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Tu sais dériver une fonction d’une seule variable. Passer à deux variables ne change presque rien : une dérivée partielle, c’est la dérivée d’une fonction de plusieurs variables par rapport à l’une d’elles, les autres étant figées comme des constantes. Cette page te donne la méthode de calcul exacte, la règle de la chaîne, le théorème de Schwarz sur les dérivées croisées, et des exercices corrigés jusqu’au niveau concours.
I. Les dérivées partielles en 30 secondes
Quand une fonction dépend de deux variables, disons \(f(x,y)\), on ne peut plus parler « de sa dérivée » : il y en a une par variable. La dérivée partielle par rapport à \(x\) mesure la variation de \(f\) lorsque seul \(x\) bouge, \(y\) restant bloqué. C’est exactement la dérivée d’une fonction d’une seule variable — celle que tu connais depuis la Première — appliquée à une seule direction à la fois.
Définition — Dérivée partielle
Soit \(U\) un ouvert de \(\mathbb{R}^2\), \(f : U \to \mathbb{R}\) et \((a,b) \in U\). La dérivée partielle de \(f\) par rapport à \(x\) au point \((a,b)\) est, lorsqu’elle existe, la limite :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a+h,\,b)- f(a,b)}{h}\)
On définit de même \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) = \lim_{h \to 0} \displaystyle\frac{f(a,\,b+h)- f(a,b)}{h}\).
Autrement dit, \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) est la dérivée en \(a\) de la fonction partielle \(x \mapsto f(x,b)\), obtenue en gelant \(y = b\). Tout le calcul revient donc à une dérivation ordinaire à une variable.
Notations à connaître (elles cohabitent en prépa) :
- Notation de Leibniz : \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\), \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\) — le symbole « \(\partial\) » (« d rond ») distingue la dérivée partielle de la dérivée totale \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\).
- Notation indicée : \(\partial_x f\) et \(\partial_y f\), ou \(\partial_1 f\) et \(\partial_2 f\) (par numéro de variable).
- Notation prime : \(f^\prime_x\) et \(f^\prime_y\), plus rare mais présente dans certains sujets.
En dimension quelconque, pour \(f : U \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) et une variable \(x_i\), la définition est identique : on incrémente uniquement la \(i\)-ème coordonnée. L’ensemble des \(n\) dérivées partielles se range dans un vecteur, le gradient, que tu retrouveras à la fin de ce cours.
II. La méthode de calcul en 3 étapes
La bonne nouvelle : tu n’as aucune nouvelle formule de dérivation à apprendre. Toutes tes règles de dérivation usuelles (produit, quotient, composée) restent valables. La seule chose à maîtriser, c’est le réflexe de figer les autres variables.
A. Étape 1 — Identifier la variable de dérivation
Repère par rapport à quelle variable on te demande de dériver. C’est elle, et elle seule, qui reste « active ». Toutes les autres deviennent des paramètres constants le temps du calcul.
B. Étape 2 — Figer les autres variables
Relis mentalement l’expression de \(f\) en remplaçant chaque autre variable par une lettre de constante (un \(k\), par exemple). C’est l’étape qui évite 90 % des erreurs : si tu dérives par rapport à \(x\), alors \(y\) joue le rôle d’un nombre. Un terme comme \(3y^2\) devient une constante, sa dérivée en \(x\) vaut \(0\).
C. Étape 3 — Dériver comme à une variable
Applique les règles habituelles sur la seule variable active. Attention aux termes où la variable active et une variable figée sont multipliées : le facteur figé se conserve comme un coefficient.
Micro-exemple : soit \(f(x,y) = x^2 y\). On dérive par rapport à \(x\) : \(y\) est une constante, donc \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy\). On dérive par rapport à \(y\) : \(x^2\) est une constante, donc \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^2\).
Cette mécanique en trois temps est le cœur de la méthode. Voyons-la maintenant sur un exemple entièrement rédigé, tel qu’on l’attend sur une copie.
La méthode des dérivées partielles en une page
Définition, les 3 étapes, règle de la chaîne, tableau des outils et erreurs fatales : tout est condensé sur une fiche recto-verso.
📄 Télécharger la fiche méthodeIdéale à réviser avant une colle ou un concours.
