singularité) ;
- préciser l’orientation retenue et sa cohérence ;
- seulement ensuite, écrire l’égalité et mener le calcul.
Formulations qui coûtent des points : « d’après Stokes » sans nommer les hypothèses ; oublier la valeur absolue du jacobien au changement de variables ; conclure une circulation nulle « car le rotationnel est nul » sans vérifier que le domaine est simplement connexe.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Green-Riemann | Stokes / divergence (vectoriel) |
|---|---|---|
| MP / MPI | Hors programme de maths (culture) | Physique |
| PC / PSI | Utilisé via la physique et les intégrales doubles | Physique (Ampère, Ostrogradski) |
| PT | Culture, appui physique | Physique |
| L2 / L3, prépa agreg | Au programme (formes différentielles) | Théorème de Stokes général |
En pratique, ces résultats interviennent surtout à l’interface maths-physique en deuxième année : c’est pourquoi ils méritent d’être maîtrisés proprement, même quand ils ne figurent pas dans le programme de maths de ta filière.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre le théorème de Stokes et la formule de Green-Riemann ?
Ce sont deux versions du même principe dans des dimensions différentes. La formule de Green-Riemann est le cas plan : elle relie une intégrale curviligne sur le bord d’un domaine du plan à une intégrale double sur ce domaine. Le théorème de Stokes en est la généralisation à une surface de l’espace : circulation le long du bord égale flux du rotationnel à travers la surface. Green-Riemann s’obtient à partir de Stokes en prenant une surface plate.
Quelle différence entre le théorème de Stokes et celui de Green-Ostrogradski ?
Le théorème de Stokes met en jeu le rotationnel et relie une circulation (sur une courbe) au flux à travers une surface. Le théorème de Green-Ostrogradski (dit flux-divergence) met en jeu la divergence et relie un flux à travers une surface fermée à une intégrale triple sur le volume enfermé. Règle mnémotechnique : bord = courbe → Stokes ; bord = surface fermée → Ostrogradski.
Comment orienter le bord d’un domaine dans Green-Riemann ?
Dans le sens direct : on parcourt le contour de sorte que le domaine reste toujours à gauche. Pour un contour extérieur simple, c’est le sens trigonométrique (anti-horaire). Pour un trou intérieur, le bord se parcourt en sens horaire. Une erreur d’orientation change le signe du résultat.
Le théorème de Stokes est-il au programme de prépa ?
La version générale sur les formes différentielles n’est pas au programme de maths des filières MP, PC, PSI, PT. En revanche, la relation circulation-rotationnel et le théorème flux-divergence sont utilisés en physique (électromagnétisme, mécanique des fluides). La formule de Green-Riemann apparaît selon les filières à l’occasion des intégrales doubles. C’est un sujet de deuxième année.
Quels sont les trois grands théorèmes d’intégration ?
Le théorème fondamental de l’analyse (dimension 1), la formule de Green-Riemann (dans le plan) et le théorème de Stokes (surface, via le rotationnel). On y ajoute souvent le théorème de Green-Ostrogradski (volume, via la divergence). Tous expriment la même idée : une intégrale sur un bord se ramène à l’intégrale d’une dérivée à l’intérieur.
À quoi sert Green-Riemann concrètement ?
Deux usages principaux. Transformer une intégrale curviligne fermée compliquée en une intégrale double plus simple (ou l’inverse). Et calculer une aire à partir du seul contour, grâce à la formule \(\displaystyle \mathcal{A} = \displaystyle\frac{1}{2}\oint (x\,\mathrm{d}y- y\,\mathrm{d}x)\), très utile en physique et en géométrie.
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant la formule de Green-Riemann, le théorème de Stokes et leur unité profonde. Pour consolider les notions voisines :
- Tableau de variation d’une fonction
- Diagonalisation d’une Matrice : Cours et Méthodes
- Développements limités des fonctions usuelles
- Équation Différentielle d’Ordre 2 (Prépa) : Cours
Tu veux sécuriser ces théorèmes avant tes concours ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la Maths Spé.