III. Exemple type entièrement rédigé
C’est le modèle de rédaction à reproduire. Chaque dérivée partielle est annoncée, puis calculée en signalant explicitement quelle variable est figée.
Énoncé. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x,y) = x^3 y^2- 4xy + 5x + \sin(y)\). Calculer ses deux dérivées partielles d’ordre 1.
Dérivée partielle par rapport à \(x\) (on fige \(y\)).
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 3x^2 y^2- 4y + 5\)
Le terme \(\sin(y)\) est constant en \(x\) : sa dérivée est nulle.
Dérivée partielle par rapport à \(y\) (on fige \(x\)).
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 2x^3 y- 4x + \cos(y)\)
Les termes \(5x\) et le coefficient \(x^3\) sont traités comme des constantes multiplicatives.
Remarque de rédaction : on écrit systématiquement la dépendance \((x,y)\) du résultat. Une dérivée partielle est elle-même une fonction des deux variables, pas un nombre — sauf si on l’évalue en un point précis.
IV. Interprétation géométrique
Le graphe de \(z = f(x,y)\) est une surface dans l’espace. Figer \(y = b\) revient à couper cette surface par le plan vertical d’équation \(y = b\) : on obtient une courbe, et \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) est la pente de la tangente à cette courbe au point d’abscisse \(a\). La dérivée partielle mesure donc une pente dans une direction précise, celle de l’axe des \(x\).
Cette lecture géométrique explique pourquoi les dérivées partielles pilotent les courbes de niveau et la notion de plus forte pente : en assemblant les pentes dans toutes les directions, on obtient le vecteur gradient, orthogonal aux lignes de niveau. Mais avant d’y arriver, il faut savoir dériver des fonctions plus riches qu’un polynôme : c’est le rôle de la règle de la chaîne.
V. Règle de la chaîne, dérivées secondes et théorème de Schwarz
A. La règle de la chaîne (composée)
Quand \(f\) dépend de variables qui dépendent elles-mêmes d’autres paramètres, on ne peut plus dériver « à vue » : il faut la règle de la chaîne, généralisation de la dérivée d’une composée.
Règle de la chaîne — cas d’un paramètre. Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(g(t) = f\big(x(t),\,y(t)\big)\) avec \(x\) et \(y\) dérivables. Alors \(g\) est dérivable et :
\(\displaystyle g^\prime(t) = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\big(x(t),y(t)\big)\, x^\prime(t) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\big(x(t),y(t)\big)\, y^\prime(t)\)
Dans le cas de deux paramètres, \(F(s,t) = f\big(u(s,t),\,v(s,t)\big)\), on obtient une dérivée partielle par paramètre :
\(\displaystyle\frac{\partial F}{\partial s} = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial u}\displaystyle\frac{\partial u}{\partial s} + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial v}\displaystyle\frac{\partial v}{\partial s}\)Cette formule est précisément le mécanisme qui donne les dérivées en coordonnées cylindriques : on l’applique au changement de variables cartésien vers curviligne. La règle de la chaîne s’exprime aussi, de façon compacte, via la matrice des dérivées partielles : la jacobienne de la composée est le produit des jacobiennes.
B. Quel outil de dérivation pour quelle situation ?
La dérivée partielle directe n’est qu’un outil parmi les techniques de dérivation en plusieurs variables. Savoir laquelle dégainer selon l’énoncé fait gagner un temps précieux en colle comme au concours.
| Situation rencontrée | Outil à utiliser | Formule clé |
|---|---|---|
| \(f(x,y)\) donnée explicitement | Dérivée partielle directe | \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) en figeant \(y\) |
| \(f\) via variables intermédiaires \(x(t),y(t)\) | Règle de la chaîne | \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}t} = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}x^\prime + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}y^\prime\) |
| Variation totale approchée de \(f\) | Différentielle | \(\mathrm{d}f = \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y\) |
| Direction de plus forte pente | Gradient | \(\nabla f = \left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x},\,\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}\right)\) |
| Nature d’un point critique | Dérivées secondes (hessienne) | \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2},\ \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y},\ \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\) |
Ces outils ne s’opposent pas : ils s’emboîtent. La différentielle regroupe les dérivées partielles en une seule application linéaire, le gradient les range en vecteur, la hessienne les dérive une seconde fois.
C. Dérivées partielles secondes et théorème de Schwarz
On peut dériver une dérivée partielle. On obtient quatre dérivées secondes pour une fonction de deux variables : deux « pures » et deux « croisées ».
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right), \qquad \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\right)\)Sous une hypothèse de régularité, les deux dérivées croisées sont égales : c’est le théorème de Schwarz.
Théorème de Schwarz. Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert \(U\), alors pour tout point de \(U\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}\)
Ce résultat justifie que la hessienne soit une matrice symétrique. Sa démonstration complète, avec l’hypothèse \(\mathcal{C}^2\) et le contre-exemple qui montre qu’elle est indispensable, est détaillée sur la page dédiée au théorème de Schwarz et aux fonctions de classe C1.
D. Formule de Taylor-Young à l’ordre 2
Les dérivées partielles jusqu’à l’ordre 2 permettent d’approcher \(f\) au voisinage d’un point \((a,b)\). En posant \((h,k)\) l’écart au point :
\(\displaystyle f(a+h,b+k) = f(a,b) + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}h + \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}k + \displaystyle\frac{1}{2}\!\left(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}h^2 + 2\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}hk + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}k^2\right) + o(h^2+k^2)\)Le terme d’ordre 2 fait apparaître la forme quadratique associée à la hessienne : c’est le fondement de l’étude des extremums d’une fonction de plusieurs variables. Cette formule prolonge naturellement les développements limités à une variable et les formules de Taylor connues en analyse.
À emporter en révision. La fiche méthode recto-verso résume la définition, les 3 étapes, la règle de la chaîne, le tableau des outils et les erreurs fatales sur une seule page.
📄 La méthode en recto-verso — PDF
VI. Exemples résolus
Cinq exercices classés par difficulté croissante, du calcul direct à la question de concours. Cherche avant d’ouvrir la correction.
Exercice 1 — Dérivées partielles d’un polynôme ★
Calculer les deux dérivées partielles d’ordre 1 de \(f(x,y) = 2x^2 y^3- 5x y + 7y\).
Voir la correction de l’exercice 1
On dérive par rapport à \(x\) (on fige \(y\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 4x y^3- 5y\)Le terme \(7y\) est constant en \(x\), sa dérivée est nulle.
On dérive par rapport à \(y\) (on fige \(x\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = 6x^2 y^2- 5x + 7\)Résultat : \(\partial_x f = 4xy^3- 5y\) et \(\partial_y f = 6x^2y^2- 5x + 7\).
Exercice 2 — Exponentielle et logarithme ★
Soit \(f(x,y) = e^{xy} + \ln(x^2 + y^2)\), définie sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\). Calculer \(\partial_x f\) et \(\partial_y f\).
Voir la correction de l’exercice 2
Pour \(\partial_x f\), on fige \(y\). La dérivée de \(e^{xy}\) en \(x\) est \(y\,e^{xy}\) (la constante \(y\) sort par dérivation de composée). Pour le logarithme, \(\partial_x \ln(x^2+y^2) = \displaystyle\frac{2x}{x^2+y^2}\).
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y\,e^{xy} + \displaystyle\frac{2x}{x^2+y^2}\)Par symétrie du rôle de \(x\) et \(y\) :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = x\,e^{xy} + \displaystyle\frac{2y}{x^2+y^2}\)Le facteur figé (\(y\) puis \(x\)) se conserve comme coefficient devant l’exponentielle.
Exercice 3 — Règle de la chaîne ★★
Soit \(f(x,y) = x^2- y^2\). On pose \(x(t) = \cos t\) et \(y(t) = \sin t\), puis \(g(t) = f\big(x(t),y(t)\big)\). Calculer \(g^\prime(t)\) de deux façons.
Voir la correction de l’exercice 3
Méthode 1 — règle de la chaîne. On a \(\partial_x f = 2x\) et \(\partial_y f = -2y\), puis \(x^\prime(t) = -\sin t\) et \(y^\prime(t) = \cos t\). Donc :
\(\displaystyle g^\prime(t) = 2x\,(-\sin t) + (-2y)(\cos t) = -2\cos t \sin t- 2\sin t \cos t\) \(\displaystyle g^\prime(t) = -4 \sin t \cos t = -2\sin(2t)\)Méthode 2 — substitution directe. \(g(t) = \cos^2 t- \sin^2 t = \cos(2t)\), donc \(g^\prime(t) = -2\sin(2t)\).
Les deux méthodes coïncident : la règle de la chaîne est validée.
Exercice 4 — Vérifier le théorème de Schwarz ★★
Soit \(f(x,y) = x^3 y- x y^3 + x^2 y^2\). Calculer les deux dérivées croisées \(\partial_{xy}^2 f\) et \(\partial_{yx}^2 f\) et vérifier leur égalité.
Voir la correction de l’exercice 4
D’abord les dérivées premières :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 y- y^3 + 2x y^2\)On dérive par rapport à \(y\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = 3x^2- 3y^2 + 4xy\)Ensuite \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y} = x^3- 3x y^2 + 2x^2 y\), que l’on dérive par rapport à \(x\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 3x^2- 3y^2 + 4xy\)Les deux dérivées croisées sont égales : c’est cohérent, \(f\) est polynomiale donc \(\mathcal{C}^\infty\), le théorème de Schwarz s’applique.
Exercice 5 — Une équation aux dérivées partielles ★★★
Montrer que la fonction \(f(x,y) = \ln\!\big(x^2 + y^2\big)\), définie sur \(\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}\), vérifie l’équation de Laplace \(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0\).
Voir la correction de l’exercice 5
Notons \(r^2 = x^2 + y^2\). La dérivée première en \(x\) :
\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x} = \displaystyle\frac{2x}{x^2 + y^2}\)On dérive à nouveau en \(x\) par la règle du quotient (numérateur \(2x\), dénominateur \(x^2+y^2\)) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \displaystyle\frac{2(x^2+y^2)- 2x \cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} = \displaystyle\frac{2y^2- 2x^2}{(x^2+y^2)^2}\)Par symétrie, en échangeant les rôles de \(x\) et \(y\) :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \displaystyle\frac{2x^2- 2y^2}{(x^2+y^2)^2}\)La somme s’annule terme à terme :
\(\displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \displaystyle\frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \displaystyle\frac{2y^2- 2x^2 + 2x^2- 2y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0\)\(f\) est donc harmonique. Cette quantité \(\partial_{xx}^2 f + \partial_{yy}^2 f\) est le laplacien de \(f\), au cœur des équations aux dérivées partielles.
Pour t’entraîner davantage, une série complète de 30 exercices corrigés est disponible sur la page exercices corrigés dérivées partielles.
VII. Pièges classiques
Deux erreurs reviennent en boucle sur les copies, et coûtent des points parce qu’elles trahissent une incompréhension de fond.
Piège n°1 — Oublier un terme dans la règle de la chaîne.
❌ Copie fautive : pour \(g(t) = f\big(x(t),y(t)\big)\), l’élève écrit \(g^\prime(t) = \partial_x f \cdot x^\prime(t)\) en oubliant la contribution de \(y\).
Diagnostic : la variation de \(g\) provient de TOUTES les variables qui bougent avec \(t\). Chacune apporte un terme.
✅ Correction : \(g^\prime(t) = \partial_x f \cdot x^\prime(t) + \partial_y f \cdot y^\prime(t)\). Un terme par variable intermédiaire, jamais moins.
Piège n°2 — Supposer les dérivées croisées égales sans hypothèse \(\mathcal{C}^2\).
❌ Copie fautive : « par Schwarz, \(\partial_{xy}^2 f = \partial_{yx}^2 f\) » écrit d’emblée, sans avoir vérifié la régularité de \(f\).
Diagnostic : Schwarz exige \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\). Il existe un contre-exemple célèbre, \(f(x,y) = \displaystyle\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}\) prolongée par \(0\) en l’origine, où les deux dérivées croisées valent \(+1\) et \(-1\) en \((0,0)\).
✅ Correction : justifie d’abord que \(f\) est \(\mathcal{C}^2\) (composée, produit, quotient de fonctions usuelles sur un ouvert), PUIS invoque Schwarz.
Un dernier réflexe : ne confonds jamais \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\) (« d rond ») et \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\) (« d droit »). Le premier fige les autres variables, le second dérive une fonction d’une seule variable. L’écriture correcte du symbole \(\partial\) fait partie de ce que le correcteur regarde.
VIII. Rédaction au concours
A. Ce que le correcteur attend
Sur un sujet de concours, le calcul juste ne suffit pas : la justification des hypothèses est notée. Trois points reviennent systématiquement.
- Annoncer la variable figée. Écris « on dérive par rapport à \(x\), \(y\) étant fixé ». Cela montre que tu maîtrises la logique de la dérivée partielle, pas seulement le calcul.
- Vérifier la régularité avant d’invoquer un théorème. Avant Schwarz : « \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^2\) comme… ». Avant la règle de la chaîne : « \(f\) de classe \(\mathcal{C}^1\), \(x\) et \(y\) dérivables ».
- Distinguer fonction et valeur. Une dérivée partielle est une fonction ; ne l’évalue en un point que si l’énoncé le demande, et signale-le explicitement.
Plan de rédaction type pour « montrer que \(f\) vérifie une EDP » :
- 1. Justifier la classe de régularité de \(f\) sur son domaine.
- 2. Calculer les dérivées partielles demandées, en annonçant chaque variable figée.
- 3. Substituer dans l’équation et conclure par une simplification menée jusqu’au bout.
B. Au programme de quelle filière ?
| Filière | Attendu sur les dérivées partielles |
|---|---|
| MPSI / PCSI (1re année) | Dérivées partielles d’ordre 1 et 2, règle de la chaîne, classe \(\mathcal{C}^1\), gradient |
| MP / PC / PSI (2e année) | Schwarz, extremums, EDP simples, changements de variables curvilignes |
| ECG (voie éco) | Dérivées partielles, hessienne et optimisation sous contrainte |
Que tu prépares les concours scientifiques ou la voie économique, la maîtrise du calcul de dérivées partielles est un prérequis non négociable pour aborder l’optimisation et les intégrales multiples.
IX. Questions fréquentes
Quelle est la différence entre une dérivée partielle et une dérivée normale ?
Une dérivée « normale » (ou totale) s’applique à une fonction d’une seule variable : il n’y a qu’une direction de variation. Une dérivée partielle s’applique à une fonction de plusieurs variables et n’en fait varier qu’une à la fois, les autres étant figées comme des constantes. On note la dérivée totale avec un « d droit » \(\displaystyle\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\) et la dérivée partielle avec un « d rond » \(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}\).
Comment calculer une dérivée partielle pas à pas ?
En trois étapes : identifier la variable de dérivation, figer toutes les autres variables en les traitant comme des constantes, puis dériver l’expression comme une fonction d’une seule variable avec les règles usuelles (produit, quotient, composée). Un terme sans la variable active a une dérivée nulle.
Que dit le théorème de Schwarz ?
Il affirme que si une fonction est de classe \(\mathcal{C}^2\) sur un ouvert, alors ses deux dérivées partielles croisées sont égales : \(\partial_{xy}^2 f = \partial_{yx}^2 f\). L’ordre de dérivation n’a pas d’importance. L’hypothèse \(\mathcal{C}^2\) est essentielle : sans elle, il existe des contre-exemples où les deux dérivées croisées diffèrent.
À quoi servent les dérivées partielles en prépa ?
Elles sont l’outil de base du calcul différentiel en plusieurs variables. Elles définissent le gradient, la différentielle et la matrice jacobienne, permettent d’étudier les extremums via la matrice hessienne, et interviennent dans toutes les équations aux dérivées partielles (équation de la chaleur, équation de Laplace) rencontrées en physique comme en maths.
Quand utiliser la règle de la chaîne plutôt qu’une dérivée directe ?
Utilise la dérivée partielle directe quand la fonction est donnée explicitement en fonction de ses variables. Utilise la règle de la chaîne quand la fonction dépend de variables intermédiaires qui dépendent elles-mêmes d’un ou plusieurs paramètres — typiquement lors d’un changement de variables (passage en coordonnées polaires, par exemple).
X. Pour aller plus loin
Tu maîtrises maintenant le calcul des dérivées partielles. Pour consolider et poursuivre :
- Tableau de variation d’une fonction
- Calcul de Dérivées (1ère) : Méthode et Exemples
- Exercices Dérivées 1ère Corrigés (PDF)
- Changement de Variable dans une Intégrale : Méthode, Exemples Résolus et Exercices
Tu veux progresser plus vite et sécuriser tes points sur le calcul différentiel ? Découvre les cours particuliers Excellence Maths pour la prépa scientifique.
